1、评估验收(二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条直线( )A相交 B异面C相交或异面 D平行解析：如图所示，abc，则 l 与 a 相交，l 与 b，c 异面答案：C2.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为 A1B1 的中点，ABBC2BB 12，AC2，则异面直线 BD 与 AC 所成的角为 ( )2A30 B45C60 D90解析：如图，取 B1C1 的中点 E，连接 BE，DE ，则 ACA1C1DE，
2、则BDE 即为异面直线 BD 与 AC 所成的角由条件可知 BDDEEB ，2则BDE60.答案：C3若直线 a直线 b，且 a平面 ，则( )Ab BbCb Db 或 b解析：当 b 时，a ，则 ab；当 b 时，a ，则 ab；当 b 时，a ，则 ab.所以直线 ab，且 a 时，b 或 b.答案：D4如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与平面 AB1C 平行的直线是( )ADD 1 BA 1D1CC 1D1 DA 1D解析：因为 A1B1DC，A 1B1DC，所以四边形 A1B1CD 是平行四边形，所以 A1DB1C，因为 A1D平面 AB1C，B 1C平面 AB1C，所
3、以 A1D平面 AB1C.答案：D5设 l 为直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( )A若 l，l，则 B若 l ，l，则 C若 l，l ，则 D若 ，l ，则 l解析：若 l，l ，则平面 与 可能相交，可能平行，故 A 错误；若 l，l，则根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得 B 正确；若 l，l，则 ，故 C 错误；若 ， l，则 l 与 可能相交，可能平行，也可能 l，故 D 错误答案：B6在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC ，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是( )ABC平面 PDF BDF平面 PAEC平面 PDF 平面 ABC D平面
4、 PAE平面 ABC解析：可画出对应图形，如图所示，则 BCDF.又 DF平面 PDF，BC 平面 PDF，所以 BC平面 PDF，故 A 成立由 AEBC，PEBC，BCDF，知 DFAE，DF PE，所以 DF平面 PAE，故 B 成立又 DF平面 ABC，所以平面 ABC平面 PAE，故 D 成立答案：C7(2017全国卷)如图所示，在下列四个正方体中， A，B 为正方体的两个顶点，M，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )解析：选项 A 符合题意；选项 B 中，AB MQ，则直线 AB平面 MNQ；选项 C 中，ABMQ，则直线 AB
5、平面 MNQ；选项 D 中，ABNQ，则直线 AB平面 MNQ.答案：A8.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是 ( )ACC 1 与 B1E 是异面直线BAC平面 ABB1A1CAE ，B 1C1 为异面直线，且 AEB 1C1DA 1C1平面 AB1E解析：由已知 ACAB，E 为 BC 的中点，得 AEBC.又因为 BCB1C1，所以 AEB1C1，选项 C 正确答案：C9如图所示，A 是平面 BCD 外一点，E，F，G 分别是 BD，DC，CA 的中点，设过这三点的平面为
6、 ，则在图中的 6 条直线 AB，AC ，AD ， BC，CD，DB 中，与平面 平行的直线有( )A0 条 B1 条C2 条 D3 条解析：显然 AB 与平面 相交，且交点是 AB 的中点，AB，AC，DB，DC 四条直线均与平面 相交在 BCD 中，由已知得 EFBC，又 EF，BC ，所以 BC.同理，AD，所以在题图中的 6 条直线中，与平面 平行的直线有 2 条答案：C10在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )A. B.22 32C. D.52 72解析：如图所示，连接 BE，因为 CDAB，所以BAE
7、即为异面直线 AE 与 CD 所成的角设正方体的棱长为 2，则 BE .5因为 AB平面 BB1C1C，所以 ABBE.在 RtABE 中，tan BAE .BEAB 52答案：C11在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若BAC 90 ，ABACAA 1，则异面直线 BA1与 AC1 所成的角等于( )A30 B45C60 D90解析：如图所示，延长 CA 至点 M，使 AMCA，则 A1MC1A，MA 1B 或其补角为异面直线 BA1 与 AC1 所成的角连接 BM，易知BMA 1 为等边三角形，因此，异面直线BA1 与 AC1 所成的角为 60.答案：C12若 P 为ABC 所在平面外一点
8、，分别连接 PA，PB，PC，则所构成的 4 个三角形中直角三角形的个数最多为( )A1 B2C3 D4解析：设ABC 为直角三角形，过一锐角顶点 PA平面 ABC，则 4 个三角形都是直角三角形答案：D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知平面 平面 l，a ，a，则直线 a 与直线 l 的位置关系是_解析：如图所示，因为 l，a，a ，所以 al.答案：平行14在三棱锥 PABC 中，PA PB PCBC，且BAC 90，则 PA 与底面 ABC 所成的角为_解析：PAPBPC，则点 P 在底面 ABC 上的射影落在 RtABC 斜边 B
9、C 上，即为BC 的中点设为点 D，则 PAD 即为所求答案：6015.如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 E 是 SA 上一点，当SESA_ 时，SC 平面 EBD.解析：如图，连接 AC，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO.因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以点 O 是 AC 的中点因为 SC平面 EBD，且平面 EBD平面 SACEO，所以 SCEO.所以点 E 是 SA 的中点，此时 SESA1 2.答案：1216如图，平行四边形 ABCD 中，ABBD，沿 BD 将ABD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AC，则在四面体 ABCD
