1、2019 年河北省邯郸市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）下列各式的运算结果为实数的是（ ）Ai（1+i） Bi（1i ）C （1+i）（ 1i） D （1+i） （1i）2 （3 分）设集合 Ax| x24，ABx|x 2 ，则集合 B 可以为（ ）A x|x3 Bx|3x1 C x|x1 D x|x33 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，A（1，2） ，B（2，0） ， （2，3） ，则点 D 的坐标为（ ）A （6，1） B （6，1） C （0，3） D （0，3）4 （3 分）
2、从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：身高 （ 100，110 （ 110，120 （ 120，130 （ 130，140 （ 140，150频数 5 35 30 20 10由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为（ ） （结果保留 4 位有效数字）A119.3 B119.7 C123.3 D126.75 （3 分）如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（ ）A B C D6 （3 分）若函数 f（x ）1+|x|+x 3，则 （ &nbs
3、p;）A2 B4 C6 D87 （3 分）汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 ，如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论第 2 页（共 23 页）可得该几何体的体积为（ ）A32 B40 C D8 （3 分）若存在等比数列a n，使得 a1（a 2+a3）6a 19，则公比 q 的最大值为（ ）A B C D9 （3 分）已知函数 f（x ）2cos 2（2x + ）+ sin（4x+ ） ，则下列判断错误的是（ ）Af（x）为偶函数Bf（x）的图象关于直线 x 对称Cf（x）的值域为
4、1，3Df（x）的图象关于点（ ，0）对称10 （3 分）已知 m0，设 x，y 满足约束条件 ，zx +y 的最大值与最小值的比值为 k，则（ ）Ak 为定值1 Bk 不是定值，且 k2Ck 为定值 2 Dk 不是定值，且 2k111 （3 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，F 为棱 B1C1 上一点，且 F 到直线A1B 与 CC1 的距离相等，四面体 A1BB1F 的每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A8 B C9 D12 （3 分）已知函数 f（x ）的导函数 f（x）满足（x +xlnx）f（x）f（x）对恒成
5、立，则下列不等式中一定成立的是（ ）第 3 页（共 23 页）A2f（1）f（e ） Be 2f（1）f（e）C2f（1）f（e ） Def（1）f （e）二、填空题：将答案填在答题卡中的横线上.13 （3 分）小张要从 5 种水果中任意选 2 种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为 14 （3 分）函数 f（x ） 的值域为 15 （3 分）已知 A，B 分别是双曲线 C： 1 的左、右顶点，P（3，4）为 C 上一点，则PAB 的外接圆的标准方程为
6、 16 （3 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a75， S555，则 nSn 的最小值为 三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC 中，3sin A2sin B ，tanC2 （1）证明：ABC 为等腰三角形（2）若ABC 的面积为 2 ，D 为 AC 边上一点，且 BD3CD，求线段 CD 的长18如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1平面 ABC， D 为 BC 边上一点，BAD60， AA1AB2 AD2（1）证明：平面 ADB1平面 BB1C1C（2）若 BDCD，试问：A 1
7、C 是否与平面 ADB1 平行？若平行，求三棱锥 AA 1B1D 的体积；若不平行，请说明理由19某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为 1，2，6）的学生给父母洗脚的百分比 y%进行了调查统计，绘制得到第 4 页（共 23 页）下面的散点图（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立 y 关于 x 的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年级代码为7）给父母洗脚的百分比附注：参考数据： （x i ） 217.5， （x i ） （y i ）35， 365参考公式：相关系数 r ，若 r0
8、.95，则 y 与 x 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系回归方程 x+ 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 ， 20已知点 B（1，2）是抛物线 M：y 22px（p0）上一点， F 为 M 的焦点（1）若 A ， 是 M 上的两点，证明：|FA|，| FB|，|FC| 依次成等比数列（2）过 B 作两条互相垂直的直线与 M 的另一个交点分别交于 P，Q （P 在 Q 的上方） ，求向量 在 y 轴正方向上的投影的取值范围第 5 页（共 23 页）21已知函数 f（x ）（xa1）e x +ax（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 x01，2，f（x 0）0
