1、反比例函数聚焦考点温习理解1、反比例函数的概念一般地，函数 （k 是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写xy成 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非1k零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y 0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减
2、小。当 k0)、y 4x3x(x0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。当 k0)、y 3x (x0)、 y 3x (x0，b0 ， ab 23， 332b，ODBAOC，tanOAB 2OBDAC，故答案：A二、填空题8 （ 2017宁波）已知 ABC 的三个顶点为 A ，B ，C ，将ABC 向右平移 m（ ）个单位后， ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数 的图象上，则 m 的值为_. 【分析】依题可得 A（-1，-1） ，B（-1，3） ，C（-3，-3）向右平移 m 个单位得到的点分别为 A（ -1+m，-1） ，B（-1+m ，3 ）
3、 ，C（-3+m ，-3） ；分AB 中点坐标（-1+m,1）在 y= 上.，AC 中点坐标（ m-2,-2）在 y= 上.；BC 中点坐标（ m-2,0）在 y= 上；这三种情况讨论。 【解答】解：依题可得 A（-1，-1 ） ，B（-1，3） ，C（-3，-3 ）向右平移 m 个单位得到的点分别为 A（-1+m，-1） ，B（-1+m ，3 ） ，C（-3+m ，-3）. AB 中点坐标（-1+m,1）在 y=上，1（-1+m）=3. m=4.AC 中点坐标（m-2,-2）在 y= 上.-2（m-2）=3 m=0.5. BC 中点坐标（m-2,0）不可能在 y= 上.故答案：4 或 0.5
4、.9 （ 2017扬州 ）如图，已知点 A 是反比例函数 y= 的图象上的一个动点，连接 OA，若将线段 O A 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 OB，则点 B 所在图象的函数表达式为_【分析】设 A（m，n ） ，过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDx 轴于 D，得到AC=n，OC= m，根据全等三角形的性质得到 AC=OD=n，CO=BD= m，于是得到结论 【解答】解：点 A 是反比例函数 y= 的图象上的一个动点，设 A（m，n） ，过 A 作ACx 轴于 C，过 B 作 BDx 轴于 D， AC=n，OC= m，ACO= ADO=90， AOB=90，CAO+AOC=A
5、OC+BOD=90，CAO=BOD，在ACO 与ODB 中 ，ACOODB，AC=OD=n ，CO=BD= m，B（n， m） ，mn=2 ，n（ m）=2 ，点 B 所在图象的函数表达式为 y= 故答案：y= 10 （2017河南）已知点 A（1，m） ，B（2，n）在反比例函数 y= 的图象上，则 m 与 n的大小关系为_ 【分析】由反比例函数 y= 可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，根据这个判定则可【解答】解：反比例函数 y= 中 k=20， 此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 012 ，A 、B 两点均在
6、第四象限， mn 故答案：mn三、解答题 11 （ 2018襄阳，21，7 分） （本小题满分 7 分）如图，已知双曲线 y1 kx与直线 y2ax b 交于点 A(4，1)和点 B(m，4)（1 ）求双曲线和直线的解析式；（2 ）直接写出线段 AB 的长和 y1y 2 时 x 的取值范围【分析】 （1）先将点 A 的坐标代入 y1 kx求得 k 的值，再在 y1 kx中，令 y14，求得m 的值，最后将 A，B 两点的坐标代入 y2axb，得到关于 a，b 的二元一次方程组，解之获答 （2）构建以 AB 为斜边的直角三角形，运用勾股定理可求 AB 长；写出 y1y 2 时 x的取值范围就是写
