1、2018 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设集合 AxZ| x1，Bx|x 24，则 AB（ ）A （1，2 B （1，2） C0 ，1，2 D1 ，22 （5 分）复数 z 在复平面内表示的点 Z 如图所示，则使得 z2z1 是纯虚数的一个 z1 是（ ）A4+3i B3+4i C43i D34i3 （5 分）已知 ，则 tan2（ ）A B2 C D4 （5 分）如图为某市 2017 年 3 月 2127 日空气质量指
2、数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为 050 空气质量属于优，51100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染在这一周内，下列结论中正确的是（ ）A空气质量优良的概率为B空气质量不是良好的天数为 6C这周的平均空气质量为良好D前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 的方差第 2 页（共 26 页）5 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+2y 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D106 （5 分） “a0”是“（1+x+x 2） （1+ ） 4 的常数项为 1”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既
3、不充分也不必要条件7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值为（ ）A2 B3 C4 D58 （5 分）函数（x） ，若函数 yf（x）k 有三个不同的零点x1，x 2，x 3，则 x1x2x3 的取值范围是（ ）A5，6） B ） C （5，6） D （5， 9 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）第 3 页（共 26 页）A B100 C D10 （5 分）函数 f（x ）sin（2x+ ） （| ）的图象向左平移 个单位后为偶函数，设数列a n的通项公式为 anf （ ） ，则 an的前 2018 项之和为（
4、 ）A0 B1 C D211 （5 分）已知抛物线 W： y24x 的焦点为 F，点 P 是圆 O：x 2+y2r 2（r0）与抛物线W 的一个交点，点 A（1， 0） ，则当 最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是（ ）A B1 C D12 （5 分）若过点 P（1，m ）可以作三条直线与曲线 C：yxe x 相切，则 m 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ）C （0，+） D （ ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）已知向量 （2，4） ， （1，m ） ，且 与 2 平行，则 m 等于
5、 14 （5 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是，b，c，若 sinB2sinC，且a ，A ，则 c 第 4 页（共 26 页）15 （5 分）已知双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1，F 2，点 P（5，1）满足|PF1| PF2|6 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 16 （5 分）已知平面 ，正方形 ABCD 在平面 内的正投影可能是：一个内角为 120的菱形； 两条邻边长之比为 的矩形；梯形； 既非矩形又非菱形的平行四边形其中正确命题的序号是 （填写出所有正确
6、命题的序号）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an+1S n+n+1（n1，2，3） ，a11（1）求证：a n+1为等比数列；（2）数列a n中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中， ，ADCD2，PAPC，ABAD ，平面 PAD平面 ABCD（1）求证：PD平面 ABCD；（2）若 PD3，求直线
7、CD 与平面 PAB 所成角的正弦值19 （12 分）某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按 100 计） ，随机对 20 名六十岁以上的老人和 20 名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷第 5 页（共 26 页）调查，得到了如下统计结果：表 1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表 满意度 0， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90，100人 数 1 5 6 5 3表 2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度 0， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90，100人数 2
8、4 8 4 2表 3满意度小于 80 满意度不小于 80 合计六十岁以上老人人数十八岁以上六十岁以下的中青年人人数合计（1）若该小区共有中青年人 500 人，试估计其中满意度不少于 80 的人数；（2）完成表 3 的 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表 3 的；六十岁以上的老人“满意度小于 80”和“满意度不小于 80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，再从中任取 3 人，求至少有两人满意小于80 的概率附：K 2 ，其中 na+b+c+d P（ K2k0）0.50 0.40 0.25 0.15
