2019秋人教A版数学必修2 第三章评估验收试卷(三)含答案解析

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1、评估验收( 三)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1直线 x y10 的倾斜角是( )3A30 B45C60 D120解析:由 x y10,知直线的斜率为 ,3 3所以 tan ,则倾斜角 120.3答案:D2无论 k 为何值,直线( k2)x(1k) y4k50 都过一个定点,则定点坐标为( )A(1,3) B(1,3)C(3,1) D(3,1)解析:直线方程可化为(2xy5)k(xy4)0,由直线系方程知,此直线系过两直线的交点由 x y 4 0,2x y 5 0,)解得

2、 x 3,y 1,)即定点为(3,1)答案:D3过点 A(4, a)和点 B(5,b)的直线与 yxm 平行,则| AB|的值为( )A6 B. 6C2 D. 2解析:由 kAB 1,得 ba1,所以|AB| .(5 4)2 (b a)2 1 1 2答案:D4若直线 l1:ax 2y60 与直线 l2:x ( a1)ya 2 10 垂直,则实数 a( )A. B123C2 D1 或 2解析:由 a12(a1)0,得 a .23答案:A5若直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y40 垂直,则直线 l 的方程是( )A3x2y10 B3x2y70C2x 3y50 D2x3y 80解析:因为直线

3、 l 与直线 2x3y40 垂直,故可设 l 的方程为 3x2yb0,又因为直线 l 过点(1,2),所以34b0,即 b1.故所求直线 l 的方程为 3x2y10.答案:A6设点 A(2, 3),B(3,2),直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是 ( )Ak 或 k4 B4k34 34C k4 D以上都不对34解析:易知 kPA4,k PB ,34画图观察可知 k 或 k4.34答案:A7已知直线 x2y m0(m0)与直线 xny30 互相平行,且两者之间的距离是 ,则 mn 等于( )5A1 B0C1 D2解析:由题意知所给两条直线平行,所

4、以 n2.由两条平行直线间的距离公式,得 d .|m 3|12 ( 2)2 |m 3|5 5解得 m2 或 m8(舍去),所以 mn0.答案:B8已知定点 P(2,0) 和直线 l:(1 3 )x(1 2)y25( R),则点 P 到直线 l的距离的最大值为( )A2 B.3 10C. D214 15解析:把直线 l 的方程化为 xy2(3x2y5)0,则直线 l 过直线 xy20 与 3x2y50 的交点设两直线的交点为 Q,由 解得 Q(1,1),x y 2 0,3x 2y 5 0,)所以点 P 到直线 l 的距离 d|PQ| .(1 2)2 12 10故点 P 到直线 l 的距离的最大值

5、为 .10答案:B9设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 3,且|PA| PB|,若直线 PA 的方程为 xy10,则直线 PB 的方程是 ( )Axy50 B2xy10Cx 2y40 Dxy 70解析:由|PA| PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上由点 P 的横坐标为 3,且 PA 的方程为 xy10,得 P(3,4) 直线 PA,PB 关于直线 x3 对称,直线 PA 上的点(0 ,1)关于直线 x3 的对称点 (6,1)在直线 PB 上,所以直线 PB 的方程为 xy70.答案:D10直线 l1 与直线 l2:2x3y100 的交点在 x 轴上,且 l1l 2,则直线

6、 l1 在 y 轴上的截距是( )A5 B5C. D152 152解析:依题意得直线 l2:2x 3y100 与 x 轴的交点为(5,0) ,斜率 kl2 .因为23l1l2,所以直线 l1 的斜率 kl1 .于是直线 l1 的方程为 y (x5),即 3x2y150.32 32令 x0,得 y ,即直线 l1 在 y 轴上的截距是 .152 152答案:C11若在直线 y2 上有一点 P,它到点 A(3,1)和 B(5,1)的距离之和最小,则该最小值为( )A2 B45 5C5 D102 2解析:如图所示,点 B (5, 1)关于直线 y2 的对称点为 B(5,3),设 AB交y2 于点 P

7、,因为| PB|PB |,所以|PA| |PB| |PA| PB|.所求最小值即为|AB|,|AB| 4 .(5 3)2 ( 3 1)2 5答案:B12如图所示,已知两点 A(4,0) ,B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( )A2 B610C3 D23 5解析:易得 AB 所在的直线方程为 xy 4,由于点 P 关于直线 AB 对称的点为A1(4,2) ,点 P 关于 y 轴对称的点为 A(2,0) ,则光线所经过的路程即 A1(4,2)与A( 2,0) 两点间的距离于是|A 1A|

8、 2 .(4 2)2 (2 0)2 10答案:A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上)13已知直线 l 与直线 y1,xy70 分别相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点坐标为(1, 1),那么直线 l 的斜率为 _解析:设 P(x,1),则 Q(2 x,3),将点 Q 的坐标代入 xy70,得 2x370.所以 x2,所以 P(2,1),所以 kl .23答案:2314由点 P(2, 3)发出的光线射到直线 xy1 上,反射后过点 Q(1,1) ,则反射光线所在直线的一般式方程为_解析:设点 P 关于直线 xy1 的对称点为 P(x0,y 0),

9、则 P(x0,y 0)满足条件x0 22 y0 32 1,y0 3x0 2 1, )解得 所以点 P的坐标为(4,3) x0 4,y0 3,)所以由直线的点斜式方程可求得反射光线所在直线方程为 y1 (x1), 3 1 4 1即 4x5y10.答案:4x5y1015已知 a,b,c 为某一直角三角形的三边长,c 为斜边长,若点( m,n)在直线axby2c0 上,则 m2n 2 的最小值为 _解析:设 P(m,n) ,原点为 O,则| OP|2m 2n 2,显然|OP|的最小值即为点 O 到直线axby2c0 的距离 d,且 d 2.|2c|a2 b2 2ca2 b2 2cc所以 m2n 2