10、的四个面中，互相垂直的平面共有_对解析：由题意知，直线 AB平面 BCD，直线 CD平面 ABD，所以平面 ABD平面BCD，平面 ABC平面 BCD，平面 ABD平面 ACD，共有 3 对答案：3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)如图所示，在四面体 PABC 中，PC AB ，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC ，BC，PB 的中点，求证：(1)DE 平面 BCP；(2)四边形 DEFG 为矩形证明：(1)因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DEPC.又因为 DE平面 BCP，PC平面 B
11、CP，所以 DE平面 BCP.(2)因为 D，E， F，G 分别为 AP，AC，BC ，PB 的中点，所以 DEPCFG，DGAB EF.所以四边形 DEFG 为平行四边形又因为 PCAB，所以 DEDG.所以四边形 DEFG 为矩形18.(2017北京卷)( 本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 PABC 中，PA AB，PA BC，AB BC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面 BDE平面 PAC；(3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积(1)证明：因为 PAAB，PA BC，所以 PA平面 ABC.
12、又因为 BD平面 ABC，所以 PABD.(2)证明：因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC.由(1)知，PABD，所以 BD平面 PAC.所以平面 BDE平面 PAC.(3)解：因为 PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDEDE，所以 PADE.因为 D 为 AC 的中点，ABBC，所以 DE PA1，BDDC .12 2由(1)知，PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC.所以三棱锥 EBCD 的体积 V BDDCDE .13 12 1319.(本小题满分 12 分)如图所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA 平面 ABCD，BCAD， CD1，
13、AD2 ，BAD CDA45.2(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；(2)证明：CD 平面 ABF.(1)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FAED，故CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角因为 FA平面 ABCD，所以 FACD，故 EDCD.在 RtCDE 中，因为 CD1，ED2 ，2所以 CE 3，CD2 ED2所以 cos CED .EDCE 223故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 .223(2)证明：如图，过点 B 作 BGCD 交 AD 于点 G，则BGACDA 45.由BAD45可得 BGAB，从而 CDAB.又因为 CDFA，FA AB
14、A，FA平面 ABF， AB平面 ABF.所以 CD平面 ABF.20(本小题满分 12 分)如图所示，PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于 A，B 的任意一点，PAAB 2.(1)求证：BCPC；(2)求三棱锥 P-ABC 体积的最大值，并写出此时三棱锥 P-ABC 外接球的表面积(1)证明：易知 PA平面 ABC，所以 PABC，因为 AB 是圆柱底面圆的直径，所以 BCAC，又 ACPAA ，所以 BC平面 PAC，又 PC平面 PAC，所以 BCPC.(2)解：由已知得，三棱锥 P-ABC 的高 PA2，故当直角ABC 的面积最大时，三棱锥 PABC 的体积
15、最大，易知当点 C 在弧 AB 的中点时， ABC 的面积最大，此时 SABC1，所以 VP-ABC 21 .13 23易知三棱锥 PABC 的外接球的直径为 PB，且 PB 2 .PA2 AB2 2所以外接球的半径 R ，故 S 外接球 4 R28.221.(2018全国卷)( 本小题满分 12 分) 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在CD 平面垂直，M 是 上异于 C，D 的点CD (1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BCCD，BC平面 A
16、BCD，所以 BC平面 CMD，故 BCDM.因为 M 为 上异CD 于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.又 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)解：当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：连接 AC 交 BD 于点 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以MCOP.MC平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.22(本小题满分 12 分)如图，等边三角形 ABC 的边长为 2a，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边
17、上的点，且满足 k，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角CECA CFCBADCB，如图 .(1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 BACD 的正切值图 图解：(1)AB平面 DEF，理由如下：在ABC 中，因为 E，F 分别是 AC，BC 上的点，且满足 k，CECA CFCB所以 ABEF.因为 AB平面 DEF，EF 平面 DEF，所以 AB平面 DEF.(2)如图，过点 D 作 DGAC 于点 G，连接 BG.因为 ADCD，BDCD，所以ADB 是二面角 ADCB 的平面角所以ADB90，即 BDAD.所以 BD平面 ADC.所以 BDAC.所以 AC平面 BGD.所以 BGAC.所以BGD 是二面角 BACD 的平面角在ADC 中，ADa，DC a，AC2a，3所以 DG .ADDCAC 3a22a 3a2在 RtBDG 中， tanBGD ，BDDG 233即二面角 BACD 的正切值为 .233
