1、2018 年辽宁省沈阳市郊联体高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A0，1，Bx|（x +1） （x 2）0，xZ ，则 AB（ ）A （0，1） B0，1 C0 ，1 D 1，0，1，22 （5 分）若复数 z1+ i，则 （ ）A B C D3 （5 分）已知向量 ， ，且 ，则 k 的值是（ ）A1 B C D4 （5 分）南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 的值在 3.1415926与 3.1415927 之
2、间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到 7 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的 400 颗豆子中，落在圆内的有 316 颗，则估算圆周率的值为（ ）A3.13 B3.14 C3.15 D3.165 （5 分）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移个单位长度，得到函数 yg（x）的图象，则 yg（x）图象的一条对称轴是直线（ ）A B C D6 （5 分） “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、
3、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干” ，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支” “天干”以“甲”字开始， “地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，癸未，甲申，乙酉，丙戌，癸巳，共得到 60 个组成，周而复始，循环记录，2014 年是“干支纪年法”中的甲午年，那么 2020 年是“干支纪年法”中的（ ）A乙亥年 B戊戌年 C庚子年 D辛丑年第 2 页（共 25 页）7 （5 分）已知数列a n为等比数列，且 ，则 （ ）A B C D8 （5 分）已知某四棱锥的
4、三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A B C D9 （5 分）已知不等式组 表示平面区域的面积为 4，点 P（x，y）在所给的平面区域内，则 z2x +y 的最大值为（ ）A8 B6 C4 D210 （5 分）已知函数 f（x ）x 2ax 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线与直线x+3y+2 0 垂直，执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（ ）A5 B6 C7 D811 （5 分）已知点 P 在双曲线 （a0，b0）上，PFx 轴（其中 F 为双曲线第 3 页（共 25 页）的焦点） ，点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 ，则该双
5、曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 ，xR，若 时，不等式f（cos 22t）+ f（4sin 3）0 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱） ，第 3 月入 25 贯，全年（按12 个月计）共入 510 贯” ，则该人第 12 月营收贯数为 14 （5 分）在二项式 的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项式
6、系数之和为B，且 A+B72，则展开式中常数项的值为 15 （5 分）已知 M 为抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线焦点，过点 M 作准线 l的垂线，垂足为 E若|EO| MF|，点 M 的横坐标为 3，则 p 16 （5 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，ABADCD1， ，BD CD，将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD，使平面 A'BD平面 BCD，则下列结论正确的是 （1）A'CBD；（2）BA' C90；（3）四面体 A'B
7、CD 的体积为 ；（4）四面体 A'BCD 的外接球表面积为 3三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第 4 页（共 25 页）17六安市某棚户区改造，四边形 ABPC 为拟定拆迁的棚户区，测得 ，AC4 千米，AB 2 千米，工程规划用地近似为图中四边形 ABPC 的外接圆内部区域（）求四边形 ABPC 的外接圆半径 R；（）求该棚户区即四边形 ABPC 的面积的最大值18图，已知 ABBC，BE CD，DCB90，平面 BCDE平面ABC，ABBCBE2，CD4，F 为 AD 中点（）证明：EF平面 ACD；（）求直线 CE 与平面
8、 ABD 所成角的余弦值19某单位共有 10 名员工，他们某年的收入如表：员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年薪（万元） 4 4.5 6 5 6.5 7.5 8 8.5 9 51（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取 2 人，此 2 人中年薪收入高于 7 万的人数记为 ，求 的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 4 万元，5.5 万元，6 万元，8.5 万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程 中系数计算公式分别为：第 5 页（共 25 页）， ，其中 为样本均值20已知椭圆 C
9、： 1（ab0）的左、右顶点分别为 A1、A 2，上、下顶点分别为 B2、 B1，O 为坐标原点，四边形 A1B1A2B2 的面积为 4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2 （）求椭圆 C 的方程；（）若 M、N 是椭圆 C 上的两个不同的动点，直线 OM、ON 的斜率之积等于 ，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由21已知函数 ，g（x）alnx（1）设 h（x）f（x）+g（x） ，证明：当 mn0，a 1 时，h（m ）+2 nh（n）+2m；（2）若在1，e上存在一点 x0，使得 成立，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
10、.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1： ，曲线 C2： （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求 C1，C 2 的极坐标方程；（2）若曲线 C3 的极坐标方程为 （ ） ，且曲线 C3 分别交C1，C 2 于点 A，B 两点，求 的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 3|（）若不等式 f（x 1）+f（x）a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围；（）若|a| 1 ，|b|3，且 a0，判断 与 的大小，并说明理由第 6 页（共 25 页）2018 年辽宁省沈阳市郊联体高考数学二模试卷（
