1、第 22 讲 计数综合二内容概述涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式典型问题兴趣篇1同时能被 6、7、8、9 整除的四位数有多少个？2从 1，2，3，9 这 9 个数中选出 2 个数，请问：(1)要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？3在所有由 1、3、5、7、9 中的 3 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 3 的倍数？4用 0 至 5 这 6 个数字可以组成多少个能被 5 整除且各位数字互不相同的五位数？5个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位
2、大，十位比百位大的三位数共有多少个？6如果称能被 8 整除或者含有数字 8 的自然数为“吉利数” ，那么在 l 至 200 这 200 个自然数中有多少个“吉利数”？7一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数” ，例如：1331，7，202，66 都是回文数，而 220 则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第 1997 个“回文数”是什么？8一个四位数 ABCD，它与逆序数 DCBA 之和的末两位为 56，这样的四位数 ABCD 有多少个？9把 2005、2006、2007、2008、2009 这 5 个数分别填人图 23-1 的
3、东、南、西、北、中 5个方格内，使横、竖 3 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？10从 1 至 7 中选出 6 个数字填入图 23.2 的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？拓展篇1分子小于 6，分母小于 20 的最简真分数共有多少个？2从 l、2、3、4、5、6、7 这 7 个数中选出 3 个数，请问：(1)要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？(2)要使这 3 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？3小明的衣服口袋中有 10 张卡片，分别写着 1，2，3，10.现从中拿出两张卡
4、片，使得卡片上两个数的乘积能被 6 整除，这样的选法共有多少种？（注：9 不能颠倒当作 6 来使用，6 也不能颠倒当作 9 来使用）4六位数 123475 能被 11 整除，如果将这个六位数的 6 个数字重新排列，还能排出多少个能被 1 1 整除的六位数？5三个 2，两个 1 和一个 0 可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和6有一种“上升数” ，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，6789.请问：此列数中的第 100 个数是多少？7有一些三位数的相邻两位数字为 2 和 3，例如 132、235 等等，这样
5、的三位数一共有多少个？8在图 233 的方框内填入 3、4、5、6 中的一个数字，使得竖式成立请问：所填的九个数字之和是多少？一共有多少种填法？9在 1000，1001，2000 这 1001 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？10将 1 至 7 分别填入图 234 中的 7 个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的填法？11在图 23。5 的空格内各填人一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 236 就是一种填法，请问：一共有多少种不同的填法？12将数字 1 至 7 分
6、别填入图 237 的各个圆圈中，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的大，请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？超越篇1甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本问：(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？2一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6:2430，那么从 5 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个？3各位数字均不大于 5，且能被 99 整除的六位数共有多少个？4从 1，2
7、，3，9 中选取若干个互不相同的数字（至少一个） ，使得其和是 3 的倍数，共有多少种选法？5从 0 至 9 这 10 个数字中选出 7 个填入图 23-8 的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？6从 l 至 9 这 9 个数字中选出 6 个不同的数填在图 23-9 的 6 个圆圈内，使得任意相邻两个圆圈内的数字之和都是质数，请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的 6 个数字相同，只是排列次序不同，都算同一种选法 ）7在 33 方格表内填人数字 1 至 9，使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多少种不同的填法？8含有数字 3，且能被 3 整除的五位数共有多少个？第 22