9、 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8320 （12 分）已知椭圆 M： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F2 的直线 l 与椭圆 M 交于 A、B 两点，当 AB 垂直于 x 轴时，|AB|2（a ） （1）求椭圆 M 的焦距；（2）设椭圆 M 的右顶点为 H，试问是否存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆过第 6 页（共 26 页）点 H？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由21 （12 分）已知函数 f（
10、x ）e x（x 2+axcosx+1） （1）当 a0 时，判断 f（x ） 与 1 的大小关系，并说明理由；（2）若对于x 0，1，f（x）2x+1 恒成立，求 a 的最小值(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin（ ）a（1）若 a ，求直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与 C 交于不同两点
11、，求原点到直线 l 距离的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |xa| |12x| （1）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若不等式 f（x ）a 的解集是（m，n） ，求证：m +n1第 7 页（共 26 页）2018 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设集合 AxZ| x1，Bx|x 24，则 AB（ ）A （1，2 B （1，2） C0 ，1，2 D1 ，2【分析】先解出集合 Bx| 2x2
12、，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| 2x 2，且 Ax Z|x1；AB0，1，2故选：C【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算2 （5 分）复数 z 在复平面内表示的点 Z 如图所示，则使得 z2z1 是纯虚数的一个 z1 是（ ）A4+3i B3+4i C43i D34i【分析】由图可得：z2+i，设 z1a+bi（a，bR） 再利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：由图可得：z2+i，设 z1a+bi（a，bR） z2z1（2+i） 2（a+bi）（34i ） （a+bi ）3a+4b+（3b4a）i 为纯虚数，则 3a+4b0，3b4a
13、0则 z143i故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）已知 ，则 tan2（ ）第 8 页（共 26 页）A B2 C D【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos2，sin 2，进而可得 tan2的值【解答】解： ，可得：cos 2sin 2 ，又cos 2+sin21，可得 cos2 ，sin 2 ，tan 2 故选：D【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题4 （5 分）如图
14、为某市 2017 年 3 月 2127 日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为 050 空气质量属于优，51100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染在这一周内，下列结论中正确的是（ ）A空气质量优良的概率为B空气质量不是良好的天数为 6C这周的平均空气质量为良好D前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 的方差【分析】由空气质量指数（AQI）柱形图得空气质量不是良好的天数为 6 天【解答】解：由空气质量指数（AQI）柱形图得：第 9 页（共 26 页）在 A 中，空气质量优良的概率为 p ，故 A 错误；在 B 中，空气质量不是良好的天数为 6 天，故
15、 B 正确；在 C 中，这周的平均空气质量指数大于 100，属不同程度的污染，故 C 错误；在 D 中，前三天 AQI 的方差小于后四天 AQI 的方差，故 D 错误故选：B【点评】本题考查柱形图的应用，考查概率、频数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题5 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+2y 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D10【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最小值【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图所示；由图形知，当目标函数 zx+2y 过点 A 时，z 取得
16、最小值；由 ，求得 A（2，1） ，z 的最小值为 2+214故选：A【点评】本题看出来线性规划的简单应用问题，是基础题第 10 页（共 26 页）6 （5 分） “a0”是“（1+x+x 2） （1+ ） 4 的常数项为 1”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出代数式的常数项，得到关于 a 的方程，求出 a 的值，根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由题意 的常数项是 1+4a+6a21，解得：a0 或 a ，故 a0 是 a0 或 a 的充分不必要条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查二项式定理，是一