9、，求 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 （1）若 l 与 C 相交于 A，B 两点 P（2，0） ，求|PA |PB|；（2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M 截得的弦长为 1，求圆 M的半径选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x 1|+|x+3|（1）求不等式|f（x）6|1 的解集；（2）证明：4x 2f（x）2|x |+4第 6 页（共 23 页）2019 年河北省邯郸市高考数学一模试卷（文科
10、）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）下列各式的运算结果为实数的是（ ）Ai（1+i） Bi（1i ）C （1+i）（ 1i） D （1+i） （1i）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：i（1+i）1i；i （1i）1+i ；（1+i）（1i）2i ；（1+i）（1i）1i 21+12，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，是基础题2 （3 分）设集合 Ax| x24，ABx|x 2 ，则集合 B 可以为（ ）A x|x3 Bx|3x1 C x|x1 D x
11、|x3【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x2，或 x2 ；Bx|x1时，AB x|x2 故选：C【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算3 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，A（1，2） ，B（2，0） ， （2，3） ，则点 D 的坐标为（ ）A （6，1） B （6，1） C （0，3） D （0，3）【分析】可设 C（x ，y） ，D（s，t ） ，从而根据条件得出（x1，y2）（2，3） ，从而可求出 ，即 C（3 ，1） ，并可求出 ，根据 即可求出点 D 的坐标【解答】解：解：设 C（x ，y） ，D（s，t ）
12、 ，则：； ； ；第 7 页（共 23 页）C（3，1） ；又 ， ；（3s，1t）（3， 2） ； ； ；点 D 的坐标为（6，1） 故选：A【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的概念4 （3 分）从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：身高 （ 100，110 （ 110，120 （ 120，130 （ 130，140 （ 140，150频数 5 35 30 20 10由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为（ ） （结果保留 4 位有效数字）A119.3 B1
13、19.7 C123.3 D126.7【分析】设中位数为 t，则有： 0.5，由此能求出结果【解答】解：设中位数为 t，则有： 0.5，解得 t123.3故选：C【点评】本题考查中位数的求法，考查中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （3 分）如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（ ）第 8 页（共 23 页）A B C D【分析】利用椭圆的性质，求出 a，b 然后求解 c，即可得到椭圆的离心率【解答】解：由题意可知 a ，b ，所以椭圆的离心率为：e 故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查6 （3 分）若函数 f
14、（x ）1+|x|+x 3，则 （ ）A2 B4 C6 D8【分析】可知 ，从而可根据 f（x）的解析式得出1+lg 2+（lg 2） 3+1+lg2+（lg 2）3+1+lg5+（lg5） 3+1+lg5+（lg5） 36【解答】解：f（lg2）+f（ lg2）+ f（lg 5）+ f（lg 5）1+lg2+（lg2） 3+1+lg2+（lg 2） 3+1+lg5+（lg5） 3+1+lg5+（lg5） 34+2（lg2+lg5）6故选：C【点评】考查对数的运算性质，对数函数的单调性，已知函数求值的方法7 （3 分）汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 ，如图，网格纸上的
15、小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 23 页）A32 B40 C D【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图：转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成故： ，由于 ，所以： 故： 故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8 （3 分）若存在等比数列a n，使得 a1（a 2+a3）6a 19，则公比 q 的最大值为（ ）A B