8、 讲 计数综合二内容概述涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式典型问题兴趣篇1同时能被 6、7、8、9 整除的四位数有多少个？2从 1，2，3，9 这 9 个数中选出 2 个数，请问：(1)要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？3在所有由 1、3、5、7、9 中的 3 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 3 的倍数？4用 0 至 5 这 6 个数字可以组成多少个能被 5 整除且各位数字互不相同的五位数？5个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位
9、比百位大的三位数共有多少个？6如果称能被 8 整除或者含有数字 8 的自然数为“吉利数” ，那么在 l 至 200 这 200 个自然数中有多少个“吉利数”？7一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数” ，例如：1331，7，202，66 都是回文数，而 220 则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第 1997 个“回文数”是什么？8一个四位数 ABCD，它与逆序数 DCBA 之和的末两位为 56，这样的四位数 ABCD 有多少个？9把 2005、2006、2007、2008、2009 这 5 个数分别填人图 23-1 的东、南、
10、西、北、中 5个方格内，使横、竖 3 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？10从 1 至 7 中选出 6 个数字填入图 23.2 的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？拓展篇1分子小于 6，分母小于 20 的最简真分数共有多少个？2从 l、2、3、4、5、6、7 这 7 个数中选出 3 个数，请问：(1)要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？(2)要使这 3 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？3小明的衣服口袋中有 10 张卡片，分别写着 1，2，3，10.现从中拿出两张卡片，使得
11、卡片上两个数的乘积能被 6 整除，这样的选法共有多少种？（注：9 不能颠倒当作 6 来使用，6 也不能颠倒当作 9 来使用）4六位数 123475 能被 11 整除，如果将这个六位数的 6 个数字重新排列，还能排出多少个能被 1 1 整除的六位数？5三个 2，两个 1 和一个 0 可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和6有一种“上升数” ，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，6789.请问：此列数中的第 100 个数是多少？7有一些三位数的相邻两位数字为 2 和 3，例如 132、235 等等，这样的三位数
12、一共有多少个？8在图 233 的方框内填入 3、4、5、6 中的一个数字，使得竖式成立请问：所填的九个数字之和是多少？一共有多少种填法？9在 1000，1001，2000 这 1001 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？10将 1 至 7 分别填入图 234 中的 7 个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的填法？11在图 23。5 的空格内各填人一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 236 就是一种填法，请问：一共有多少种不同的填法？12将数字 1 至 7 分别填入图
13、 237 的各个圆圈中，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的大，请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？超越篇1甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本问：(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？2一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6:2430，那么从 5 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个？3各位数字均不大于 5，且能被 99 整除的六位数共有多少个？4从 1，2，3，9
14、 中选取若干个互不相同的数字（至少一个） ，使得其和是 3 的倍数，共有多少种选法？5从 0 至 9 这 10 个数字中选出 7 个填入图 23-8 的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？6从 l 至 9 这 9 个数字中选出 6 个不同的数填在图 23-9 的 6 个圆圈内，使得任意相邻两个圆圈内的数字之和都是质数，请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的 6 个数字相同，只是排列次序不同，都算同一种选法 ）7在 33 方格表内填人数字 1 至 9，使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多少种不同的填法？8含有数字 3，且能被 3 整除的五位数共有多少个？第 23 讲 计
15、数综合二（教师版）内容概述涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式典型问题兴趣篇1同时能被 6、7、8、9 整除的四位数有多少个？答案：18 个。详解：6、7、8、9 的最小公倍数是 504，9999 以内 504 的倍数有 19 个，1000 以内 504 的倍数有 1 个，因此满足条件的四位数有 191=18 个。2从 1，2，3，9 这 9 个数中选出 2 个数，请问：(1)要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？答案：（1） 12 种； （2）21 种
