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2019年高考数学教师版(含解析)之平面向量及其应用

1、平面向量及其应用高考对本内容的考查主要有:平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级,只有平面向量的应用为 A 级要求,平面向量的数量积为 C 级要求,应特别重视试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与三角函数综合考查, 构成中档题.【重点、难点剖析】1向量的概念(1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为 .a|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a(1,k)是直线 l 的一个方向向量(5)|b|cosa,b叫做 b 在向量 a 方向

2、上的投影2两非零向量平行、垂直的充要条件设 a( x1,y 1),b(x 2,y 2),(1)若 a bab(0);ab x1y2x 2y10.(2)若 a bab0;abx 1x2y 1y20.3平面向量的性质(1)若 a (x,y),则|a| .aa x2 y2(2)若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则|A | .B x2 x12 y2 y12(3)若 a (x1,y 1),b(x 2,y 2), 为 a 与 b 的夹角,则 cos .a b|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y24当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示,就

3、要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量 MN ON (其中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终 点向量减去起点向量OM 5根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当| ab |ab |时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a b| |a b|等价于向量 a,b 互相垂直,反之也成立6两个向量夹角的范围是0,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例 1】 (2018 年全国卷)已知向量 ,

4、 满足 , ,则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【变式探究】 【2017 山东,文 11】已知向量 a=(2,6), b= ,若 a|b,则 .(1)a|b【变式探究】 【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 ,(3,2)m,且()+,则 m( )(A)8 (B)6 (C)6 (D)8【举一反三】(2015新课标全国 ,7) 设 D 为ABC 所在平面内一点, 3 ,则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 【变式探究】(2015北京,13)在 ABC 中,点 M,N 满足 2

5、, .若AM MC BN NC x y ,则 x_ ;y _ *xx*k.Com来源:ZXXKMN AB AC 【变式探究】(1)平面向量 a(1,2),b (4,2),c ma b(mR),且 c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角,则 m( )A2 B1 C 1 D2(2)设向量 a(3,3),b( 1,1) 若(a b ) (ab ),则实数 _ _.【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合,利用平行四边形、三角形法则求解(2)已知条件中涉及向量的坐标运算,需建立坐标系,用坐标运算公式

6、求解(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程(4)正确理解并掌握向量的概念及运算;强化“坐标化” 的解题意识;注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用注意:在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中的已 知向量进行计算【变式探究】设 D,E 分别是ABC 的边 AB,BC 上的点,AD AB,BE BC.若12 23 1 2 (1, 2 为实数) ,则 1 2 的值为_DE AB AC 来源:Z_xx_k.Com 来源:Z+xx+k.Com【规律方法】在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行类比本

7、例中的第(1)题就是把向量 用 , 表DE AB AC 示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等关系式,可求相应的系数题型二、平面向量的数量积 【例 2】 (2018 年天津卷)在如图的平面图形中,已知 ,则 的值为A. B. C. D. 0来源:ZXXK【变式探究】【2017 北京,文 12】已知点 P 在圆 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为2=1xy原点,则 的最大值为_AOP【举一反三】(2015山东,4)已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC 60 ,则 ( )BD CD A a2 B a2C. a2 D. a232 34 34 32【变式探究】(2015安徽,8)A

8、BC 是边长为 2 的等边三 角形,已知向量a,b 满足 2a, 2a b,则下列结论正确的是( )AB AC A|b| 1 BabC ab1 D(4 ab) BC 【规律方法】求数量积的最值,一般要先利用向量的线性运算, 尽可能将所求向量 转化为长度和夹角已知的向量,利用向量的数量积运算建立目标函 数,利用函数知识求解最值【变式探究】(2015四川,7)设四边形 ABCD 为平行四边形,| |6 ,| |4,若点AB AD M, N 满足 3 , 2 ,则 ( )BM MC DN NC AM NM A20 B. 15 C9 D6题型三、平面向量基本定理及其应用例 3 (2018 年浙江卷)已

