1、单元评估验收( 二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列 3，5，9，17，33，的通项公式等于( )A2 n B2 n1C2 n1 D2 n1解析：由数列 3，5，9，17，33，的前 5 项可知，每一项都满足 2n1.答案：B2数列a n为等差数列，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn(n1) 2，则 的值是( )A2 B1C0 D1解析：等差数列前 n 项和 Sn 的形式为 Snan 2bn，所以 1.答案：B3在单调递减的等比数列a n中，若 a31，a 2a 4
2、，则 a1 等于( )52A2 B4C. D22 2解析：由已知得 a1q21，a 1qa 1q3 ，52所以 ，q 2 q10，q q3q2 52 52所以 q 或 q2，12因为a n单调递减，所以 q ，12所以 a14.答案：B4已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2a n2，则 a2 等于( )A4 B2C1 D2解析：因为 S12a 12a 1，所以 a12，又 S22a 22a 1a 2，所以 a24.答案：A5数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a11，a n1 3S n(n1)，则 a6( )A34 4 B34 41C4 4 D4 41解析：由 an1 3S nS
3、n1 S n3S nSn1 4S n，故数列S n是首项为 1，公比为 4 的等比数列，故 Sn4 n1 ，所以 a6S 6S 54 54 434 4.答案：A6设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10S 512，则 S15S 5 等于( )A34 B23C12 D13解析：设 S52k，S 10k ，则 S5，S 10S 5，S 15S 10 成等比数列，即 S15S 10 k，所12以 S15 k，故 S15S534.32答案：A7若a n是等比数列，其公比是 q，且a 5，a 4，a 6 成等差数列，则 q 等于( )A1 或 2 B1 或2C1 或 2 D1 或2解析：依题意
4、有 2a4a 6a 5，即 2a4a 4q2a 4q，而 a40，所以 q2q20，(q2)( q 1)0.所以 q1 或 q2.答案：C8设等差数列a n的前 n 项和为 Sn.若 a111，a 4a 6 6，则当 Sn 取最小值时，n 等于( )A6 B7C8 D9解析：设等差数列a n的公差为 d，因为 a4a 66，所以 a53，所以 d 2，a5 a15 1所以 a610 ，故当等差数列a n的前 n 项和 Sn 取得最小值时，n 等于 6.答案：A9. 等于( )113 124 135 146 1n（ n 2）A. B.1n（ n 2） 12(1 1n 2)C. D.12(32 1
5、n 1 1n 2) 12(1 1n 1)解析：通项 an ，1n（n 2） 12(1n 1n 2)所以原式 12(1 13) (12 14) (13 15) ( 1n 1 1n 1) (1n 1n 2)12(1 12 1n 1 1n 2) .12(32 1n 1 1n 2)答案：C10已知数列a n，a n2n 2n，若该数列是递减数列，则实数 的取值范围是( )A(，6) B(，4C(，5) D( ，3解析：因为对于任意的 nN*，a n2n 2n 恒成立所以 an1 a n2(n1) 2(n1) 2n 2n4n2 ，因为a n是递减数列，所以 an1 a n0，所以4n20，即 4n2.因
6、为 n1 时，4n2 取最小值，所以 6.答案：A11已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，且 S6S7S5，有下列四个命题：d0；S 12S5.其中正确命题的序号是 ( )A BC D解析：由 S6S7S5，得 a7S 7S 60，a 6a 7S 7S 50，则da 7a 60，S 12 0，11（a1 a11）2 12（a1 a12）2 12（a6 a7）2故正确，错误；因为 a60，a 750%，所以 ，35 15(45)n 12所以 log 3.(45)n 12 4512 lg 21 3lg 2则当 n4 时，不等式 恒成立(45)n 12所以至少需要 4 年才能使绿洲面积超过
7、50%.18(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的公差 d0，它的前 n 项和为 Sn，若S570，且 a2，a 7，a 22 成等比数列(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求证： T n .1Sn 16 38(1)解：因为数列a n是等差数列，所以 ana 1(n1)d，S nna 1 d.n（n 1）2依题意，有即 5a1 10d 70，（a1 6d）2 （a1 d）（a1 21d）.)解得 a16，d4.所以数列a n的通项公式为 an4n2(nN *)(2)证明：由(1)可得 Sn2n 24n.所以 ( )1Sn 12n2 4n 12n（n 2）