16、 C D【分析】由 a1（a 2+a3）6a 19，化为：a 12（q+q 2）6a 1+90，当 q+q20 时，易知 q1，满足题意，当 q0，当 q+q20，0，解得 q 范围即可得出【解答】解：a 1（a 2+a3）6a 19，a 12（q+q 2）6a 1+90，当 q+q20 时，易知 q1，满足题意，当 q0，当 q+q20，3636（q+q 2）0，解得 q ，q0q 的最大值为 故选：D第 10 页（共 23 页）【点评】本题考查了等比数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （3 分）已知函数 f（x ）2cos 2（2x + ）+ sin
17、（4x+ ） ，则下列判断错误的是（ ）Af（x）为偶函数Bf（x）的图象关于直线 x 对称Cf（x）的值域为1，3Df（x）的图象关于点（ ，0）对称【分析】化简 f（x ）1+2cos4x 后，根据函数的性质可得【解答】解：f（x ）1+cos（4x+ ）+ sin（4x+ ） 1+2sin（4x+ + ）1+2cos4x，则 A，B，C 均正确，D 错误故选：D【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，运算求解能力，属中档题10 （3 分）已知 m0，设 x，y 满足约束条件 ，zx +y 的最大值与最小值的比值为 k，则（ ）Ak 为定值1 Bk
18、 不是定值，且 k2Ck 为定值 2 Dk 不是定值，且 2k1【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为 3 求得实数 m 的值【解答】解：画出 m0，x，y 满足约束条件 的可行域如图：第 11 页（共 23 页）当直线 zx+y 经过点 A（2，m +4） ，z 取得最大值，当直线经过 B（1 ，2）时，z 取得最小值，故 k 2 为定值故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11 （3 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中
19、，F 为棱 B1C1 上一点，且 F 到直线A1B 与 CC1 的距离相等，四面体 A1BB1F 的每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A8 B C9 D【分析】设 B1Ft，A 1B 中点为 E，利用直角三角形 EB1F 列方程求得 t，再结合长方体外接球直径为其体对角线长即可得解【解答】解：第 12 页（共 23 页）设 B1Ft，A 1B 中点为 E，则 FC12tFE，B 1 到直线 A1B 的距离为 ， ，在 Rt B1EF 中可得，t 2+2（2 t） 2，解得 t ，球的直径为 ， 故选：D【点评】此题考查了长方体外接球问题，难度适中，12 （3
20、分）已知函数 f（x ）的导函数 f（x）满足（x +xlnx）f（x）f（x）对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A2f（1）f（e ） Be 2f（1）f（e）C2f（1）f（e ） Def（1）f （e）【分析】令 ，可得 0可得 g（x）在（ ，+）递减，即可求解【解答】解：由（x+xlnx）f（x）f （x） ，x（ ，+ ） ，得（1+lnx）f（x ） f（x）0，令 ，则 0故 g（x）在（ ，+）递减；g（e）g（1） ，即 f（e ）2f（1） 故选：A第 13 页（共 23 页）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价
21、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：将答案填在答题卡中的横线上.13 （3 分）小张要从 5 种水果中任意选 2 种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为 【分析】从 5 种水果中任意选 2 种的所有基本事件总数 n 10，小张送的水果既有热带水果又有温带水果包含的基本事件个数 m 6，由此能求出小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率【解答】解：从 5 种水果中任意选 2 种的所有基本事件总数 n 10，芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，小张送的水果既有热带水果又有温
22、带水果包含的基本事件个数 m 6，小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14 （3 分）函数 f（x ） 的值域为 （5，3 【分析】运用正弦函数和指数函数的值域和单调性，分别讨论 x2，x2 的 f（x）的范围，再求并集【解答】解：函数（x）当 x2 时，f（ x）3sinx 的范围为 3，3，当 x2 时，f（ x）2 x5 递增，可得 f（x）的范围是（5，1，综上可得 f（x）的值域为（ 5，3 故答案为：（5，3【点评】本题考查分段函数的值域求法，注意运用正弦函数和指数函数的
23、值域和单调性，第 14 页（共 23 页）考查运算能力，属于基础题15 （3 分）已知 A，B 分别是双曲线 C： 1 的左、右顶点，P（3，4）为 C 上一点，则PAB 的外接圆的标准方程为 x 2+（y3） 210 【分析】求出 m，推出 AB 坐标，设出圆心，然后求解即可得到圆的方程【解答】解：P（3，4）为 C 上的一点，所以 ，解得 m1，所以 A（1，0）B（1，0） ，设PAB 的外接圆的圆心（0，b） ，则 1+b23 2+（b4） 2，解得 b3，则PAB 的外接圆的标准方程为 x2+（y3） 210故答案为：x 2+（y 3） 210【点评】本题考查双曲线的简单性质与圆的方
