1、第 23 讲 最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小典型问题兴趣篇13 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?2. 用 1、2、4 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?3. 用 24 根长 l 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少? 如果用 22 根火柴棒呢?4三个自然数的和是 19，它们的乘积最大可能是多少?5(1)请将 l、2、3、4 填人算式“口口口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将
2、1、2、3、4、5、6 填人算式“口口口口口口” 的方格中要求 5、6 分别填在百位，4、3 分别填在十位，1、2 分别填在个位，并使得算式结果最大应该怎么填?6. 在图 23-1 的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小) ，然后把这 3个差数相加，所得的和最小是多少?7. 在所有包含 3 个相同数码的四位数中，与 1389 之差(大减小) 最小的一个是多少?8. 把 1、2、 3、4、5、6 填人算式 “”的空格中，要求前一个三位数比后一个三位数大这个减法算式的结果最大可能是多少?最小可能是多少?9. 一个自然数是由数字 8、9 组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数
3、，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等请问：满足条件的自然数最大是多少?10. 有 7 个盘子排成一排，依次编号为 1，2，3，7每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了 80 个其中 1 号盘里放了 18 个玻璃球，并且任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球数之和都相等请问：第 6 个盘子中最多可能放了多少个玻璃球?拓展篇1.3 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少?2. (1)在五位数 12435 的某一位数字后面再插入一个同样的数字 (例如：可以在 2 的后面插入2 得到 122435)，这样得到的六位数最大可能是多少 ?(2)在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一
4、个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少?3有 9 个同学要进行象棋比赛他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛他们一共最多能比赛多少场?43 个互不相同的自然数之和是 17，它们的乘积最大可能是多少?5请将 2、3、4、5、6、8 填人算式“口口口口口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?6请将 6、7、8、9 填人算式“口口+口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?7在图 23-2 的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差( 大减小)，然后把这 5个差数相加，所得的和最小是多少?8如果 7 个互不相同的自然数之和为 100，那么其中最小的数最大
5、可能是多少?最大的数最小可能是多少?9一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为 23这样的多位数最小可能是多少?最大可能是多少?10黑板上写着 l，2，3，4， ，10 各一个小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少?11如图 23-3，这是一个正方体的展开图将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的 3个面上的数之和最大是多少?12如图 23-4，在一个正方体方块的左下角 A 点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的 B 点，去搬运一块食物为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行?它可以选择的最短路线一共有
6、几条?超越篇1一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少?24 个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意 3 人体重之和都大于 99 千克这 4 个小朋友体重之和最小是多少千克?3将 1 至 30 依次写成一排：1232930，形成一个多位数从这个多位数中划掉 45 个数字，剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为 0，这个数最小是多少?4用 1、2、3、4、6、7、8、9 这 8 个数字组成 2 个四位数，使这 2 个数的差最小(大减小) ，这个差最小是多少?5将 2 至 8 这 7 个自然数填入算式“口口口口一口口口”的方格中如果算式的计算结果为整数，那么这个结果最大是多少，
7、最小是多少?6如图 23-5，一只木箱的长、宽、高分别为 5 厘米、3 厘米、4 厘米有一只甲虫从 A 点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次甲虫最多能爬行多少厘米?如果要求甲虫最后回到A 点，那么它最多能爬行多少厘米 ?7如图 23-6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少?8一栋大楼共 33 层，电梯停在第 1 层，现在有 32 个人分别要去第 2 层、第 3 层第33 层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个
8、人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯每个人上一层楼梯会有 3 份不满意，下一层楼梯会有 1 份不满意请问：电梯停在哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小?第 23 讲 最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小典型问题兴趣篇13 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。个位数字可能是：1、3、5、7、9。通过试验个位是 7、9、1 的三个连续奇数相乘满足条件，791=63 个位最小是 3.2. 用 1、
9、2、4 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?答案：9分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。满足条件的是 412 和 421.差是 421-412=9.3. 用 24 根长 l 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少? 如果用 22 根火柴棒呢?答案：36 平方厘米；30 平方厘米。分析：（1）矩形的周长是 24 厘米。长和宽的和：242=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。和是 12 的两数差为 0 是积最大。这两个数相等都是 6.即长和宽相等面积是 66=36（平方厘米） 。（2）周长是 22 厘米。长
10、和宽的和是 222=11（厘米）和是 11 差是 0 时，这样的两个数不是整数。差是 1 时两数分别为 6 和 5.积是 30.4三个自然数的和是 19，它们的乘积最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小积越大。193=61，6+6+6=18 再加 1 得 19，三个数分别是6、6、7 时积最大。最大是 667=252.5(1)请将 l、2、3、4 填人算式“口口口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将 1、2、3、4、5、6 填人算式“口口口口口口” 的方格中要求 5、6 分别填在百位，4、3 分别填在十位，1、2 分别填在个位，并使得算式结果最大应该怎么填?答案：（1
11、）4132 （2）542631分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以 4、3 分别在十位， 1、2 在个位。有两种情况 A：4132=12+240+130 +4030=1312B：4231=12+140+230+4030=1302 比较发现区别在划横线部分，当一个数十位上的数字与另一个数个位上的数字较大的与较大的相乘，较小与较小的数字相乘时积最大。最大是 4132（2）与（1）同理当十位上 4 与百位上的 6 相乘，十位上 3 与百位上 5 相乘；个位 2 与百位上 6 相乘，个位 1 与百位 5 相乘时积最大。其中一个数百位是 6 十位是 3 个位是 1 即631。另一个是 542.6.
