1、平面向量及其应用高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级，只有平面向量的应用为 A 级要求，平面向量的数量积为 C 级要求，应特别重视试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查， 构成中档题.【重点、难点剖析】1向量的概念(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为 .a|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a(1，k)是直线 l 的一个方向向量(5)|b|cosa，b叫做 b 在向量 a 方向
2、上的投影2两非零向量平行、垂直的充要条件设 a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，(1)若 a bab(0)；ab x1y2x 2y10.(2)若 a bab0；abx 1x2y 1y20.3平面向量的性质(1)若 a (x，y)，则|a| .aa x2 y2(2)若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|A | .B x2 x12 y2 y12(3)若 a (x1，y 1)，b(x 2，y 2)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos .a b|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y24当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就
3、要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量 MN ON (其中 O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终 点向量减去起点向量OM 5根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当| ab |ab |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a b| |a b|等价于向量 a，b 互相垂直，反之也成立6两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例 1】 （2018 年全国卷）已知向量 ，
4、 满足 ， ，则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【变式探究】 【2017 山东，文 11】已知向量 a=（2,6）, b= ,若 a|b,则 .(1)a|b【变式探究】 【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 ,(3,2)m，且()+，则 m（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【举一反三】(2015新课标全国 ，7) 设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 【变式探究】(2015北京，13)在 ABC 中，点 M，N 满足 2
5、， .若AM MC BN NC x y ，则 x_ ；y _ *xx*k.Com来源:ZXXKMN AB AC 【变式探究】(1)平面向量 a(1,2)，b (4,2)，c ma b(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角，则 m( )A2 B1 C 1 D2(2)设向量 a(3,3)，b( 1，1) 若(a b ) (ab )，则实数 _ _.【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式
6、求解(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化” 的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已 知向量进行计算【变式探究】设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC.若12 23 1 2 (1， 2 为实数) ，则 1 2 的值为_DE AB AC 来源:Z_xx_k.Com 来源:Z+xx+k.Com【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比本
7、例中的第(1)题就是把向量 用 ， 表DE AB AC 示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数题型二、平面向量的数量积 【例 2】 （2018 年天津卷）在如图的平面图形中，已知 ,则 的值为A. B. C. D. 0来源:ZXXK【变式探究】【2017 北京，文 12】已知点 P 在圆 上，点 A 的坐标为(-2,0)，O 为2=1xy原点，则 的最大值为_AOP【举一反三】(2015山东，4)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC 60 ，则 ( )BD CD A a2 B a2C. a2 D. a232 34 34 32【变式探究】(2015安徽，8)A
8、BC 是边长为 2 的等边三 角形，已知向量a，b 满足 2a， 2a b，则下列结论正确的是( )AB AC A|b| 1 BabC ab1 D(4 ab) BC 【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算， 尽可能将所求向量 转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函 数，利用函数知识求解最值【变式探究】(2015四川，7)设四边形 ABCD 为平行四边形，| |6 ，| |4，若点AB AD M， N 满足 3 ， 2 ，则 ( )BM MC DN NC AM NM A20 B. 15 C9 D6题型三、平面向量基本定理及其应用例 3 （2018 年浙江卷）已
9、知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24eb+3=0，则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【变式探究】 【2017 江苏，16】 已知向量 (cos,in)(3,)0,.xxb（1）若 ab,求 x 的值；（2）记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值.()f()f x【举一反三】(2015湖南，8)已知点 A，B，C 在圆 x2y 21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2，0)，则 | |的最大值为( )PA PB PC A6 B7 C8 D9【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量
10、a，b，|a |b| 1，ab0 ，点 Q 满足 (ab) 曲线 C P| acos bcos ，02，区域OQ 2 OP P|0r| |R，r R若 C 为两段分离的曲线，则 ( )PQ A1r R3 B1r3RC r1R3 D1r3R【举一反三】(2015江苏，6)已知向量 a(2，1) ，b(1， 2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_【2019 年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级，只有平面向量的应用为 A 级要求，平面向量的数量积为 C 级要求，应特别重视试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综
11、合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】1向量的概念(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为 .a|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a(1，k)是直线 l 的一个方向向量(5)|b|cosa，b叫做 b 在向量 a 方向上的投影2两非零向量平行、垂直的充要条件设 a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，(1)若 a bab(0)；ab x1y2x 2y10.(2)若 a bab0；abx 1x2y 1y20.3平面向量的性质(1)若 a