17、道中档题7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的第 11 页（共 26 页）值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 m16 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m8，n2；当 m8 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m4，n3；当 m4 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m2，n4；当 m2 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m1，n5；当 m1 时，满足 cosm0，故输出的 n5，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次
18、数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8 （5 分）函数（x） ，若函数 yf（x）k 有三个不同的零点x1，x 2，x 3，则 x1x2x3 的取值范围是（ ）A5，6） B ） C （5，6） D （5， 【分析】根据 f（x ）的函数图象得出三个零点之间的关系和范围，从而得出答案【解答】解：作出 f（x ）的函数图象如图所示：函数 yf（x）k 有三个不同的零点 x1，x 2，x 3，不妨设 x1x 2x 3，则log 5x1log 5x2，故而 x1x21，且 x 36x 1x2x3x 3，故选：B第 12 页（共 26 页）【点评】本题考查了函数图象与函数零点的关系
19、，考查对数的运算性质，属于中档题9 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B100 C D【分析】判断三棱锥的外接球的球心的位置，求出外接球的半径，然后求解即可【解答】解：由三视图可知三棱锥是以俯视图为底面，高为： ，顶点在底面的射影在底面等腰三角形的底边的中点，如图，射影外接球的球心在棱锥的高上，设外接球的半径玩 R，则 2，解得 R 该几何体的外接球的体积是： 故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求外接球的体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状10 （5 分）函数 f（x ）sin（2x+ ） （| ）的图象向左平移 个单位后为
20、偶函数，第 13 页（共 26 页）设数列a n的通项公式为 anf （ ） ，则 an的前 2018 项之和为（ ）A0 B1 C D2【分析】由已知可得 ，k Z即 ，kZ进一步求得 则函数解析式可求，进而得 an 表达式，判断数列a n的周期，根据数列的周期性可得a n的前 2018 项之和【解答】解：函数 f（x ）sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数解析式为 ysin （2x+ +） ，由函数 ysin （ 2x+ +）为偶函数，可得 ，kZ ，k Z| ， 则 f（x）sin（2x + ） a nf（ ）sin（ ） ，可知数列a n的周期为 6
21、，且 a11，a 2sin （ + ） ，a3sin（ + ） ，a 4sin（ + ）1，a 5sin（ + ） ，a 6 ，a n的前 2018 项之和为 336（a 1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a 1+a2）3360+（1+ ） ，故选：C【点评】本题考查数列求和、由 yAsin （ x+）的部分图象求其解析式，考查函数的周期性，考查学生综合运用知识解决问题的能力，是中档题11 （5 分）已知抛物线 W： y24x 的焦点为 F，点 P 是圆 O：x 2+y2r 2（r0）与抛物线W 的一个交点，点 A（1， 0） ，则当 最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是（
22、;）第 14 页（共 26 页）A B1 C D【分析】根据几何意义可知当 AP 与抛物线相切时，当 最小，求出 P 点坐标得出PF 方程即可得出答案【解答】解：过 P 作抛物线的准线的垂线 PM，M 为垂足，则 |PF|PM| ，则 sinPAM，当 PA 与抛物线相切时，PAM 取得最小值，故而 取得最小值设直线 PA 的方程为 yk （x+1） ，代入抛物线方程得：k 2x2+（2k 24）x+k 20，令（2k 24） 24k 40 得 k21此时方程为 x22x +10，解得 x1，不妨设 P 在第一象限，则 P（1，2） ，直线 PF 的方程为 x1O 到 PF 的距离为 1故选：
23、B【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题12 （5 分）若过点 P（1，m ）可以作三条直线与曲线 C：yxe x 相切，则 m 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ）C （0，+） D （ ）【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程【解答】解：设切点为（x 0，y 0） ，过点 P 的切线方程为第 15 页（共 26 页），代入点 P 坐标化简为 m ，即这个方程有三个不等根即可，令 ，求导得到 f（x）（x1） （x +2）e x，函数在（，2）上单调递减，在（2，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故得到 f（2） mf（1）
