2019秋人教A版数学必修5《第二章数列》单元评估验收试卷(含解析)

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资源描述

1、单元评估验收( 二)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列 3,5,9,17,33,的通项公式等于( )A2 n B2 n1C2 n1 D2 n1解析:由数列 3,5,9,17,33,的前 5 项可知,每一项都满足 2n1.答案:B2数列a n为等差数列,它的前 n 项和为 Sn,若 Sn(n1) 2,则 的值是( )A2 B1C0 D1解析:等差数列前 n 项和 Sn 的形式为 Snan 2bn,所以 1.答案:B3在单调递减的等比数列a n中,若 a31,a 2a 4

2、,则 a1 等于( )52A2 B4C. D22 2解析:由已知得 a1q21,a 1qa 1q3 ,52所以 ,q 2 q10,q q3q2 52 52所以 q 或 q2,12因为a n单调递减,所以 q ,12所以 a14.答案:B4已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn2a n2,则 a2 等于( )A4 B2C1 D2解析:因为 S12a 12a 1,所以 a12,又 S22a 22a 1a 2,所以 a24.答案:A5数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a11,a n1 3S n(n1),则 a6( )A34 4 B34 41C4 4 D4 41解析:由 an1 3S nS

3、n1 S n3S nSn1 4S n,故数列S n是首项为 1,公比为 4 的等比数列,故 Sn4 n1 ,所以 a6S 6S 54 54 434 4.答案:A6设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S10S 512,则 S15S 5 等于( )A34 B23C12 D13解析:设 S52k,S 10k ,则 S5,S 10S 5,S 15S 10 成等比数列,即 S15S 10 k,所12以 S15 k,故 S15S534.32答案:A7若a n是等比数列,其公比是 q,且a 5,a 4,a 6 成等差数列,则 q 等于( )A1 或 2 B1 或2C1 或 2 D1 或2解析:依题意

4、有 2a4a 6a 5,即 2a4a 4q2a 4q,而 a40,所以 q2q20,(q2)( q 1)0.所以 q1 或 q2.答案:C8设等差数列a n的前 n 项和为 Sn.若 a111,a 4a 6 6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( )A6 B7C8 D9解析:设等差数列a n的公差为 d,因为 a4a 66,所以 a53,所以 d 2,a5 a15 1所以 a610 ,故当等差数列a n的前 n 项和 Sn 取得最小值时,n 等于 6.答案:A9. 等于( )113 124 135 146 1n( n 2)A. B.1n( n 2) 12(1 1n 2)C. D.12(32 1

5、n 1 1n 2) 12(1 1n 1)解析:通项 an ,1n(n 2) 12(1n 1n 2)所以原式 12(1 13) (12 14) (13 15) ( 1n 1 1n 1) (1n 1n 2)12(1 12 1n 1 1n 2) .12(32 1n 1 1n 2)答案:C10已知数列a n,a n2n 2n,若该数列是递减数列,则实数 的取值范围是( )A(,6) B(,4C(,5) D( ,3解析:因为对于任意的 nN*,a n2n 2n 恒成立所以 an1 a n2(n1) 2(n1) 2n 2n4n2 ,因为a n是递减数列,所以 an1 a n0,所以4n20,即 4n2.因

6、为 n1 时,4n2 取最小值,所以 6.答案:A11已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,且 S6S7S5,有下列四个命题:d0;S 12S5.其中正确命题的序号是 ( )A BC D解析:由 S6S7S5,得 a7S 7S 60,a 6a 7S 7S 50,则da 7a 60,S 12 0,11(a1 a11)2 12(a1 a12)2 12(a6 a7)2故正确,错误;因为 a60,a 750%,所以 ,35 15(45)n 12所以 log 3.(45)n 12 4512 lg 21 3lg 2则当 n4 时,不等式 恒成立(45)n 12所以至少需要 4 年才能使绿洲面积超过

7、50%.18(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的公差 d0,它的前 n 项和为 Sn,若S570,且 a2,a 7,a 22 成等比数列(1)求数列a n的通项公式;(2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求证: T n .1Sn 16 38(1)解:因为数列a n是等差数列,所以 ana 1(n1)d,S nna 1 d.n(n 1)2依题意,有即 5a1 10d 70,(a1 6d)2 (a1 d)(a1 21d).)解得 a16,d4.所以数列a n的通项公式为 an4n2(nN *)(2)证明:由(1)可得 Sn2n 24n.所以 ( )1Sn 12n2 4n 12n(n 2)