12、 在图 23-1 的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小) ，然后把这 3个差数相加，所得的和最小是多少?答案：7分析：当中间数是 7 时和最小，和最小是 7。7. 在所有包含 3 个相同数码的四位数中，与 1389 之差(大减小) 最小的一个是多少?答案：1411分析：与 1389 之差(大减小)尽量与 1389 相近。所以千位是 1，百位是 3 或 4，十位和个位是 1.即可能是 1311 或 1411.通过计算与 1389 之差(大减小) 差最小的是 1411.8. 把 1、2、 3、4、5、6 填人算式 “”的空格中，要求前一个三位数比后一个三位数大这个减法算式的结果
13、最大可能是多少?最小可能是多少?答案：最大：531 最小：47分析：满足结果最大，被减数应尽量大，减数应尽量小。被减数最大是 654，减数最小是123。结果最小，两数应接近。被减数是 412，减数是 365 时结果最小。9. 一个自然数是由数字 8、9 组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等请问：满足条件的自然数最大是多少?答案：99889分析：由 8 和 9 组成的两位数可能是 88、89、99、984 种情况。.要使数最大数的位数尽量大，相邻数字组成的两位数出现以上 4 种情况。满足条件的数由高位到低位排列可称为第1 位、第 2 位、第 3 位第
14、 1 位第 2 位组成的数最大是 99，第 2 位第 3 位组成的数最大是98 第 3 位第 4 位组成的数是 88，第,4 位第 5 位组成的数是 89. 满足条件的自然数最大是99889.10. 有 7 个盘子排成一排，依次编号为 1，2，3，7每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了 80 个其中 1 号盘里放了 18 个玻璃球，并且任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球组成的数之和都相等请问：第 6 个盘子中最多可能放了多少个玻璃球?答案：12分析：任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球组成的数之和都相等。1、2、3 号盘与2、3、4 号盘玻璃球一样多。所以 1 号和 4 号盘都有 18
15、个。依次往后推 7 号盘也有 18 个。前 6 盘有 80-18=62 个，相邻的 3 盘有 622=31 个。4、5、6 这 3 个盘，4 号盘有 18 个要使第 6 个盘子中最多 5 号应最少最少有 1 个，第 6 个盘最多有 31-18-1=12 个。拓展篇1.3 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少?答案：6分析：只需考虑 3 个自然数的个位。个位上有 0-9 十种可能。通过试验得 3 个连续自然数个位是 1、2、3 满足条件。2. (1)在五位数 12435 的某一位数字后面再插入一个同样的数字 (例如：可以在 2 的后面插入2 得到 122435)，这样得到的六位数最
16、大可能是多少 ?(2)在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少?答案：最大 124435 最小 98766789分析：（1）使结果最大所插数字应尽量大且数位尽量靠前。试验得出最大是 124435.（2）使结果最小，所插数字应尽量小且数位尽量靠后。试验得出最小是 98766789.3有 9 个同学要进行象棋比赛他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛他们一共最多能比赛多少场?答案：20分析：两组比赛的场数是两组人数的乘积。两组人数的和是 9 要使乘积最大两组人数应相近。4+5=9 ，两组人数分别是 4 和 5 时比赛场数
17、最多，一共比赛 45=20 场。43 个互不相同的自然数之和是 17，它们的乘积最大可能是多少?答案：168分析：三个数和一定，差越小积越大。6+6+5=17 但有相同的数，再做调整得 7+6+4=17.积是 764=168。5请将 2、3、4、5、6、8 填人算式“口口口口口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?答案：842653分析：百位最大填 8 和 6，十位填 4 和 5，个位填 2 和 3。当一个数十位上的 5 与另一个数百位上的 8 相乘，一个数个位上的 3 与另一个数百位上的 8 相乘时积最大。所以两个三位数分别是 842 和 653。6请将 6、7、8、9 填人算式“口口