24、 ，即故选：D【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）已知向量 （2，4） ， （1，m ） ，且 与 2 平行，则 m 等于 2 【分析】利用平面向量运算法则推导出 （2，4）（2，2m）（4，42m ） ，由 与 2 平行，列方程能求出 m【解答】解：向量 （2，4） ， （1，m ） ， （2，4）（2，2m ）（4，42m ） ， 与 2 平行， ，解得 m2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行
25、等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14 （5 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是，b，c，若 sinB2sinC，且a ，A ，则 c 【分析】由已知及正弦定理可得：b2c，根据余弦定理即可解得 c 的值【解答】解：sinB2sinC，由正弦定理可得：b2c，又a ，A ，由余弦定理 a2b 2+c22bccosA，可得：144c 2+c2 22cc ，即：143c 2，解得：第 16 页（共 26 页）c 故答案为： 【点评】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用15 （5
26、分）已知双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1，F 2，点 P（5，1）满足|PF1| PF2|6 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 （ ，+ ） 【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得 a 的值，结合双曲线的定义分析可得 P 在双曲线内，将 P 的坐标代入双曲线的标准方程可得 b 的取值范围，由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：双曲线 C 的方程为： ，则 a3，又由点 P（5，1）满足|PF 1|PF 2|6，则 P 在双曲线内，则有 1，解可得：b ， ，e双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ，+） 故答案为：（ ，+） 【点评】本题考查双曲线的几何
27、性质与双曲线的定义，注意点 P 与双曲线的位置关系，属于中档题 16 （5 分）已知平面 ，正方形 ABCD 在平面 内的正投影可能是：一个内角为 120的菱形； 两条邻边长之比为 的矩形；梯形； 既非矩形又非菱形的平行四边形其中正确命题的序号是 （填写出所有正确命题的序号）【分析】分类讨论不同情况下正方形 ABCD 在平面 内的正投影的形状，进而可得答案【解答】解：平面 ，正方形 ABCD 在平面 内的正投影可能是：当平面 ABCD平面 ，则为一条线段；第 17 页（共 26 页）当平面 ABCD 的一条对角线与平面 平行，但平面 ABCD 与平面 不垂直不平行，则为一个菱形，
28、一个内角可以为 120；当平面 ABCD 的一条边与平面 平行，但平面 ABCD 与平面 不垂直不平行，则为一个矩形，两条邻边长之比可以为 ；当平面 ABCD 的对角线，边均不于平面 平行，且平面 ABCD 与平面 不垂直时，则为既非矩形又非菱形的平行四边形；故正确命题的序号是 ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平行投影及分类讨论思想，难度中档三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且
29、满足 an+1S n+n+1（n1，2，3） ，a11（1）求证：a n+1为等比数列；（2）数列a n中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由【分析】 （1）a n+1S n+n+1，n2 时，可得：a n+1a n Sn+n+1（S n1 +n） ，化为：an+1+12（a n+1） ，n1 时，a 2a 1+23，可得 a2+12（a 1+1） ，即可证明（2）由（1）可得：a n+12 n，可得 an2 n1可知：数列a n单调递增假设数列an中是存在不同的三项，a m，a k，a n，m，k，nN *，mkn适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是 am， ak
30、，a n 是等差数列可得 2aka m+an，代入化为：2k+1m 1+2 nm 而左边为偶数，右边为奇数得出矛盾，即可判断出结论【解答】 （1）证明：a n+1S n+n+1，n2 时，可得：a n+1a nS n+n+1（S n1 +n） ，化为：a n+12a n+1，a n+1+12（a n+1） ，n1 时，a 2a 1+23，a 2+12（a 1+1） ，a n+1为等比数列，首项为 2，公比为 2（2）解：由（1）可得：a n+12 n，可得 an2 n1第 18 页（共 26 页）可知：数列a n单调递增假设数列a n中存在不同的三项，a m，a k，a n，m，k，nN *，
31、mkn适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是 am，a k，a n 是等差数列2a k am+an，2（2 k1） 2m1+2 n1，化为：2 k+1m 1+2 nm 而左边为偶数，右边为奇数因此不成立，故假设不成立因此数列a n中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中， ，ADCD2，PAPC，ABAD ，平面 PAD平面 ABCD（1）求证：PD平面 ABCD；（2）若 PD3，求直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值【分析】 （1）
