1、数列的综合问题【2019 年高考考纲解读】1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应 用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力【重点、难点剖析】来源:一、利用 Sn，a n 的关系式求 an1数列a n中， an 与 Sn 的关系an Error!2求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列 an中，满足 an1 a nf(n )，且 f(1)f(2) f (n)可求，则可用累加法求数列的通项 an.(3)在已知数列 an中，满足 f(n)
2、 ，且 f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的an 1an通项 an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列) 二、数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 Sn 的表达式 ，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题三、数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少
3、，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和， 还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果【高考题型示例】题型一、 利用 Sn，a n的关系式求 an例 1、已知等差数列a n中， a22 ，a 3a 58 ，数列b n中，b 12，其前 n 项和 Sn 满足：b n 1S n 2(nN *)(1)求数列 an，b n的通项公式；(2)设 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn【感悟提升】给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 SnS n1 a n(n2)转化为
4、an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.【变式探究】已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足：a 1anS 1S n.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 an0，数列 的前 n 项和为 Tn，试问当 n 为何值时，T n 最小？并求出最小log2 an32值题型二 数列与函数、不等式的综合问题例 2、已知函数 f(x)ln(1x) .x1 x1 x(1)若 x0 时，f( x)0，求 的最小值；(2)设数列a n的通项 an1 ，证明：a 2na n ln 2.12 13 1n 14n【感悟提升】解决数列与函数、不等式的
5、综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件(3)不等关系证明中进行适当的放缩【变式探究】已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn(nN *)，满足 S42 a41，S 32a 31.(1)求a n的通项公式；(2)记 bnlog 2 (nN *)，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证： 0)(1)求 A 市 2019 年的碳排放总量(用含 m 的式子表示) ；(2)若 A 市永远不需要采取紧急限排措施，求 m 的取值范围【感悟提升】常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来
6、产值的基础数为 N，平均增长率为 p，对于时间 n 的总产值y N(1 p)n.来源:Zxxk.Com(2)银行储蓄复利公式：按复利计算 利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r，存期为 n，则本利和 ya(1r) n.来源:Zxxk.Com(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为 a 元，每期的利率为 r，存期为 n，则本利和 ya(1 nr)(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则 b .r1 rna1 rn 1【变式探究】2018 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2019 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2
7、千万元用于此项目.2018 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2018 年为第 1 年，f (n)为第 1 年至此后第 n(n N*)年的累计利润( 注：含第 n 年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元)，且当 f(n)为正值时，认为该项目赢利(参 考 数 值 ： (32)717， (32)825， ln 31.1， ln 20.7)(1)试求 f(n)的表达式；(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由题型四 与数列相关的综合问题例 4、设 f(x) x22x ，f (x)是 yf(x )的导函数，若数
8、列a n满足 an1 f (an)，且首项12a1 1.(1)求数列 an的通项公式；来源:Z+xx+k.Com(2)数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列b n中，b 1a 1，b 2a 2，数列b n的前 n 项和为Tn，请写出适合条件 TnSn 的所有 n 的值.【感悟提升】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集 )，在求数列最值或不等关 系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利 用数列或数列对应函数的单调性处理.【变式探究】设数列a n(n1，2 ，3，)的前 n 项和 Sn 满足 Sn2a na 1，且a1， a2 1，a 3 成等差数列.(1)求 数列a n 的通项公式(2)记数列 的前 n 项和为 Tn，求使得|T n1| 成立的 n 的最小值.1an 11 000