7、出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量 x 的取值范围【解答】解：（1）双曲线 y1 kx经过点 A(4 ，1)，k 4 14双曲线的解析式为 y1 4x双曲线 y1 4x经过点 B(m，4)，4m4m1B(1，4) 直线 y2axb 经过点 A(4，1)和点 B(1，4)， ab， 解得 3a， 直线的解析式为 y2x3（2 ）过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，取两线交点为 C，则AC5， BC5，ACB90，所以 AB 2AC 255 y 1y 2 时 x 的取值范围是4x 0 或 x112 （ 2018黄冈）如图，反比例函数 0kyx 过点 A（3,4） ，直
8、线 AC 与 x 轴交于点C（6,0） ，过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图像于点 B（1 ）求 k 的值与 B 点的坐标；（2 ）在平面内有点 D，使得以 A，B，C ，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 D 点的坐标xy BCAO【分析】：（1）求 k 的值可以运用点 A 的坐标，由题意可知 B、C 两点的横坐标相同，易求出 B 点纵坐标；（2）以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，而这四个点中有三个为定点，故需要分类讨论，注意先要确定分类的标准【解答】解：（1）A （3,4）当 x3 时，y4 代入，得 k3 412;由题意可知点 Bxy
9、D1D3D2 BCAO和点 C 的横坐标相同,当 x6 时，y 1262,即 B 点坐标为（6,2）（2 ） 当 AC 为平行四边形的对角线时，点 D 的坐标为（3,2） ；当 BC 为平行四边形的对角线时，点 D 的坐标为（9,2） ；当 AB 为平行四边形的对角线时，点 D 的坐标为（3,6） 13 （ 2018北京）在平面直角坐标系 xOy中，函数 kyx（ 0）的图象 G经过点A（4，1） ，直线 14lyxb 与图象 G交于点 B，与 轴交于点 C（1 ）求 k的值；（2 ）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记图象 在点 A， 之间的部分与线段 OA，OC， B围成的区域（不含边界）为
10、W当 1b时，直接写出区域 内的整点个数；若区域 W内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b的取值范围【分析】一次函数与反比例函数图象与性质综合，临界特殊位置求解,区域内整点个数问题【解答】解：（1）解：点 A（4，1）在 kyx（ 0）的图象上 14k， 4（2 ） 3 个 （ 1，0 ） ， （2， 0） ， （3，0 ） a当直线过（4，0）时： 4b，解得 1bb当直线过（5，0）时： 50，解得 54c当直线过（1，2）时： 124b，解得 7bd当直线过（1，3）时： 3，解得 14综上所述： 514b 或 74b yxOACBy xOACB y xOACBy xOACB14 （
11、2017益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（3，5 ）与（5， 3）是一对“互换点” （1 ）任意一对“ 互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？ （2 ） M、N 是一对 “互换点”，若点 M 的坐标为（m，n） ，求直线 MN 的表达式（用含m、n 的代数式表示） ； （3 ）在抛物线 y=x2+bx+c 的图象上有一对“ 互换点”A、B，其中点 A 在反比例函数 y= 的图象上，直线 AB 经过点 P（ ， ） ，求此抛物线的表达式 【分析】 （1）设这一对“ 互换点”的坐标为（a，b）和（b，a） 当
12、ab=0 时，它们不可能在反比例函数的图象上，当 ab0 时，由 可得 ，于是得到结论；（2）把M（ m， n） ，N（n，m）代入 y=cx+d，即可得到结论；（3）设点 A（p，q） ，则 ，由直线 AB 经过点 P（ ， ） ，得到 p+q=1，得到 q=1 或 q=2，将这一对“ 互换点” 代入 y=x2+bx+c 得，于是得到结论【解答】解：（1）解：不一定， 设这一对“互换点”的坐标为（a ，b）和（b，a） 当 ab=0 时，它们不可能在反比例函数的图象上，当 ab0 时，由 可得 ，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数 （k0）的图象上；（2 ）解：由 M（m ，n ）得 N