8、141n 1n 2所以 Tn ( )1S1 1S2 1S3 1Sn 1 1Sn 14(1 13) 14(12 14) 1413 15 14 ( ) (1 ) .(1n 1 1n 1) 141n 1n 2 14 12 1n 1 1n 2 38 14( 1n 1 1n 2)因为 Tn 0,所以 Tn .38 14( 1n 1 1n 2) 38因为 Tn1 T n 0,所以数列 Tn是递增数列,14( 1n 1 1n 3)所以 TnT 1 .所以 T n .16 16 3819(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的首项 a11,公差 d1,前 n 项和为Sn,b n .1Sn(1)求数列b n

9、的通项公式;(2)设数列b n前 n 项和为 Tn,求 Tn.解:因为等差数列a n中 a11,公差 d1.所以 Snna 1 d .n(n 1)2 n2 n2所以 bn .2n2 n(2)bn 2 ,2n2 n 2n(n 1) (1n 1n 1)所以 Tnb 1b 2b 3b n2(1 )2 12 12 13 13 14 1n 1n 1 (1 1n 1).2nn 120(本小题满分 12 分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付 38 元;第二种,第一天付 4 元,第二天付 8 元,第三天付 12 元,以此类推;第三种,第一天付 0.4 元,以

10、后每天比前一天翻一番(即增加一倍)你会选择哪种方式领取报酬呢?解:设此学生能工作 n 天,每天领的工资为 an 元,所有的工资为 Sn 元,则第一种方案:an(1)38 ,S n(1)38n;第二种方案:a n(2)4n,S n(2)4(12n)2n 22n;第三种方案:a n(3)0.42 n1 ,S n(3) 0.4(2 n1) 0.4(1 2n)1 2令 Sn(1) Sn(2),即 38n2n 22n,解得 n18,nN *,即小于或等于 18 天时,第一种方案报酬比第二种方案高(18 天时一样高) 令 Sn(1) Sn(3),即 38n0.4(2 n1)利用计算器求得小于或等于 9 天

11、时第一种方案报酬比第三种方案高所以当 n10 时,选择第一种方案当 n10 时,S n(1)S n(3),S n(2)S n(3)所以等于或大于 10 天时,选择第三种方案21(本小题满分 12 分)数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Snn(n1)( nN *)(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n满足:a n ,求数列b n的通项公式;b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1(3)令 cn (nN *),求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn4解:(1)当 n1 时,a 1S 12,当 n2 时,a nS nS n1 n(n1) (n1) n2n,因为 a12

12、满足该式,所以数列a n的通项公式为 an2n(nN *)(2)an ,b13 1 b232 1 bn3n 1an1 ,b13 1 b232 1 bn3n 1 bn 13n 1 1得, a n1 a n2,bn 13n 1 1得 bn1 2(3 n1 1),所以 bn2(3 n1)当 n1 时,b 18,符合上式所以 bn2(3 n1)( nN*)(3)cn n(3 n1)n3 nn,anbn4所以 Tnc 1c 2c 3c n(1 323 233 3n3 n)(12n) ,令 Hn1323 233 3 n3 n,则 3Hn13 223 333 4n3 n1 ,得,2H n33 23 33 n

13、n3 n1 n3 n1 ,3(3n 1)3 1所以 Hn .(2n 1)3n 1 34所以数列c n的前 n 项和 Tn .(2n 1)3n 14 n(n 1)2 3422(本小题满分 12 分)已知数列a n满足 a11,a n1 3a n1.(1)证明 是等比数列,并求 an的通项公式;an 12(2)证明: .1a1 1a2 1an 32证明:(1)由 an1 3a n1 得 an1 3 ,所以 3,12 (an 12)an 1 12an 12所以 是等比数列,首项为 a1 ,公比为 3,an 12 12 32所以 an 3n1 ,12 32因此a n的通项公式为 an (nN*)3n 12(2)由(1)知:a n ,3n 12所以 ,1an 23n 1因为当 n1 时,3 n123 n1 ,所以 ,13n 1 123n 1于是 1 ,1a1 1a2 1an 13 13n 1 32(1 13n) 32所以 .1a1 1a2 1an 32

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