32、推导出 AB平面 PAD，AB PD ，BC CD，从而 BC平面 PCD，进而BCPD，由此能证明 PD 平面 ABCD（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值【解答】证明：（1）ABAD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面第 19 页（共 26 页）ABCDADAB平面 PAD，PA 平面 PAD，ABPD， ，ADCD 2，PAPC，BCCD，BC平面 PCD，PC平面 PCD，BCPD，ABBCB，PD平面 ABCD解：（2）以 A 为原
33、点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，PD3，C（ ，3，0） ，D（0，2，0） ，A（0，0，0） ，B（2 ，0，0） ，P（0，2，3） ，（ ，1，0） ， （0，2，3） ， （2 ，0，0） ，设平面 PAB 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 y3，得 （0，3，2） ，设直线 CD 与平面 PAB 所成角为 ，则 sin 直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值为 第 20 页（共 26 页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考
34、查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按 100 计） ，随机对 20 名六十岁以上的老人和 20 名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表 1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表 满意度 0， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90，100人 数 1 5 6 5 3表 2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度 0， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90，100人数 2 4 8 4 2表 3满意度小于 80
35、 满意度不小于 80 合计六十岁以上老人人数十八岁以上六十岁以下的中青年人人数合计（1）若该小区共有中青年人 500 人，试估计其中满意度不少于 80 的人数；（2）完成表 3 的 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表 3 的；六十岁以上的老人“满意度小于 80”和“满意度不小于 80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，再从中任取 3 人，求至少有两人满意小于80 的概率附：K 2 ，其中 na+b+c+d P（ K2k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0
36、.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83【分析】 （1）根据抽样比例求得抽取满意度不少于 80 的人数；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；第 21 页（共 26 页）（3）利用分层抽样方法抽取样本，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）根据表中数据知，20 人中满意度不少于 80 的人数为 6 人，该小区中青年人 500 人中，满意度不少于 80 的人数为 500 150；（2）完成表 3 的 22 列联表如下，满意度小于 80 满意度不小于
37、80 合计六十岁以上老人人数 12 8 20十八岁以上六十岁以下的中青年人人数 14 6 20合计 26 14 40由表中数据，计算 K2 0.4402.706；没有 90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关” ；（3）从表 3 知，用分层抽样方法抽取一个容量为 5 的样本，满意度小于 80 的抽取 3 人，记为 A、B 、C，满意度不小于 80 的抽取 2 人，记为 d、e；从这 5 人中任取 3 人，基本事件是ABC、ABd 、ABe、ACd、ACe、Ade、BCd、BCe、Bde、Cde 共 10 种；至少有两人满意小于 80 的是 ABC、ABd、ABe、ACd、
38、ACe、BCd、BCe 共 7 种；故所求的概率是 P 【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题20 （12 分）已知椭圆 M： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F2 的直线 l 与椭圆 M 交于 A、B 两点，当 AB 垂直于 x 轴时，|AB|2（a ） （1）求椭圆 M 的焦距；（2）设椭圆 M 的右顶点为 H，试问是否存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆过点 H？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由【分析】 （1）把 xc 代入椭圆方程可得： + 1，解得 y ，可得|AB|2 （a ） ，化为：a 2b 24c 2，解得