18、+口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?答案：78+96分析:两数乘积与所加的两位数应尽量大。98+76=148， 87+96=152 比较发现最大填 78+96。7在图 23-2 的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差( 大减小)，然后把这 5个差数相加，所得的和最小是多少?答案：19分析：当中间数是 19 时和最小，和最小是19.8如果 7 个互不相同的自然数之和为 100，那么其中最小的数最大可能是多少?最大的数最小可能是多少?答案：11；18分析：7 个互不相同的自然数最小分别是 0、1、2、3、4、5、6 这 7 个数的和是 21.100-21=79 以上 7 个数
19、分别加上相同的数也得到 7 个不同的数。797=112，7 个自然数都加上 11，得 11-17，7 个数。余数 2 可加到最大的两个数中。所以最小是 11 最大是 18。9一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为 23这样的多位数最小可能是多少?最大可能是多少?答案：最小 689 最大 8543210分析：要使最小，位数应尽量少。23 可最少拆成 3 个不同的一位数的和。即 23=6+8+9.所以最小是 689.要使最大，位数应尽量多。6 个互不相同的自然数最小是 0+1+2+3+4+5+6=21，23-21=2，0+1+2+3+4+5+8=23.最大是 8543210。11如图 2
20、3-3，这是一个正方体的展开图将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的 3个面上的数之和最大是多少?答案：13分析：1-6 个数中 3 个数的和从大到小分析最大的三个数是 6+5+4=15，从图中看出 6、5、4 不相交于同一顶点。再次 6、5、3 也不想交与同一顶点。6、4、3 相交与同一顶点。6+4+3=13.12如图 23-4，在一个正方体方块的左下角 A 点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的 B 点，去搬运一块食物为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行?它可以选择的最短路线一共有几条?答案：6分析: A、B 没在同一平面上，不可以连接，蚂蚁只能从表面爬过去, A
21、、B 所在的两个面展开就在同一平面上了。直接连接 A、B 就是最短路线。展开 A、B 所在的两个面有 6 种情况（正面和上面、正面和右面、下面和后面、下面和右面、左面和上面、左面和后面） 。所以最短路线有 6 条。超越篇1一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少?答案：151、 分析： 首先，由于余数除数。所以余数要最大，那么除数就要尽量大。而除数最大是 18。（1） 除数为 18，这个两位数只能为 99，9918 余 9；（2） 除数为 17，这个两位数只能为 98、89，9817 余 13，8917 余 4；（3） 除数为 16，这个两位数只能为 97、79、88,9716 余 1,
22、7916 余 15、8816余 8.（4） 除数15 时，余数小于 15.所以余数最大为 15.24 个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意 3 人体重之和都大于 99 千克这 4 个小朋友体重之和最小是多少千克?答案：134 千克。分析：不妨设这四人的体重为 A、B、C、D，且 ABCD,都是整数。由于 A+B+C99，所 以 A+B+C100.所以 C34.从而 DC34.所以 A+B+C+D100+D100+34=134.3将 1 至 30 依次写成一排：1232930，形成一个多位数从这个多位数中划掉 45 个数字，剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为 0，这个数最小是
23、多少?答案：最大 998930 最小 100120分析：1 至 30 共 51 个字码。所以去掉 45 个还余下 6 个字码。要最大，则高位尽量大998930， 要最小，高位尽量小 100120.4用 1、2、3、4、6、7、8、9 这 8 个数字组成 2 个四位数，使这 2 个数的差最小(大减小) ，这个差最小是多少?答案：139分析：如图易知：要让两数之差尽量小，A 只能比 E 大 1，且 FGH 要尽量大，最大为 987.而 BCD 要尽量小，且由 6-4=2 知，BCD 为 126.最后得：4126-3987=139.5将 2 至 8 这 7 个自然数填入算式“口口口口一口口口”的方格