24、程的求法，考查发现问题解决问题的能力16 （3 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a75， S555，则 nSn 的最小值为 343 【分析】设等差数列a n的公差为 d，由 a75，S 555 ，可得a1+6d5，5a 1+ 55，联立解得：a 1，d利用求和公式可得 nSn，通过求导，利用导数研究函数的单调性即可得出最小值【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 75，S 5 55，a 1+6d5，5a 1+ 55，联立解得：a 119，d4S n19n+ 2n 221n则 nSn2n 321n 2，令 f（x）2x 321x 2， （x 1） ，f（x）6x 242x
25、6x （x 7） ，可得 x7 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，n7 时，nS n 取得最小值，27 3217 2343第 15 页（共 23 页）故答案为：343【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC 中，3sin A2sin B ，tanC2 （1）证明：ABC 为等腰三角形（2）若ABC 的面积为 2 ，D 为 AC 边上一点，且 BD3CD，求线段 CD 的长【分析】 （1）过 A 做 BC 的垂线 AH，根据 C 的大小可得 H 为
26、BC 的中点，从而得出ABAC；（2）根据面积求出 BC，在 BCD 中根据余弦定理计算 CD【解答】 （1）证明：tanC2 0，C 为锐角，且 sinC ，cosC 过 A 做 AHBC，垂足为 H，则 CHbcos C ，3sinA2sinB，3a2b，即 a ，H 是 BC 的中点，又 AH BC，ABAC，ABC 为等腰三角形（2）解：AHbsinC ，S ABC 2 ，解得 b3，BC2，在BCD 中，由余弦定理得 cosC ，解得：CD 【点评】本题考查了余弦定理，三角形中的几何计算，属于中档题第 16 页（共 23 页）18如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1平面
27、 ABC， D 为 BC 边上一点，BAD60， AA1AB2 AD2（1）证明：平面 ADB1平面 BB1C1C（2）若 BDCD，试问：A 1C 是否与平面 ADB1 平行？若平行，求三棱锥 AA 1B1D 的体积；若不平行，请说明理由【分析】 （1）利用勾股定理证明 ADBD ，结合 ADBB 1 得出 AD平面 BB1C1C，故而平面 ADB1平面 BB1C1C（2）连接 A1B 交 AB1 于 O，则 O 为 A1B 的中点，则有中位线定理得出 ODA 1C，故而 A1C平面 ADB1，根据 V V V V 计算体积【解答】 （1）证明：AD 1，AB2，BAC 60，BD ，AD
28、2+BD2AB 2，ABD 为直角三角形，ADBD ，AA 1BB 1，AA 1平面 ABC，BB 1平面 ABC，又 AD平面 ABC，BB 1AD ，又 BB1BDB，AD平面 BB1C1C（2）解：若 BDCD，则 D 为 BC 的中点，连接 A1B 交 AB1 于 O，则 O 为 A1B 的中点，连接 OD，则 OD 为A 1BC 的中位线，ODA 1C，又 OD平面 ADB1，A 1C平面 ADB1，A 1C平面 ADB1第 17 页（共 23 页）V V V V SACDBB1 【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题19某小学举办“父母养育我，
29、我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为 1，2，6）的学生给父母洗脚的百分比 y%进行了调查统计，绘制得到下面的散点图（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立 y 关于 x 的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年级代码为7）给父母洗脚的百分比附注：参考数据： （x i ） 217.5， （x i ） （y i ）35， 365参考公式：相关系数 r ，若 r0.95，则 y 与 x 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系回归方程 x+ 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 ， 第
30、18 页（共 23 页）【分析】 （1）根据题意计算相关系数 r，根据 r 的大小判断 y 与 x 的线性相关程度；（2）根据题意计算回归系数，求出回归方程，利用回归方程计算 x7 时 的值【解答】解：（1）因为 （11+13+16+15+20+21）16，所以 76，且 （x i ） 217.5， （x i ） （y i ）35，所以相关系数 r ，因为 365，所以 36.5，所以 r 0.96，由于 y 关于 x 的相关系数 r0.960.95，这说明 y 与 x 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；（2）根据题意计算 2，计算 （1+2+3+4+5+6）3.
