1、概率与统计【2019 年高考考纲解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现【重点、考点剖析】一、排列组合与计数原理的应用1分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法
2、种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2.名称 排列 组合相同点 都是从 n 个不同元素中取 m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同二、二项式定理1通项与二项式系数Tr1 C anr br，其中 C (r0,1,2，n)叫做二项式系数rn rn2各二项式系数之和(1)C C C C 2 n.0n 1n 2n n(2)C C C C 2 n1 .1n 3n 0n 2n三、古典概型与几何概型1古典概型的概率公式P(
3、A) .mn 事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数2几何概型的概率公式P(A).构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 四、相互独立事件和独立重复试验1条件概率在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B|A) .PABPA2相互独立事件同时发生的概率P(AB) P(A)P(B)3独立重复试验、二项分布如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为Pn(k)C pk(1 p)nk ，k 0,1,2，n.k
4、n五、离散型随机变量的分布列、均值与方差1均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a 2D(X)(a，b 为实数)2两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若 XB(n， p)，则 E(X)np，D(X)np(1p)【题型示例】题型一 排列组合与计数原理例 1、(1)2018全国卷从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)(2)2018浙江卷从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以组成
5、_个没有重复数字的四位数(用数字作答)【方法技巧】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的 要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不 符合要求的排列或组合数.【变式探究】(2017全国 )安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有_种【变式探究】旅游体验师小明受某 网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A24
6、B18C 16 D10【变式探究】某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A120 种 B156 种C 188 种 D240 种【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺” “礼” ，主要指德育；“乐” ，主要指美育；“射”和“御” ，就是体育和劳动；“书” ，指各种历史文化知识；“数” ，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座
7、不同的排课顺序共有( )A120 种 B156 种C 188 种 D240 种(2)若自然数 n 使得作竖式加法 n(n1)( n2)均不产生进位现象，则称 n 为“开心数”例如：32 是“开心数” 因为 3233 34 不产生进位现象；23 不是“开心数” ，因为23 24 25 产生进位现象，那么，小于 100 的“开心数”的个数为( )A9 B10 C11 D12【 感悟提升】(1) 在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直 观化【变式探究】 (1)某
8、微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4 个红包中有 2 个 6 元，1 个 8 元，1 个 10 元( 红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A18 种 B24 种C 36 种 D48 种(2)(2018百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )1 2 34来源 :Zxxk.ComA.9 种 B18 种 C 12
9、 种 D36 种题型二 二项式定理例 2、(1)2018全国卷 5 的展开式中 x4 的系数为( )(x2 2x)A10 B20C 40 D80【变式探究】(2017浙江)已知多项式(x 1) 3(x2) 2x 5a 1x4a 2x3a 3x2a 4xa 5，则a4 _， a5_.【变式探究】(2017浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组 成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 _种不同的选法(用数字作答)【变式探究】若(13 x)2 018 a0a 1xa 2 018x2 018，xR ，则 a13a 232a 2 01
10、832 018 的值为( )A2 2 0181 B8 2 0181C 22 018 D8 2 018【方法技巧】(1)利用二项式定理求解的两种常用思路二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值(2)【特别提醒 】在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定；T r1 是展开式中的第 r1 项，而不是第 r 项；公式中，a ，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置；对二项式(ab)
11、 n 展开式的通项公式要特别注意符号问题.【变式探究】若二项式 n 的展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式第一项的系(x2 2x)数之和为( )A1 B1C 27 D27【变式探究】(1)已知二项式 4，则展开式的常数项为( )(1 1x 2x)A1 B1 C47 D49(2) n 的展开式中，各项系数之和为 A，各项的二项式系数之和为 B，若 32，则 n(x 3x) AB等于( )A5 B6 C7 D8题型三 古典概型与几何概型例 3、(1)2018全国卷如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB
12、，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3 ，则( )Ap1 p2 Bp1 p3Cp2 p3 Dp1p2p3(2)2018全国卷我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和 ”，如 30723.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )A. B.112 114C. D.115 118【方法技巧】解答几何概型、古典概型问题时的策略(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含
13、的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件 数的求法与基本事件总数的求法的一致性(3)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.【变式探究】已知 a2,0,1,2,3，b3,5，则函数 f(x)(a 22)e xb 为减函数的概率是( )A. B. C. D.310 35 25 15【变式探究】(2017全国 )如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成
14、中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.14 8 12 4【变式探究】如图，在圆心角为 90的扇形 AOB 中，以圆心 O 为起点在 上任取一点C 作射线 OC，则使得AOC 和BOC 都不小于 30的概率是( )A. B.13 23C. D.12 16题型四 相互独立事件和独立重复试验例 4、某厂有 4 台大型机器，在一个月中，1 台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1 名工人进行维修每台机器出现故障的概率为 .13(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少
15、于 90%?(2)已知 1 名工人每月只有维修 1 台机器的能力，每月需支付给每位工人 1 万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有 2 名工人，求该厂每月获利的均值【方法技巧】(1)求复杂事件概率的两种方法直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解对于“至少” “至多”等问题往往也用这种方法求解(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中
16、，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同【变式探究】某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况规定一名运动员出线记 1 分，未出线记 0 分假设甲、乙、丙出线的概率分别为 ， ， ，他们出线与未出线是相互独立的233435(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量 ，求随机变量 的分布列和数学期望 E.题型五 离散型随机变量的分布列、均值与方差例 5、2018 北京卷 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型
17、 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好 评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k1”表示第 k 类电影得到人们喜欢， “ k0 ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢(k1,2,3,4,5,6
