1、241.2 垂直于弦的直径1进一步认识圆是轴对称图形2能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题3认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥” ，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有 1400 多年了，是隋代开皇大业年间(605618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，全长 50.82 米，桥宽约 10 米，跨度 37.4 米，拱高 7.2 米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥你知道主桥拱的
2、圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解如图所示， O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点， CD6cm，则直径 AB 的长是( )A2 cm B3 cm3 2C4 cm D4 cm2 3解析：直径 AB DC， CD6， DP3.连接 OD， P 是 OB 的中点，设 OP 为 x，则 OD为 2x，在 RtDOP 中，根据勾股定理列方程 32 x2(2 x)2，解得 x .OD2 ， AB43 3.故选 D.3方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题【类型二】垂径定理的
3、实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的 )，点 O 是这段弧的圆心， C 是AB 上一点， OC AB，垂足为 D， AB300m， CD50m，则这段弯路的半径是_m.AB 解析：本题考查垂径定理， OCAB， AB300m， AD150m. 设半径为 R，根据勾股定理可列方程 R2( R50) 2150 2，解得 R250.故答案为 250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示， O 的弦 AB、 AC 的夹角为 50， M、 N 分别是 、 的中点，则AB AC MO
4、N 的度数是( )A100 B110C120 D130解析：已知 M、 N 分别是 、 的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得AB AC OM AB、 ON AC，所以 AEO AFO90，而 BAC50，由四边形内角和定理得 MON360 AEO AFO BAC360 9090 50130.故选 D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点 A、 B 是 O 上两点， AB10cm，点 P 是 O 上的动点(与 A、 B 不重合)，连接 AP、 BP，过点 O 分别作 OE AP 于 E， OF PB 于 F，求 EF 的长解析：运用垂径定理先证出 EF 是 ABP 的中位线，然后运
5、用三角形中位线性质把要求的 EF 与 AB 建立关系，从而解决问题解：在 O 中， OE AP， OF PB， AE PE， BF PF， EF 是 ABP 的中位线， EF AB 105cm.12 12方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手【类型三】动点问题如图， O 的直径为 10cm，弦 AB8cm， P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围解析：当点 P 处于弦 AB 的端点时， OP 最长，此时 OP 为半径的长；当 OP AB 时， OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时 OP 的长解：作直径 MN弦 AB，交 AB 于点 D，由垂径定理，得 AD DB AB4cm.又 O 的12直径为 10cm，连接 OA， OA5cm.在 Rt AOD 中，由勾股定理，得OD 3cm.垂线段最短，半径最长， OP 的长度范围是 3 OP5(单位：OA2 AD2cm)方法总结：解题的关键是明确 OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易出错的地方是不能确定最值时的情况三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.