31、5，所以 1623.59；第 19 页（共 23 页）所以回归方程为 2x+9；将 x7 代入回归方程中，得 27+923，所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为 23%【点评】本题考查了线性回归直线方程的解法与应用问题，是中档题20已知点 B（1，2）是抛物线 M：y 22px（p0）上一点， F 为 M 的焦点（1）若 A ， 是 M 上的两点，证明：|FA|，| FB|，|FC| 依次成等比数列（2）过 B 作两条互相垂直的直线与 M 的另一个交点分别交于 P，Q （P 在 Q 的上方） ，求向量 在 y 轴正方向上的投影的取值范围【分析】 （1）求出抛物线方程，得出准线方
32、程，求出 F 到 A，B，C 三点的距离即可得出结论；（2）设 BP 斜率为 k，根据切线斜率得出 k 的范围，联立方程组得出 P，Q 的纵坐标，从而 yPy Q 即为向量 在 y 轴正方向上的投影，再根据 k 的范围得出投影的取值范围【解答】解：（1）将 B（1，2）代入 y22px 得 42p，p2，抛物线 M：y 24xF（1，0） ，准线为 x1，|FA| （1） ，| FB|1（1）2，|FC | （1） ，|FB| 2 |FA|FC|，| FA|，|FB| ，|FC| 依次成等比数列（2）当 y0 时，由 y24x 可得 y2 ，yx ，抛物线在 B 处的切线斜率为 1设直线 BP
33、 的方程为：y 2k （x1） ，则 0k1代入抛物线 M：y 24x，得 k2x2+（4k 2k 24）x+（k 24k+4）0，第 20 页（共 23 页）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）则 x1 ，y 1kx 1+2k 2，把 k 换成 得 y24k 2 ，向量 在 y 轴正方向上的投影为 y1y 2 +4k令 f（k） +4k（0k1） ，则 f（k） +40，f（k）在（0 ，1）上单调递减，又 f（1）8，f（k）的值域为（ 8，+） 向量 在 y 轴正方向上的投影的取值范围是（8，+） 【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题21已知函数
34、 f（x ）（xa1）e x +ax（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 x01，2，f（x 0）0，求 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，分 a0，a0，a0 求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 a（x 0e ） +e x01，2，使得 a设 h（x） ，x1，2 ，根据函数的单调性求出a 的范围即可【解答】解：（1）函数 f（x）（xa1）e x +ax 的定义域为 R，f（x）（xa）e xx+a（xa） （e x1） 令 f（x）0，可得 xa，或 x0，当 a 0 时， x（，a ）（0，+） ，f （x） 0，x （a，0） ，f（x）0函数 f（x）在（ ，
35、a） ， （0，+）上递增，在（a，0）递减；当 a 0 时， f（x ）0 恒成立， 函数 f（x）在（，+ ）上递增；当 a 0 时， x（，0 ）（a，+） ，f （x） 0，x （0，a） ，f（x）0函数 f（x）在（ ，0） ， （a，+）上递增，在（0，a）递减；（2）设 g（x）x e x，g（x ）1e x在1，2，g（x ）0 恒成立， g（x ）单调递减，g（x）g（1）1e0第 21 页（共 23 页）可得 f（x 0） 0（x 0a1）e +ax00a（x 0e ） +e x01，2 ，使得 a设 h（x） ，x1，2 ，设 （x ） ，x1，2，（x）xe x0 在
36、1，2 恒成立（x ）在1 ，2 单调递减，（x） （1） ，h（x）0 在1 ，2恒成立h（x）在1 ，2单调递增， h（x ） minh（1）综上，a 的取值范围为（ ）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数存在性问题，考查转化思想，是一道中档题选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 （1）若 l 与 C 相交于 A，B 两点 P（2，0） ，求|PA |PB|；（2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M
37、 截得的弦长为 1，求圆 M的半径【分析】 （1）先将圆 C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再将直线 l 的参数方程代入，利用参数 t 的几何意义可得；（2）设出圆 M 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理列式可得【解答】解：（1）由 ，得 x2+y210，第 22 页（共 23 页）将 代入 x2+y210，得 t22t60，设 A，B 两点对应的参数分别为t1，t 2，则 t1t26，故|PA|PB | tt2|6（2）直线 l 的普通方程为 y +2 0，设圆 M 的方程为（xa） 2+（yb） 2a 2（a0）圆心（a，0）到直线 l 的距离为 d ，因为 2 1，所以 d
38、2a 2 ，解得 a18（a10，舍去） ，则圆 M 的半径为 13， 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x 1|+|x+3|（1）求不等式|f（x）6|1 的解集；（2）证明：4x 2f（x）2|x |+4【分析】 （1）不等式|f（x）6|1 可得5f （x）7，分段讨论解得即可，（2）根据绝对值三角不等式即可证明【解答】解：（1）|f（x）6|1，1f（x） 61，即5f（x） 7，当3x1 时，f（x）4，显然不合题意，当 x3 时，52x 27，解得 x ，当 x1 时，52x +27，解得 x ，综上不等式的解集为， （ ， ）（ ， ） 证明：（2）f（x ）|x 1|+|x+3|x |+1+|x|+32|x|+4 ，当且仅当 x0 时等号成立，f（x）2|x|+4f（x）|x 1|+|x+3|1x +x+3|4，第 23 页（共 23 页）f（x）4，4x 24，4x 2f（x） ，4x 2f（x）2|x |+4【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题