8、141n 1n 2所以 Tn ( )1S1 1S2 1S3 1Sn 1 1Sn 14(1 13) 14(12 14) 1413 15 14 ( ) (1 ) .(1n 1 1n 1) 141n 1n 2 14 12 1n 1 1n 2 38 14( 1n 1 1n 2)因为 Tn 0，所以 Tn .38 14( 1n 1 1n 2) 38因为 Tn1 T n 0，所以数列 Tn是递增数列，14( 1n 1 1n 3)所以 TnT 1 .所以 T n .16 16 3819(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的首项 a11，公差 d1，前 n 项和为Sn，b n .1Sn(1)求数列b n
9、的通项公式；(2)设数列b n前 n 项和为 Tn，求 Tn.解：因为等差数列a n中 a11，公差 d1.所以 Snna 1 d .n（n 1）2 n2 n2所以 bn .2n2 n(2)bn 2 ，2n2 n 2n（n 1） (1n 1n 1)所以 Tnb 1b 2b 3b n2(1 )2 12 12 13 13 14 1n 1n 1 (1 1n 1).2nn 120(本小题满分 12 分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付 38 元；第二种，第一天付 4 元，第二天付 8 元，第三天付 12 元，以此类推；第三种，第一天付 0.4 元，以
10、后每天比前一天翻一番(即增加一倍)你会选择哪种方式领取报酬呢？解：设此学生能工作 n 天，每天领的工资为 an 元，所有的工资为 Sn 元，则第一种方案：an(1)38 ，S n(1)38n；第二种方案：a n(2)4n，S n(2)4(12n)2n 22n；第三种方案：a n(3)0.42 n1 ，S n(3) 0.4(2 n1) 0.4（1 2n）1 2令 Sn(1) Sn(2)，即 38n2n 22n，解得 n18，nN *，即小于或等于 18 天时，第一种方案报酬比第二种方案高(18 天时一样高) 令 Sn(1) Sn(3)，即 38n0.4(2 n1)利用计算器求得小于或等于 9 天
11、时第一种方案报酬比第三种方案高所以当 n10 时，选择第一种方案当 n10 时，S n(1)S n(3)，S n(2)S n(3)所以等于或大于 10 天时，选择第三种方案21(本小题满分 12 分)数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n1)( nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：a n ，求数列b n的通项公式；b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1(3)令 cn (nN *)，求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn4解：(1)当 n1 时，a 1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 n(n1) (n1) n2n，因为 a12
12、满足该式，所以数列a n的通项公式为 an2n(nN *)(2)an ，b13 1 b232 1 bn3n 1an1 ，b13 1 b232 1 bn3n 1 bn 13n 1 1得， a n1 a n2，bn 13n 1 1得 bn1 2(3 n1 1)，所以 bn2(3 n1)当 n1 时，b 18，符合上式所以 bn2(3 n1)( nN*)(3)cn n(3 n1)n3 nn，anbn4所以 Tnc 1c 2c 3c n(1 323 233 3n3 n)(12n) ，令 Hn1323 233 3 n3 n，则 3Hn13 223 333 4n3 n1 ，得，2H n33 23 33 n
13、n3 n1 n3 n1 ，3（3n 1）3 1所以 Hn .（2n 1）3n 1 34所以数列c n的前 n 项和 Tn .（2n 1）3n 14 n（n 1）2 3422(本小题满分 12 分)已知数列a n满足 a11，a n1 3a n1.(1)证明 是等比数列，并求 an的通项公式；an 12(2)证明： .1a1 1a2 1an 32证明：(1)由 an1 3a n1 得 an1 3 ，所以 3，12 (an 12)an 1 12an 12所以 是等比数列，首项为 a1 ，公比为 3，an 12 12 32所以 an 3n1 ，12 32因此a n的通项公式为 an (nN*)3n 12(2)由(1)知：a n ，3n 12所以 ，1an 23n 1因为当 n1 时，3 n123 n1 ，所以 ，13n 1 123n 1于是 1 ，1a1 1a2 1an 13 13n 1 32(1 13n) 32所以 .1a1 1a2 1an 32