16、。解析：（1）分情况讨论：第一种情况，取出的两个数都是 3 的倍数有 3 种；第二种情况，取出的两个数都不是 3 的倍数，则必一个除以 3 余 1，另一个除以 3 余 2，有 9 种。因此共有 3+9=12 种。（2）两数之积是 3 的倍数，则至少有一个数是 3 的倍数，有 3+18=21 种。3在所有由 1、3、5、7、9 中的 3 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 3 的倍数？答案：24 个。解析：3 的倍数特征是数字和是 3 的倍数。这 5 个数中选出的 3 个数可能有 4 种情况，因此共有 4*6=24 个4用 0 至 5 这 6 个数字可以组成多少个能被 5 整除且各位数字互不相
17、同的五位数？答案：216 个。解析：能被 5 整除的数的特征是个位数字是 0 或 5.当个位是 0 时，有 5*4*3*2=120 个，个位是 5 时，有 4*4*3*2=96 个，因此共有 120+96=216 个。5个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？答案：36 个，84 个。解析：十位为 1 时，个位有 8 种可能，十位为 2 时，个位有 7 种可能，依此下去，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36 个。和第一问方法相同，共有 28+21+15+10+6+3+1=84 个。6如果称能被 8 整除或者含有数字 8 的自然数为“吉利数” ，那么在
18、l 至 200 这 200 个自然数中有多少个“吉利数”？答案：56 个。解析：1 至 200 中能被 8 整除的数有 25 个，含有数字 8 的有 40 个，出去重复的 9 个，共有 25+409=56 个。7一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数” ，例如：1331，7，202，66 都是回文数，而 220 则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第 1997 个“回文数”是什么？答案：1998 个，998899。解析：一位回文数有 9 个，两位回文数有 9 个，三位回文数有 90 个，四位回文数有 90 个，五位回文数有 90
19、0 个，六位回文数有 900 个，共有 9+9+90+90+900+900=1998 个，第 1997个为 998899。8. 有一些四位数的 4 个数字分别是 2 个不同的奇数和 2 个不同的偶数，而且不含有数字0，这样的四位数有几个？答案：1440 个。解析： 个。10425AC9把 2005、2006、2007、2008、2009 这 5 个数分别填人图 23-1 的东、南、西、北、中 5个方格内，使横、竖 3 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？答案：24 种解析：这 5 个数中 3 个奇数，2 个偶数。北+南=西+ 东则中必为奇数，即有 3 种可能，共有 3*8=24 种。10从
20、1 至 7 中选出 6 个数字填入图 23.2 的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？答案：14 种。解析：枚举法即可。拓展篇1分子小于 6，分母小于 20 的最简真分数共有多少个？答案：58 个。解析：分子为 1 时，有 18 个，分子为 2 时，有 9 个，分子为 3 时，有 11 个，分子为 4 时，有 8 个，分子为 5 时，有 12 个，共有 18+9+11+8+12=58 个。2从 l、2、3、4、5、6、7 这 7 个数中选出 3 个数，请问：(1)要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的
21、选法？(2)要使这 3 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？答案：（1）25 种（2）13 种解析：（1）至少有一个是 3 的倍数，共有 25 种。 （2）这 7 个数除以 3 的余数分别为1,2,0,1,2,0,1.有 13 种。3小明的衣服口袋中有 10 张卡片，分别写着 1，2，3，10.现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被 6 整除，这样的选法共有多少种？（注：9 不能颠倒当作 6 来使用，6 也不能颠倒当作 9 来使用）答案：17 种。解析：分两种情况讨论，有 6 时，有 9 种，无 6 时，有 8 种，共有 17 种。4六位数 123475 能被 11 整除，
22、如果将这个六位数的 6 个数字重新排列，还能排出多少个能被 1 1 整除的六位数？答案：71 个。解析：这 6 个数字和为 22，根据 11 的倍数特征知，奇偶数位数字和都必为 11，共有6*3*2*2=72 个，721=71 个。5三个 2，两个 1 和一个 0 可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和答案：50 个，8711104.解析：最高位为 1 时，有 5*4=20 个，最高位为 2 时，有 30 个，共有 20+30=50 个。所有符合条件的六位数的和是 8711104.6有一种“上升数” ，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行
23、：1234，1235，1236，6789.请问：此列数中的第 100 个数是多少？答案：3479。解析：千位为 1 时，有 56 个，千位为 2 时，有 35 个。56+35=91 个，依此下去，知第 100个数是 3479。7有一些三位数的相邻两位数字为 2 和 3，例如 132、235 等等，这样的三位数一共有多少个？答案：36 个。解析：分两种情况讨论：2，3 在百位和十位，有 2*10=20 个；2,3 在十位和个位，有2*9=18 个，除去重复的 323,232，因此共有 20+182=36 个。8在图 233 的方框内填入 3、4、5、6 中的一个数字，使得竖式成立请问：所填的九个