9、知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ,向量 b 满足 b24eb+3=0,则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【变式探究】 【2017 江苏,16】 已知向量 (cos,in)(3,)0,.xxb(1)若 ab,求 x 的值;(2)记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值.()f()f x【举一反三】(2015湖南,8)已知点 A,B,C 在圆 x2y 21 上运动,且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0),则 | |的最大值为( )PA PB PC A6 B7 C8 D9【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量

10、a,b,|a |b| 1,ab0 ,点 Q 满足 (ab) 曲线 C P| acos bcos ,02,区域OQ 2 OP P|0r| |R,r R若 C 为两段分离的曲线,则 ( )PQ A1r R3 B1r3RC r1R3 D1r3R【举一反三】(2015江苏,6)已知向量 a(2,1) ,b(1, 2),若 manb(9,8)(m,nR),则 mn 的值为_【2019 年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有:平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级,只有平面向量的应用为 A 级要求,平面向量的数量积为 C 级要求,应特别重视试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与三角函数综

11、合考查,构成中档题.【重点、难点剖析】1向量的概念(1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为 .a|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a(1,k)是直线 l 的一个方向向量(5)|b|cosa,b叫做 b 在向量 a 方向上的投影2两非零向量平行、垂直的充要条件设 a( x1,y 1),b(x 2,y 2),(1)若 a bab(0);ab x1y2x 2y10.(2)若 a bab0;abx 1x2y 1y20.3平面向量的性质(1)若 a

12、 (x,y),则|a| .aa x2 y2(2)若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 来源:|A | .B x2 x12 y2 y12(3)若 a (x1,y 1),b(x 2,y 2), 为 a 与 b 的夹角,则 cos .a b|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y24当向量以几何图形的形式出现时 ,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量 (其中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向MN ON OM 量5根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当| ab |a

13、b |时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a b| |a b|等价于向量 a,b 互相垂直,反之也成立6两个向量夹角的范围是0,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例 1】 (2018 年全国卷)已知向量 , 满足 , ,则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】因为 ,所以选 B.【变式探究】 【2017 山东,文 11】已知向量 a=(2,6), b= ,若 a|b,则 .(1)【答案】-3【解析】由

14、 a|b 可得 1623.【变式探究】 【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 (1,)3,2)am, =,且 ()ab+,则 m( )(A) 8 (B)6 (C)6 (D)8【答案】D【解析】向量 ab(4,m2),由 (ab)得 43(m2)(0,解得 m8,故选 D.【举一反三】(2015新课标全国 ,7) 设 D 为ABC 所在平面内一点, 3 ,则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 解析 3 , 3( ), 即 4 3 ,BC CD AC AB AD AC AC AB A

15、D .AD 13AB 43AC 答案 A【变式探究】(2015北京,13)在ABC 中,点 M,N 满足 2 , .若AM MC BN NC x y ,则 x_ ;y _MN AB AC 来源:Z|xx|k.Com解析 ( )MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12AB AC ,12AB 16AC x , y .12 16答案 12 16【变式探究】(1)平面向量 a(1,2),b (4,2),c ma b(mR),且 c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角,则 m( )A2 B1 C 1 D2(2)设向 量 a(3,3 ),b(1,1) 若(ab) (ab ),则实数 _.【命

16、题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识,考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力(2)本题主要考查向量的数量积等知识,意在考查考生对基础知识的理解和运用能力【答案】(1)D (2)3【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合,利用平行四边形、三角形法则求解(2)已知条件中涉及向量的坐标运算,需建立坐标系,用坐标运算公式求解(3)解决平面向量问题要灵活运 用向量平行与垂直的充要条件列方程(4)正确理解并掌握向量的概念及运算;强化“坐标化” 的解题意识;注重数形结合思想、

17、方程思想与转化思想的应用注意:在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算【变式探究】设 D,E 分别是ABC 的边 AB,BC 上的点,AD AB,BE BC.若12 23 1 2 (1, 2 为实数) ,则 1 2 的值为_DE AB AC 【答案】12【解析】如图, ( ) ,则DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC 1 , 2 , 1 2 .16 23 12【规律方法】在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行类比本例中的第(1)题就是把向量 用 , 表D

