2019秋人教A版数学必修4《第二章 平面向量》单元评估验收试卷(含解析)

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资源描述

1、单元评估验收( 二)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若向量 a(2,0),b(1,1) ,则下列结论正确的是( )Aab1 B|a| |b|C(ab)b Dab解析:ab2,所以 A 不正确;|a| 2,|b| ,则|a| |b|,所以 B 不正确;2ab(1 ,1),( ab)b(1, 1)(1,1) 0,所以(ab) b,所以 C 正确;由于21012 0,所以 a,b 不平行,所以 D 不正确答案:C2已知向量 a,b 不共线,若 1ab, a 2b,且 A,B,C

2、 三点共线,则AB AC 关于实数 1, 2 一定成立的关系式为 ( )A 1 21 B 1 21C 121 D 1 21解析:因为 A,B,C 三点共线,所以 k (k0),AB AC 所以 1abk(a 2b)kak 2b.又 a,b 不共线,所以 所以 121.1 k,1 k2,)答案:C3( ) ( ) 化简后等于( )AB MB BO BC OM A. B. C. D.BC AB AC AM 解析:原式 .AB BO OM MB BC AC 答案:C4设非零向量 a,b 满足|a b|ab|,则( )Aab B|a| |b| Cab D|a| |b|解析:由|ab |ab|,得(ab

3、) 2( ab) 2,得 ab0,又 a,b 均为非零向量,故 ab.答案:A5已知 (2,2) , (4,1), (x,0),则当 最小时,x 的值是( )OA OB OP AP BP A3 B3 C1 D1解析: (x 2,2), (x 4,1), ( x2)AP OP OA BP OP OB AP BP (x4)2x 2 6x10(x 3) 21.当 x3 时, 取到最小值AP BP 答案:B6设点 A(1 ,2) ,B(2,3),C(3,1) ,且 2 3 ,则点 D 的坐标为( )AD AB BC A(2,16) B(2,16)C(4,16) D(2,0)解析:设 D(x, y),由

4、题意可知 ( x1,y2), (3 ,1), (1,4),AD AB BC 所以 2 3 2(3 ,1)3(1,4) (3,14) AB BC 所以 x 1 3,y 2 14,)所以 x 2,y 16.)答案:A7设 D 为ABC 所在平面内一点, 3 ,则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 解析: ( ) .AD AC CD AC 13BC AC 13AC AB 43AC 13AB 13AB 43AC 答案:A8在菱形 ABCD 中,若 AC2,则 等于( )CA AB A2 B2C

5、| |cos A D与菱形的边长有关AB 解析:如图,设对角线 AC 与 BD 交于点 O,所以 .AB AO OB ( )202.CA AB CA AO OB 答案:B9设 D 为边长是 2 的等边 ABC 所在平面内一点, 3 ,则 的值是( )BC CD AD AC A. B C. D4143 143 43解析:由 3 可得,点 D 在ABC 外,在直线 BC 上且 BD4CD,则| | |BC CD CD 13| , ( ) | |2| | |cos 4 2 .BC 23 AD AC AC CD AC AC CD AC 3 23 12 143答案:A10在ABC 中,AB 4,ABC

6、30 ,D 是边 BC 上的一点,且 ,AD AB AD AC 则 的值等于( )AD AB A4 B0 C4 D8解析:因为 ,AD AB AD AC 所以 ( )0,AD AB AC 所以 0 ,即 ADBC.AD CB 所以ADB90,在 RtADB 中, B30,所以 AD AB2,BAD 60 ,12所以 | | |cos 6024 4.AD AB AD AB 12答案:C11定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的 a(m ,n),b(p,q),令abmqnp.下面说法错误的是 ( )A若 a 与 b 共线,则 ab 0BabbaC对任意的 R,有(a) b( ab)D(ab)

7、 2(a b)2|a| 2|b|2解析:根据题意可知若 a,b 共线,可得 mqnp,所以 abmqnp0,所以 A正确;因为 abmqnp,而 banpmq,故二者不相等,所以 B 错误;对于任意的R,( a)b (ab)mq np,所以 C 正确;(a b)2( ab)2m 2q2n 2p22mnpqm 2p2n 2q22mnpq(m 2n 2)(p2q 2)|a| 2|b|2,所以 D 正确答案:B12已知 A,B,C 是锐角ABC 的三个内角,向量 p(sin A,1),q(1,cos B),则 p 与 q 的夹角是( )A锐角 B钝角 C直角 D不确定解析:因为ABC 为锐角三角形,

8、所以 AB ,2所以 A B ,且 A,B ,2 (0,2)所以 sin Asin cos B,所以 pqsin Acos B0,故 p,q 的夹角为锐角(2 B)答案:A二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中的横线上)13已知向量 a(2,3),b(3,m),且 ab,则 m_解析:由题意可得,233m 0,所以 m2.答案:214已知向量 a,b 满足|a| 1,|b|2,则| ab|ab| 的最小值是 _,最大值是_解析:不妨令 b(2,0),a(cos ,sin ),则 ab(2cos ,sin ),ab(cos 2,sin ),令 y|ab| |

9、 ab| (2 cos )2 sin2 (cos 2)2 sin2 ,5 4cos 5 4cos 则 y2102 .25 16cos2因为 2516cos 29,25,所以 y216,20又 y0,所以 y4,2 5答案:4 2 515若 a(2,3),b( 4,7) ,ac 0,则 c 在 b 方向上的投影为 _解析:ac(2,3)c 0,所以 c(2,3) ,设 c 与 b 夹角为 ,则 c 在 b 方向上的投影为|c|cos | c| cb|c|b| cb|b| .( 2, 3)( 4,7)( 4)2 72 655答案:65516若两个向量 a 与 b 的夹角为 ,则称向量“ab”为 “