39、 c第 22 页（共 26 页）（2）假设存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆过点 H设直线 l 的方程为：tyx 2A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立 ，化为：（b 2t2+a2）y2+4tb2y+4b2a 2b20，由 ，可得 （x 1a） （x 2a）+y 1y2（2a）t（y 1+y2）+（t 2+1）y 1y2+44a+a 20把根与系数的关系代入即可得出【解答】解：（1）把 xc 代入椭圆方程可得： + 1，解得 y ，|AB| 2（a ） ，化为：a 2b 24c 2，解得 c2焦距 2c4（2）假设存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆
40、过点 H设直线 l 的方程为：tyx2A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） 联立 ，化为：（b 2t2+a2）y 2+4tb2y+4b2a 2b20，y 1+y2 ，y 1y2 由 ， （x 1a） （x 2a）+y 1y2（ty 1+2a） （ty 2+2a）+y 1y2（2a）t （y 1+y2）+（t 2+1）y 1y2+44a+a 20（2a）t +（ t2+1） +44a+a 20化为：a 33a 2+40a0解得 a2b0，不满足题意，舍去因此假设不成立，不存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆过点 H【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根
41、与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）已知函数 f（x ）e x（x 2+axcosx+1） （1）当 a0 时，判断 f（x ） 与 1 的大小关系，并说明理由；（2）若对于x 0，1，f（x）2x+1 恒成立，求 a 的最小值第 23 页（共 26 页）【分析】 （1）求得 a0 的 f（ x）的解析式，设 g（x）（1x）e x，求得导数和单调性，可得最值，即可得到大小关系；（2）x0 ，1，f（x）2x+1 恒成立，即 ex（x 2+axcosx+1）2x+1 在0，1恒成立，考虑直线 y2x +1 为 f（x）的切线方程，
42、且切点为（0，1） ，求得 f（x）的导数，可得a 的值，检验 a1 时，f（x ）在0 ，1递增，即可判断 a 的最小值【解答】解：（1）当 a0 时，f（x ）e x（x 2+1） ，f（x） （1x）e x，f（x） 1；理由：设 g（x）（1x ）e x，g（x ）xe x，当 x0 时，g（x ）0，函数 g（x ）单调递增，当 x0 时，g（x ）0，函数 g（x ）单调递减，g（x） maxg（0）1，g（x ）1，f（x） 1；（2）x0 ，1，f（x）2x+1 恒成立，即 ex（x 2+axcosx+1）2x+1 在0，1 恒成立，由 f（x）的图象经过点（ 0，1） ，y2
43、x+1 经过点（0，1） ，当直线 y2x+1 为 f（x）的切线，且切点为（0，1） ，由 f（x）e x（x 2+axcosx+1+2x+acosxaxsinx ） ，可得 f（0）1+a2，解得 a1；当 a1 时，f（x ）e x（x+1） 2+ex（x cosx+cosxxsinx） ，当 x0， 时，cosxsin x，x cosx+cosxxsinx 0，f（x）0；当 x（ ，1时，x cosx+cosxxsinxcosx（x +1x tanx） ，由 x+1（ +1，2，xtan x（ ，tan1，且 tan1 1+ ，则 f（x）0 ，可得 f（x ）在 0，1递增，则 a
44、 的最小值为 1【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，属于综合题(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定题目，第 24 页（共 26 页）如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin（ ）a（1）若 a ，求直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与 C 交于不同两点，求原点到直线 l 距离的
45、取值范围【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）直接利用直线和曲线的位置关系，利用有解的充要条件求出结果【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为： 直线 l 的极坐标方程为 sin（ ）a由于 a ，转换为直角坐标方程为：xy+20则直线的参数方程为： （t 为参数） （2）首先把直线的极坐标方程 sin（ ）a转换为直角坐标方程为： ，所以： ，整理得： ，由于直线 l 与 C 交于不同两点所以：大于 0，所以： ，解得：0 ，所以：原点（0，0）到直线 的距离 d ，所以 0第 25 页（共 26 页）【点评
46、】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线距离公式的应用，一元二次方程有解的充要条件的应用选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |xa| |12x| （1）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若不等式 f（x ）a 的解集是（m，n） ，求证：m +n1【分析】 （1）移项后两边平方，转化为一元二次不等式解出；（2）令 g（x）f（x）a，判断 g（x）的单调性和最值，求出 g（x）0 的解集和 a的范围，得出 m+n 关于 a 的函数，再根据函数单调性得出结论【解答】解：（1）当 a1 时，不等式 f（x ）0 为|x1|12x|0即|x 1|12x |，x 22x +114x+4x 2，3x 22x0，解得 0x ；不等式 f（x） 0 的解集为0 ， ；（2）令 g（x）f（x）a|x a|12x| a|xa| |2x1|a；a 时，g（x）|x | 0，不合题意；若 a 时，g（x） ，g（x）在（， ）上单调递增，在（ ，+）上