10、的最小值为 4.答案:416已知平面上一点 M(5,0),若在某一直线上存在点 P 使得|PM| 4,则称该直线为“切割型直线” ,下列直线是“切割型直线”的是_(填序号) yx1;y 1;y x;y2x 1.43解析:看所给直线上的点到定点 M 的距离能否取 4,可通过各直线上的点到点 M 的最小距离,即点 M 到直线的距离 d 来分析;d 3 4,故直线上不存在到点 M5 12 2的距离等于 4 的点 P,该直线不是“切割型直线” ;d14,所以在直线上可以找到两个不同的点 P,使之到 M 的距离等于 4,该直线是“切割型直线 ”;d 4,所以直线205上存在一个点 P,到点 M 的距离等

11、于 4,该直线是“切割型直线 ”;d 4,故115 1155直线上不存在到点 M 的距离等于 4 的点 P,该直线不是“ 切割型直线” 答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)当 m 为何值时,直线(2 m2m 3)x(m 2m)y4m 1 满足下列条件?(1)倾斜角为 45;(2)在 x 轴上的截距为 1.解:(1)倾斜角为 45,则斜率为 1.所以 1,解得 m1 或 m1(舍去) 2m2 m 3m2 m直线方程为 2x2y 50,符合题意,所以 m1.(2)当 y0 时,x 1,4m 12m2 m 3解得

12、 m 或 m2,12当 m 或 m2 时都符合题意,12所以 m 或 m2.1218(本小题满分 12 分)已知直线 l:ykx2k1.(1)求证:直线 l 过定点;(2)当3x3 时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围证明:(1)由 ykx2k1,得 y1k (x2) 由直线方程的点斜式可知,直线过定点(2,1) (2)设函数 f(x) kx2k1,显然其图象是一条直线( 如图所示)若当3x3 时,直线上的点都在 x 轴上方,则需满足 即f( 3) 0,f(3) 0,) 3k 2k 1 0,3k 2k 1 0. )解得 k1.15故实数 k 的取值范围是 . 15,119(本

13、小题满分 12 分)已知直线 l 过两直线 3xy10 0 和 xy20 的交点,且直线 l 与点 A(1,3) 和点 B(5, 2)的距离相等,求直线 l 的方程解:法一 由 得交点为(3,1) 3x y 10 0,x y 2 0,)设直线 l 的方程为 y1k(x3) 即 kxy3k10.则 ,解得 k .| 2k 4|k2 1 |2k 3|k2 1 14所以直线 l 的方程为 y1 (x3) ,即 x4y 10.14又当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x3,也满足题意,故所求的直线 l 的方程为x4y10 或 x3.法二 同法一求得两直线的交点为(3,1) 由直线 l 与 A,B 的

14、距离相等,可知lAB 或 l 过 AB 的中点,所以由 lAB,得 l 的方程为 y1 (x3) ,即 x4y10.14由 l 过 AB 的中点,得 l 的方程为 x3.故 x4y10 或 x3 为所求法三 设直线 l 的方程为 3xy10(xy2)0,即(3)x(1)y 102 0,由题意,得|(3 ) 3( 1) 10 2|(3 )2 ( 1)2.|5(3 ) 2( 1) 10 2|(3 )2 ( 1)2解得 或 1.133故所求的直线 l 的方程为 x4y10 或 x3.20(本小题满分 12 分)如图,在ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为x2y10,A 的平分线所在直线的方程为

15、 y0,若点 B 的坐标为(1 ,2),求点 A 和点C 的坐标解:由 解得x 2y 1 0,y 0, ) x 1,y 0. )所以点 A 的坐标为(1,0) 因为直线 y0 为 A 的平分线,故 kACk AB 1.2 01 1于是,直线 AC 的方程为 xy10.因为 BC 边上的高所在直线的斜率为 ,12所以 kBC2.于是 BC 所在直线的方程为 y22( x1) ,即 2xy40.由 解得2x y 4 0,x y 1 0,) x 5,y 6.)所以点 C 的坐标为(5,6)21(本小题满分 12 分)直线 l 经过两直线 l1:3x4y 20 和 l2:2xy20 的交点(1)若直线

16、 l 与直线 3xy 1 0 平行,求直线 l 的方程;(2)点 A(3,1)到直线 l 的距离为 5,求直线 l 的方程解:由 解得3x 4y 2 0,2x y 2 0,) x 2,y 2,)所以两直线的交点 M(2,2)(1)设直线 l 的方程为 3xy c0(c1),把点(2,2) 代入方程,得 c4,所以直线 l 的方程为 3xy40.(2)当直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x2,此时点 A(3,1)到直线 l 的距离为 5,满足题意;当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y2k(x2) ,即 kxy2k20,则点 A(3,1) 到直线 l 的距离 d 5,|3k 1 2k 2

17、|k2 1 |5k 1|k2 1所以 k ,则直线 l 的方程为 12x5y340.125故直线 l 的方程为 x2 或 12x5y340.22(本小题满分 12 分)已知直线 l:2xy10 和点 O(0,0),M (0,3),试在 l 上找一点 P,使得| PO|PM|的值最大,并求出这个最大值解:如图,设点 O(0,0)关于直线 l:2xy 10 的对称点 O(x,y) ,则 2 1,且 2 1 0,由此得 O ,yx x2 y2 ( 45,25)则直线 MO的方程为 y3 x,134由 得y 3 134x,2x y 1 0,) x 85,y 115,)即 P 的坐标为 ,( 85, 115)|PO|PM| |MO | ,1855即|PO| PM|的最大值为 .1855

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