10、向量积” ,其长度|ab| |a|b|sin ,若已知| a|1,|b| 5,ab4,则|ab| _解析:由|a| 1 ,|b|5,ab 4 得 cos ,45又 0,所以 sin .35由此可得|ab |15 3.35答案:3三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如图,ABCD 是一个梯形, 且| |2| |,M ,N 分AB CD AB CD 别是 DC,AB 的中点,已知 e 1, e 2,试用 e1,e 2 表示下列向量 , .AB AD AC MN 解:因为 ,| |2| |,AB CD AB CD 所以 2

11、, .AB DC DC 12AB (1) e 2 e1.AC AD DC 12(2) MN MD DA AN 12DC AD 12AB e1e 2 e114 12 e1e 2.1418(本小题满分 12 分)不共线向量 a, b 的夹角为小于 120的角,且| a|1,|b| 2,已知向量 ca 2b,求|c |的取值范围解:|c| 2|a2b| 2|a| 24ab4| b|2178cos (其中 为 a 与 b 的夹角) 因为 0120.所以 cos 1,12所以 |c|5,13所以|c| 的取值范围为( ,5)1319(本小题满分 12 分)如图所示,在ABC 中, , ,BQ 与 CR

12、相AQ QC AR 13AB 交于点 I,AI 的延长线与边 BC 交于点 P.(1)用 和 分别表示 和 ;AB AC BQ CR (2)如果 ,求实数 和 的值;AI AB BQ AC CR (3)确定点 P 在边 BC 上的位置解:(1)由 ,AQ 12AC 可得 .BQ BA AQ AB 12AC 因为 ,AR 13AB 所以 .CR CA AR AC 13AB (2)将 , 代入 ,BQ AB 12AC CR AC 13AB AI AB BQ AC CR 则有 ,AB ( AB 12AC ) AC ( AC 13AB )即(1) (1) ,AB 12AC 13AB AC 所以 解得1

13、 13,12 1 ,) 45, 35.)(3)设 m , n .BP BC AP AI 由(2)知 ,AI 15AB 25AC 所以 n n m m m ,BP AP AB AI AB (15AB 25AC ) AB 2n5AC (n5 1)AB BC AC AB 因为 与 不共线,AB AC 所以 解得 m n5 1,m 2n5, ) m 23,n 53,)所以 ,即 2,BP 23BC BPPC所以点 P 在 BC 的三等分点且靠近点 C 处20(本小题满分 12 分)在四边形 ABCD 中, (6 ,1), (x ,y),AB BC ( 2,3), .CD BC DA (1)求 x 与

14、y 的关系式;(2)若 ,求 x、y 的值以及四边形 ABCD 的面积AC BD 解:如图所示(1)因为 (x4,y2),所以 (x4,2y) AD AB BC CD DA AD 又因为 , (x,y) ,BC DA BC 所以 x(2y) (x 4)y 0,即 x2y0.(2)由于 (x6,y1),AC AB BC (x2,y3)BD BC CD 因为 ,所以 0,AC BD AC BD 即(x6)(x2)(y 1)(y 3)0,又 x2y0,所以 y22y30,所以 y 3 或 y1.当 y3 时,x6,于是 (6,3), (0 ,4) , (8,0) BC AC BD 所以| |4,|

15、|8,AC BD 所以 S 四边形 ABCD | | | 16.12AC BD 当 y1 时,x 2,于是有 (2,1) , (8 ,0), (0 ,4)BC AC BD 所以| |8,| |4,S 四边形 ABCD16.AC BD 综上可知 或x 6,y 3 ) x 2,y 1,)S 四边形 ABCD16.21(本小题满分 12 分)已知 a(2xy1,x y2) ,b(2,2)(1)当 x,y 为何值时,a 与 b 共线?(2)是否存在实数 x,y 使得 ab,且| a|b| ?若存在,求出 xy 的值;若不存在,请说明理由解:(1)因为 a 与 b 共线,所以存在实数 ,使得 ab,所以

16、 2x y 1 2,x y 2 2,)解得 x 13,yR,)所以当 x ,y 为任意实数时,a 与 b 共线13(2)由 abab0(2xy1)2( xy 2) (2)0x2y30.由|a |b|(2 xy1) 2(x y2) 28.联立解得 或x 1,y 1,) x 53,y 73,)所以 xy1 或 xy .359所以存在实数 x,y ,使得 ab,且|a|b| ,此时 xy1 或 xy .35922(本小题满分 12 分)已知三角形 ABC 是等腰直角三角形,ABC90,D 是 BC边的中点,BE AD ,延长 BE 交 AC 于点 F,连接 DF.求证: ADBFDC(用向量方法证明

17、) 证明:如图所示,建立直角坐标系,设 A(2,0) ,C (0,2),则 D(0,1)于是 ( 2,1) , (2,2)AD AC 设 F(x,y),由 ,BF AD 得 0,BF AD 即(x,y)(2,1)0,所以2xy0.又 F 点在 AC 上,则 ,FC AC 而 (x,2 y ),FC 因此 2(x) (2)(2 y) 0,即 xy 2.由式解得 x ,y ,23 43所以 F , , (0,1) ,(23,43) DF (23,13) DC ,DF DC 13又 | | |cosFDC cos FDC.DF DC DF DC 53所以 cosFDC ,55又 cosADB ,DB DA |DB |DA | 15 55所以 cosADBcosFDC ,故 ADBFDC.55

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