24、数字之和是多少？一共有多少种填法？答案：45, 30 种。解析：分析知，个位数字和是 15，十位数字和是 18，百位数字和是 8，千位是 4，共 45.个位两个数有 10 种填法，十位两个数有 3 种，共有 30 种。9在 1000，1001，2000 这 1001 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？答案：156 对。解析：考虑从1000到1999，这些数中，个位为0、1、2、3、4且十位为0、1、2、3、4且百位为0、1、2、3、4时，不发生进位，否则会发生进位。还有，末位为9、99、999时，也不发生进位。因此从1000到1999（实际是2000，即最后一对是【
25、1999、2000】 ）中，共有：555 + 55 + 5 + 1= 156对。10将 1 至 7 分别填入图 234 中的 7 个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的填法？答案：432 种。解析：右上角和左下角就是个突破口。右上和左下，最多有一个是奇数，因为两个都是奇数，与他们相邻的共四个数，根据题意就都是偶数，而偶数只有 3 个，所以右上和左下，最多有一个是奇数。1、假如右上是奇数，有 4 种填法，则与相邻的两个框一个有 3 种、一个有两种填法，那么左下筐只有一种填法了，则剩下三个筐都是奇数，剩余 3 个奇数全排列有 321=6 种根据乘法原理得：43216=144
26、种；2、因为是对称的，所以当左下筐是奇数也有 144 种；3、当右上和左下都是偶数时，则中间筐必是偶数，其余 4 个筐都是奇数则有 A(3 3)A(4 4)=3214321=144 种所以总共有 144+144+144=432 种。11在图 23。5 的空格内各填人一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 236 就是一种填法，请问：一共有多少种不同的填法？答案：30 种。解析：以下一行的两个空为突破口，分情况讨论，有 30 种填法。12用 l、2、3、4 这四个数字组成四位数，至多允许有 1 个数字重复两次例如1234
27、、1233 和 2414 是满足条件的，而 1212、3334 和 3333 都不满足条件请问：一共能组成多少个满足条件的四位数?答案：168 个。解析： 16824134AC超越篇1甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本问：(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？答案：（1） 6 种 （2） 8 种 （3）23 种， （4）9 种。详解：甲拿到自己的,那么剩下三个人随便,有 3*2*1=6 种.恰有一人拿到自己的,是谁不知道 4 种,剩
28、下的分配方法只有 2 种(三个人中,先让第一个人拿,有 2 种,再让第二个(第一个拿谁的就谁去拿)人拿,他只能拿第三个人的,所以是 2 种，所以这样有 4*2=8 种。对立情况是都拿到自己的,1 种所以应该有 4*3*2*1-1=23 种。第一个人拿,有 3 种.第二人如果拿第一个人的,那么只有 1 种;如果第二个人拿了三四当中的一个,有 2 种.所以共有3*3=9 种。2一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6:2430，那么从 5 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个？答案：2100 个详解：从 5 时到 7 时，第一个数只有 5,6,这 3
29、中可能。当第一个数为 5 时，有5*4*7*6=840 个，当第一个数为 6 时，有 6*5*7*6=1260 个，所以有 840+1260=2100 个。3各位数字均不大于 5，且能被 99 整除的六位数共有多少个？答案：575 个。详解：99=11*9，根据 11 和 9 的倍数特征知，奇偶数位数字和都为 9，分析后有6+3+6+1+3+6=25 个，25*25=625 个，62550=575 个。4在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一共有多少种不同的排队方法?答案：2520 种。解析
30、：根据题意，任意选出 2 个人，一定会有高低，所以 （种）2504268C5从 0 至 9 这 10 个数字中选出 7 个填入图 23-8 的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？答案：44 种。详解：分析这个竖式知，有 8*6=48 种，484=44 种。6. 从三个 0、四个 1、五个 2 中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?答案：159 个。解析：三进制法（从 10000-22222），不能出现的有 10000， 20000，11111，所以个。5934578 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻) ，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共
31、有多少种?答案：2400 种。详解：根据题意，先排冬冬小悦和阿奇，然后再排没出现名字的那个人，再排小光和大亮（捆绑，算一个人），最后再把小慧和大智插空排列，所以 （种）。24061524AC8含有数字 3，且能被 3 整除的五位数共有多少个？答案：12504.详解：由10000至99999 这90000 个五位数中,共有30000个能被3整除的数.含有数字3的不好计算，因此反过来计算不含数字3的：逐位讨论数字可能的情况：在最高位上,不能为0和3,因此有8种可能情况.在千、百、十位上不能为3, 各有9种可能情况, 在个位上,不仅不能为3,还应使整个五位数被3整除, 因此, 所出现的数字应与前4 位数字之和被3除的余数有关：当余数为2时,个位上可为1,4,7中的一个；当余数为1时,个位上可为2,5,8中的一个；当余数为0时,个位上可以为0,6,9 中的一个 .总之,不论前4位数如何, 个位上都有3种可能情况, 所以由乘法原理知,这类五位数的个数为 89993=17496,因此,含数字3而又被3整除的五位数有30000-17496=12504个.