18、E AB AC 示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等关系式,可求相应的系数题型二、平面向量的数量积 【例 2】 (2018 年天津卷)在如图的平面图形中,已知 ,则 的值为A. B. C. D. 0来源:【答案】C【解析】如图所示,连结 MN,由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点,则 ,由题意可知: , ,结合数量积的运算法则可得:.本题选择 C 选项.【变式探究】【2017 北京,文 12】已知点 P 在圆 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为2=1xy原点,则 的最大值为_AOP【答案】6【解析】 所以最大值是 6.【举一反三】(2015山东,4)已知菱形 ABCD

19、 的边长为 a,ABC 60 ,则 ( )BD CD A a2 B a2 C. a2 D. a232 34 34 32【变式探究】(2015安徽,8)ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足 2a, 2ab,则下列结论正确的是( )AB AC A|b| 1 Bab 来 。 X。 KCab 1 D(4ab) BC 解析 由于ABC 是边长为 2 的等边三角形;( )( )0,即 ( ) 0,AB AC AB AC AB AC CB (4ab) ,即(4ab) ,故选 D.CB BC 答案 D【规律方法】求数量积的最值,一般要先利用向量的线性运算,尽可能将所求向量转化为长度和夹角

20、已知的向量,利用向量的数量积运算建立目标函数,利用函数知识求解最值【变式探究】(2015四川,7)设四边形 ABCD 为平行四边形,| |6 ,| |4,若点AB AD M, N 满足 3 , 2 ,则 ( )BM MC DN NC AM NM A20 B. 15 C9 D6解析 ,AM AB 34AD ,NM CM CN 14AD 13AB (4 3 ) (4 3 )AM NM 14 AB AD 112 AB AD (16 29 2) (166294 2)9,选 C.148 AB AD 148答案 C题型三、平面向量基本定理及其应用例 3 (2018 年浙江卷)已知 a,b,e 是平面向量,

21、e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ,向量 b 满足 b24eb+3=0,则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】设 ,则由 得,由 得因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径 1,为 选 A.【变式探究】 【2017 江苏,16】 已知向量 (cos,in)(3,)0,.xxab(1)若 ab,求 x 的值;(2)记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值.()f()f x【答案】 (1) (2) 时, 取到最大值 3; 时, 取到 最56x0xfx56fx小值 .3【解析】(1 )因为 , ,ab,cos,inax3,b所以 .3若

22、 ,则 ,与 矛盾,故 .cos0xsinx2sico1xcos0x于是 . 3ta又 ,所以 .0,x56x【举一反三】(2015湖南,8)已知点 A,B,C 在圆 x2y 21 上运动,且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0),则| |的最大值为( )PA PB PC A6 B7 C8 D9解析 由 A,B,C 在圆 x2y 21 上,且 ABBC,AC 为圆直径,故 2 (4,0) ,设 B(x,y) ,则 x2y 21 且 x 1 ,1, ( x2,y ),所以PA PC PO PB (x6,y) 故| | , x 1 时有最大值 7,PA PB PC PA PB PC 12x 37

23、 49故选 B.答案 B【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a |b| 1,ab0 ,点 Q 满足 (ab) 曲线 C P| acos bcos ,02,区域OQ 2 OP P|0r| |R,r R若 C 为两段分离的曲线,则 ( )PQ A1r R3 B1r3RC r1R3 D1r3R解析 由已知可设 a(1,0), b(0 ,1),P(x,y),则 ( , ),曲线OA OB OQ 2 2CP| (cos ,sin ),0 2,即 C:x 2y 21,区域 P |0r| |R,rR表示OP PQ 圆 P1:(x )2(y )2r 2 与圆 P2:( x )2( y )2R 2 所形成的圆环,如图所示,2 2 2 2要使 C 为两段分离的曲线,只有 1rR3. 答案 A【举一反三】(2015江苏,6)已知向量 a(2,1) ,b(1, 2),若 manb(9,8)(m,nR),则 mn 的值为_解析 a(2,1) ,b(1, 2),manb(2mn,m2n )(9,8) ,即解得 故 mn2 5 3.2m n 9,m 2n 8, ) m 2,n 5, )答案 3