12、 (x，y)，则|a| .aa x2 y2(2)若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 来源:|A | .B x2 x12 y2 y12(3)若 a (x1，y 1)，b(x 2，y 2)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos .a b|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y24当向量以几何图形的形式出现时 ，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量 (其中 O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向MN ON OM 量5根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当| ab |a
13、b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a b| |a b|等价于向量 a，b 互相垂直，反之也成立6两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例 1】 （2018 年全国卷）已知向量 ， 满足 ， ，则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】因为 ，所以选 B.【变式探究】 【2017 山东，文 11】已知向量 a=（2,6）, b= ,若 a|b,则 .(1)【答案】-3【解析】由
14、 a|b 可得 1623.【变式探究】 【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 (1,)3,2)am， =，且 ()ab+，则 m（ ）（A） 8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量 ab(4,m2)，由 (ab)得 43(m2)(0，解得 m8，故选 D.【举一反三】(2015新课标全国 ，7) 设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 解析 3 ， 3( )， 即 4 3 ，BC CD AC AB AD AC AC AB A
15、D .AD 13AB 43AC 答案 A【变式探究】(2015北京，13)在ABC 中，点 M，N 满足 2 ， .若AM MC BN NC x y ，则 x_ ；y _MN AB AC 来源:Z|xx|k.Com解析 ( )MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12AB AC ，12AB 16AC x ， y .12 16答案 12 16【变式探究】(1)平面向量 a(1,2)，b (4,2)，c ma b(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角，则 m( )A2 B1 C 1 D2(2)设向 量 a(3,3 )，b(1，1) 若(ab) (ab )，则实数 _.【命
16、题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力【答案】(1)D (2)3【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解(3)解决平面向量问题要灵活运 用向量平行与垂直的充要条件列方程(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化” 的解题意识；注重数形结合思想、
17、方程思想与转化思想的应用注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算【变式探究】设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC.若12 23 1 2 (1， 2 为实数) ，则 1 2 的值为_DE AB AC 【答案】12【解析】如图， ( ) ，则DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC 1 ， 2 ， 1 2 .16 23 12【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比本例中的第(1)题就是把向量 用 ， 表D
18、E AB AC 示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数题型二、平面向量的数量积 【例 2】 （2018 年天津卷）在如图的平面图形中，已知 ,则 的值为A. B. C. D. 0来源:【答案】C【解析】如图所示，连结 MN，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，则 ，由题意可知： ， ，结合数量积的运算法则可得：.本题选择 C 选项.【变式探究】【2017 北京，文 12】已知点 P 在圆 上，点 A 的坐标为(-2,0)，O 为2=1xy原点，则 的最大值为_AOP【答案】6【解析】 所以最大值是 6.【举一反三】(2015山东，4)已知菱形 ABCD
19、 的边长为 a，ABC 60 ，则 ( )BD CD A a2 B a2 C. a2 D. a232 34 34 32【变式探究】(2015安徽，8)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足 2a， 2ab，则下列结论正确的是( )AB AC A|b| 1 Bab 来 。 X。 KCab 1 D(4ab) BC 解析 由于ABC 是边长为 2 的等边三角形；( )( )0，即 ( ) 0，AB AC AB AC AB AC CB (4ab) ，即(4ab) ，故选 D.CB BC 答案 D【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角
20、已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值【变式探究】(2015四川，7)设四边形 ABCD 为平行四边形，| |6 ，| |4，若点AB AD M， N 满足 3 ， 2 ，则 ( )BM MC DN NC AM NM A20 B. 15 C9 D6解析 ，AM AB 34AD ，NM CM CN 14AD 13AB (4 3 ) (4 3 )AM NM 14 AB AD 112 AB AD (16 29 2) (166294 2)9，选 C.148 AB AD 148答案 C题型三、平面向量基本定理及其应用例 3 （2018 年浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，
21、e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24eb+3=0，则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】设 ，则由 得，由 得因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径 1，为 选 A.【变式探究】 【2017 江苏，16】 已知向量 (cos,in)(3,)0,.xxab（1）若 ab,求 x 的值；（2）记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值.()f()f x【答案】 （1） （2） 时， 取到最大值 3； 时， 取到 最56x0xfx56fx小值 .3【解析】（1 ）因为 ， ，ab，cos,inax3,b所以 .3若
22、 ，则 ，与 矛盾，故 .cos0xsinx2sico1xcos0x于是 . 3ta又 ，所以 .0,x56x【举一反三】(2015湖南，8)已知点 A，B，C 在圆 x2y 21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2，0)，则| |的最大值为( )PA PB PC A6 B7 C8 D9解析 由 A，B，C 在圆 x2y 21 上，且 ABBC，AC 为圆直径，故 2 (4，0) ，设 B(x，y) ，则 x2y 21 且 x 1 ，1， ( x2，y )，所以PA PC PO PB (x6，y) 故| | ， x 1 时有最大值 7，PA PB PC PA PB PC 12x 37
23、 49故选 B.答案 B【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a |b| 1，ab0 ，点 Q 满足 (ab) 曲线 C P| acos bcos ，02，区域OQ 2 OP P|0r| |R，r R若 C 为两段分离的曲线，则 ( )PQ A1r R3 B1r3RC r1R3 D1r3R解析 由已知可设 a(1，0)， b(0 ，1)，P(x，y)，则 ( ， )，曲线OA OB OQ 2 2CP| (cos ，sin )，0 2，即 C：x 2y 21，区域 P |0r| |R，rR表示OP PQ 圆 P1：(x )2(y )2r 2 与圆 P2：( x )2( y )2R 2 所形成的圆环，如图所示，2 2 2 2要使 C 为两段分离的曲线，只有 1rR3. 答案 A【举一反三】(2015江苏，6)已知向量 a(2，1) ，b(1， 2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_解析 a(2，1) ，b(1， 2)，manb(2mn，m2n )(9，8) ，即解得 故 mn2 5 3.2m n 9，m 2n 8， ) m 2，n 5， )答案 3