18、) 写出方差 D1，D 2，D3 ，D4 ，D5，D6 的大小关系【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解.【变式探究】(2017全国)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低
19、于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的 订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 10,15) 15,20) 20,25)25,30)来源:30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元) ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时，Y 的期望达到最大值？ 来源:Z#xx#k.Com【变式探究】某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2
20、，8，其中X5 为标准 A，X3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下表所示：X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.1且 X1 的数学期望 EX16，求 a，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7 来源:ZX
21、XK用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学期望；(3)在(1)，(2) 的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性来源:【2019 年高考考纲解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力5.以选择题、填
22、空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现【重点、考点剖析】一、排列组合与计数原理的应用1分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如 果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2.名称 排列 组合相同点 都是从 n 个不同元素中取 m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同二、二项式定
23、理1通项与二项式系数Tr1 C anr br，其中 C (r0,1,2，n)叫做二项式系数rn rn2各二项式系数之和(1)C C C C 2 n.0n 1n 2n n(2)C C C C 2 n1 .1n 3n 0n 2n三、古典概型与几何概型1古典概型的概率公式P(A) .mn 事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数2几何概型的概率公式P(A).构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 四、相互独立事件和独立重复试验1条件概率在 A 发生的条件下 B 发生
24、的概率：P(B|A) .PABPA2相互独立事件同时发生的概率P(AB) P(A)P(B)3独立重复试验、二项分布如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为Pn(k)C pk(1 p)nk ，k 0,1,2，n.kn五、离散型随机变量的分布列、均值与方差1均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a 2D(X)(a，b 为实数)2两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若 XB(n， p)，则 E(X)np，D(X)np(1p)【题型示例】题型一 排列组合
25、与计数原理例 1、(1)2018全国卷从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)(2)2018浙江卷从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)【解析】不含有 0 的四位数有 720( 个)含有 0 的四位数有 540(个)来源:Zxxk.Com来源:综上，四位数的个数为 7205401 260.【答案】1 260【方法技巧】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置
26、为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.【变式探究】(2017全国 )安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有_种答案 36解析 由题意可得，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C C A 36( 种)，或列式为 C C C 3 236(种)13 24 2 13 24 12432【变式探究】旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁
27、景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A24 B18C 16 D10解析：分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有 A 种可选的路线；第二种：不在最3后体验甲景区，则有 C A 种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为12 2A C A 10. 选 D.3 12 2答案：D【变式探究】某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A120 种 B156 种C 188 种 D240 种解析：解法一 记演出顺序为 16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和 2 号，2和 3
28、号，3 和 4 号，4 和 5 号，5 和 6 号，其排法种数分别为A A ，A A ，C A A ，C A A ，C A A ，故总编排方案有23 23 1223 1323 1323A A A A C A A C A A C A A 120(种)23 23 1223 13 23 1323解法二 记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类， 当甲在 1 号位置时，丙、丁相邻的情况有 4 种，则有 C A A 48(种)；当甲在 2 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，1423共有 C A A 36( 种)；当甲在 3 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有1323C A A 36(种)所
29、以编排方案共有 4836 36120(种)1323答案：A【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺” “礼” ，主要指德育；“乐” ，主要指美育；“射”和“御” ，就是体育和劳动；“书” ，指各种历史文化知识；“数” ，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A120 种 B156 种C 188 种 D240 种(2)若自然数 n 使得作竖式加法 n(n1)( n2)均不产生进位现象，则称 n 为“开心数”例如：32 是“开
30、心数” 因为 3233 34 不产生进位现象；23 不是“开心数” ，因为23 24 25 产生进位现象，那么，小于 100 的“开心数”的个数为( )A9 B10 C11 D12答案 D解析 根据题意个位数需要满足要求：n(n 1)( n2)D 4D 2D 5D 3D 6.【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解.【变式探究】(2017全国)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理
31、，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利
32、润为 Y(单位：元) ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时，Y 的期望达到最大值？解 (1)由题意知， X 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知，P(X 200) 0.2 ，2 16303P(X 300) 0.4，36303P(X 500) 0.4.25 7 4303则 X 的分布列为X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑200n500. 来当 300n500 时，若最高气温不低于 25，则 Y6 n4n2 n；若最高气温位于区间20,25) ，则 Y63002(n
33、300) 4n1 2002n ；若最高气温低于 20，则 Y6 2002(n200)4 n8002n ，因此 E(Y)2n0.4(1 2002n )0.4(8002 n)0.2 6400.4n.当 200n300 时，若最高气温不低于 20，则 Y6 n4n2 n；若最高气温低于 20，则 Y6 2002(n200)4 n8002n ，因此 E(Y)2n(0.4 0.4)(8002 n)0.2160 1.2 n.所以当 n300 时，Y 的期望达到最大值，最大值为 520 元【变式探究】某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中X5 为标准 A，X3 为标准
34、B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下表所示：X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.1且 X1 的数学期望 EX16，求 a，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学期望；(3)在(1)，(2) 的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6，价格为 6 元/ 件，其性价比为 1，66乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8，价格为 4 元/件，其性价比为 1.2，4.84又 1.21 ，乙厂的产品更具可购买性