24、中如果算式的计算结果为整数，那么这个结果最大是多少，最小是多少?答案：最大 6452 最小 827分析： 要让 M 尽量大，易知要 尽ABCD量大， G 尽量小。且 影响更大，应优先满足。这时他们最大为EFABCD8576=6460，这时 G 最小为 324=8。6460-8=6452.要让 M 尽量小，易知要 尽量小， G 尽量大。且 影响更大，优先满足。这时他们最小为CD2435=840，这时 G 最大为 786=13.840-13=827.EF6如图 23-5，一只木箱的长、宽、高分别为 5 厘米、3 厘米、4 厘米有一只甲虫从 A 点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次甲虫最多能爬行多少
25、厘米?如果要求甲虫最后回到A 点，那么它最多能爬行多少厘米 ?答案：39 厘米，34 厘米分析：这是一个一笔画问题，且每个点的度数为 3，都是奇数。（1） 8 个点至少要去掉 3 条线。这时候尽量去掉长度短的线，即去掉 3 条长度为 3的线。这时去掉 BC、FG、EH 即可。路线为 A-B-F-E-A-D-H-G-C-D,共54+44+31=39 厘米。（2） 若而从 A 出发，最后要回到 A 点，那么 8 个点要去掉 4 条线。这时候尽量去掉长度短的线，很明显去掉 4 条长度为 3 的线是不行的。假如去掉 3 条长度为 3的线，这时从四边形 ABEF 的某个点到 DCHG 后就没线回来了。所
26、以最多去掉 2条长度为 3 的线。去掉 BC、FG、HD、AE 即可。这时的路线为 A-B-F-E-H-G-C-D-A,共 54+42+32=34 厘米。7如图 23-6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少?答案：140分析：甲要使得 A-C 尽量大，而乙要使得尽量小。所以开始甲只能报 4 或者 5，若甲第一个数报 6、7、8、9，那么乙只要把这个数填在 C 出即可，这时 A-C9-6=3. 若甲第一个数报 0、1、2、3，那么乙只要把这个数
27、填在 A 出即可，这时 A-C3-0=3.并且，甲报完4（5）后，只能一直报 0（9） 。否则，随便你报一个另外的数 m，乙把 m 填到 C（A） ，这时A-C 就小于 4 了。所以这个值最大为 299-159=140，或者 240-100=140.并且，若甲第一个数报 5，而乙填到 B 或 D 处，这时甲只需继续报 5 即可，直到乙把 C 处填 5 为止。8一栋大楼共 33 层，电梯停在第 1 层，现在有 32 个人分别要去第 2 层、第 3 层第33 层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯每个人上一层楼梯会有 3
28、 份不满意，下一层楼梯会有 1 份不满意请问：电梯停在哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小?答案:316 份分析： 假设电梯停在了 A 层，那么往上的楼层都要爬。且不高于 B 层的人都是从 1 层往上走，此时(B-1)3（A-B）,即 4（B-1）（A-1） 。这时，若电梯往下停一楼，则从 A 到33 楼，会增加 3（33-A+1）份不满意度，从 B+1 到 A-1 楼，会减少 A-B-1 份不满意度。而A-1 为 4 的倍数时，B 楼也会由从下往上变成从上往下，从而减少 1 份不满意。所以，若电梯直接到 33 楼时，这时 2 到 9 楼的往上爬，最少有（1+2+8）3+（1+2+23）=
29、384份不满意。然后我们再考虑往下移动。（3） 停在 32 楼，则 B=8，这时 9 楼由 24 份不满变成 23 份，不满意数为 384-（24-23）-23+3=363 份（4） 停在 31 楼，则不满意数为 363-23+6=346 份（5） 停在 30 楼，则不满意数为 346-22+9=333 份（6） 停在 29 楼，则不满意数为 333-21+12=324 份（7） 停在 28 楼，则 B=7，这时第 8 楼由 21 份不满意变成 20 份，不满意数为 324-（21-20）-20+15=318 份（8） 停在 27 楼，则不满意数为 327-20+18=316 份（9） 当停的楼层不高于 26 层时，不满意度减少的份上将不大于 19，而增加的不满意份数将不小于 21 份。所以电梯应停在 27 层，这时不满意度为 316 份.