13、（n，m） ，设直线 MN 的表达式为 y=cx+d（c0） 则有 解得 ，直线 MN 的表达式为 y=x+m+n；（3 ）解：设点 A（p，q） ，则 ， 直线 AB 经过点 P（ ， ） ，由（2）得 ，p+q=1， ，解并检验得： p=2 或 p=1，q=1 或 q=2，这一对“ 互换点 ”是（2， 1）和（ 1，2 ） ，将这一对“互换点”代入 y=x2+bx+c 得， 解得 ，此抛物线的表达式为 y=x22x1 15 （2018菏泽）如图，已知点 D 在反比例函数 y xa的图象上，过点 D 作 DBy 轴，垂足为 B(0，3)，直线 ykxb 经过点 A(5，0)，与 y 轴交于点
14、 C，且BDOC，OC:OA2:5（1 ）求反比例函数 y xa和一次函数 ykxb 的表达式；（2 ）直接写出关于 x 的不等式 kxb 的解集【分析】 （1）由 A(5，0)，得 OA5，又 OC:OA2:5，可得 OC2，则 BD2于是可求点 D、C 坐标，利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式即可；（2 ）先联立两个解析式构建方程（组） ，确定两函数图象是否有交点，再根据图象或函数的增减性确定不等式的解集【解答】解：OA5，OC:OA2:5 ，OC 5 22 C 点坐标为(0，2) B 点坐标为(0 ，3)，BDOC ，D 点坐标为(2 ，3) 将 D 点坐标( 2 ，3)代入
15、 y xa，得 a6反比例函数表达式为：y 将 A(5，0)，C (0，2)代入 ykxb 得：.2,50bk解得： .2,5a一次函数 ykxb 的表达式为： y 52x2（2 ） x 0解析：当 6 5x2 时，即 x25x150，25 600，故此方程无解，即两函数图象无交点，结合图象可知，当 x0 时，反比例函数值大于一次函数值，即xakxb 16 （ 2018泰州）平面直角坐标系 xOy中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y1= xk(x0)的图像上.点 A与点 A 关于点 O 对称，一次函数 y2=mx+n 的图像经过点 A（1 ）设 a=2，点 B（4，2 ）在函数 y1，
16、y 2 的图像上.x A C D B Oy 分别求函数 y1，y 2 的表达式；直接写出使 y1y 20 成立的 x 的范围；（2 ）如图，设函数 y1，y 2 的图像相交于点 B，点 B 的横坐标为 3a，AAB 的面积为16，求 k 的值；（3 ）设 m= ，如图，过点 A 作 ADx 轴，与函数 y2 的图像相交于点 D，以 AD 为一边向右侧作正方形 ADEF，试说明函数 y2 的图像与线段 EF 的交点 P 一定在函数 y1 的图像上.【分析】 （1）考查了用待定系数法求已知图像上一点的反比例函数的解析式，以及已知图像上两点的一次函数的解析式，列出方程（组）求出待定系数即可；结合两函
17、数图像及 y2 与 x 轴的交点易求；（2）利用反比例函数的 k 的几何意义，将AAB 的面积用 k 的代数式表示出来，就能求出 k；（3）先利用已知的 m 的值和 A的坐标，将 y2 的解析式用只含参数 a 和 k 的式子表示出来，再逐步求出点 P 坐标，代入 y1 的解析式验证可知点 P 在y1 的图像上.【解答】解：（1）由题知 k=42=8，y 1= x8.当 x=a=2 时，y 1= x8=4，A（2,4）.点A与点 A 关于点 O 对称， A（-2,-4） ，由题知 24nm，解得 21nm，y 2=x-2.综上，函数 y1， y2 的表达式分别为： y1= x8(x0)，y 2=
18、x-2.由图知，使 y1y 20 成立的 x 的范围为：2x 4.（2 ）如答图 1，连 OB，作 AMx 轴于点 M，BNx 轴于点 N，由题知 A（a, ak） 、B(3a，ak3)，S AON = 2a k= ，同理 SAON = 2k= SAON ，S 四边形 AONB= S 四边形 AONB，S OAB=S 梯形 AMNB= ( + 3)(3a-a)= 4，由中心对称知 OA=OA，SAA B =2 SOAB= 38k=16，k=6.（3 ）当 m= 21，y 2= x+n.A与 A（a, ak）关于 O 对称，A（-a,- ak） ， 21（-a ）+n=- ak，n= a- ak，y 2= 1x+ a- ,当 x=a 时，y 2= 1x+ a- = a- ,AD= -（a-）= -a.四边形 ADEF 为正方形，DE=AD= k-a，点 E 和点 P 的横坐标都是：a+k2-a= ，当 x= a时，y 2= 1x+ a- ak= 2a,P( k， 21a).当 x= k时，y 1= x= a， 点 P 一定在函数 y1 的图像上.（） （）