11、理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A0，1，Bx|（x +1） （x 2）0，xZ ，则 AB（ ）A （0，1） B0，1 C0 ，1 D 1，0，1，2【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 A0，1，B x|（x+1） （ x2）0，xZ x| 1x 2 ，x Z1，0，1，2，AB0，1故选：C【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题2 （5 分）若复数 z1+ i，则 （ ）A B C D【分析】根据
12、复数的基本运算法则进行化简即可【解答】解：数 z1+ i， ，故选：C【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础3 （5 分）已知向量 ， ，且 ，则 k 的值是（ ）A1 B C D【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解： （2k+2，k+1） ， ，（ ） 3（2k+2）+k+10，解得 k1故选：A【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础第 7 页（共 25 页）题4 （5 分）南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 的值在 3.1415926与 3.1415927 之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到 7
13、位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的 400 颗豆子中，落在圆内的有 316 颗，则估算圆周率的值为（ ）A3.13 B3.14 C3.15 D3.16【分析】根据圆的面积与正方形的面积比，计算圆周率 的值【解答】解：设正方形边长为 2a，则内切圆的半径为 a，由题意得 ，3.16故选：D【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是基础题5 （5 分）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移个单位长度，得到函数 yg（x）的
14、图象，则 yg（x）图象的一条对称轴是直线（ ）A B C D【分析】首先利用正弦函数的图象的伸缩变换和平移变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果【解答】解：将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到：ysin （ 2x+ ）的图象，再向右平移 个单位长度，得到函数：g（x）sin2（x ）+ sin（2x ）的图象，令 2x k （k Z） ，解得：x （k Z） ，第 8 页（共 25 页）当 k0 时，x 故选：B【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用6 （5 分） “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的
15、纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干” ，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支” “天干”以“甲”字开始， “地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，癸未，甲申，乙酉，丙戌，癸巳，共得到 60 个组成，周而复始，循环记录，2014 年是“干支纪年法”中的甲午年，那么 2020 年是“干支纪年法”中的（ ）A乙亥年 B戊戌年 C庚子年 D辛丑年【分析】根据天干地支的纪年方法，经过了 6 年，可以推算出 2020 年是庚子年【解答】解：从 2014 年到 202
16、0 年，总共经过了 6 年，所以天干中的甲变为子，地支中的午变为子，即 2020 年是“干支纪年法”中的庚子年故选：C【点评】本题考查了简单合情推理的应用，属于中档题7 （5 分）已知数列a n为等比数列，且 ，则 （ ）A B C D【分析】根据等比数列的性质和定义求出 a4a6a 3a732，再利用诱导公式求出答案【解答】解：数列a n为等比数列，且 a 33，则 a34，a 78，根据等比数列的性质可得 a78 舍去，a 78，a 4a6a 3a732，第 9 页（共 25 页） tan（ ）tan（10+ ）tan ，故选：B【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公
17、式的应用，属于中档题8 （5 分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A B C D【分析】由由三视图得该几何体的直观图如图，结合四棱锥的侧面积公式进行求解即可【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形 ABCD 的边长 AD ，AB2，高 PO1，AOOB1，则 PAPB ，PDPC ，PH ，则四棱锥的侧面 SS PAB +SPAD +SPCD +SPBC 21+ + 22+3+ ，故选：D【点评】本题主要考查空间几何体的侧面积的计算，根据三视图得到直观图是解决本题的关键属于中档题第 10 页（共 25 页）9 （5 分）已知不等式组 表示平面区
18、域的面积为 4，点 P（x，y）在所给的平面区域内，则 z2x +y 的最大值为（ ）A8 B6 C4 D2【分析】画出满足约束条件的平面区域，利用平面区域的面积求出 a 的值，再分析平面区域里的点，从而求出目标函数的最大值【解答】解：不等式组 表示平面区域如图所示；所以平面区域的面积为 S a2a4，解得 a2，此时 A（2，2） ，B（2，2）由图可知当 z2x+y 过点 A（2，2）时，z2x+y 取最大值 6故选：B【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，解题步骤是由约束条件画出可行域，求出可行域各个角的点，将坐标逐一代入目标函数验证即可10 （5 分）已知函数 f（x
19、）x 2ax 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线与直线x+3y+2 0 垂直，执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（ ）第 11 页（共 25 页）A5 B6 C7 D8【分析】求导数，根据导数的几何意义，结合函数 f（x ）x 2ax 的图象在点A（1，f（1） ）处的切线 l 与直线 x+3y0 垂直，建立方程，即可求出 a 的值，从而可求f（x）解析式，模拟运行程序，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 S 时，满足条件 S ，退出循环，输出 k 的值为 6，从而得解【解答】解：f（x ）x 2ax，f（x）2 xa，根据导数的几何意义，yf （x）的图象在点
20、A（1，f （1） ）处的切线斜率kf（1） 2a，函数 f（x） x2ax 的图象在点 A（1，f （1） ）处的切线 l 与直线 x+3y0 垂直，（2a）（ ）1，a1，f（x）x 2+x，从而模拟程序运行，可得S0，k0，不满足条件 S ，k1，S不满足条件 S ，k2，S ，不满足条件 S ，k3，S ，不满足条件 S ，k4，S ，不满足条件 S ，k5，S ，第 12 页（共 25 页）不满足条件 S ，k6，S满足条件 S ，退出循环，输出 k 的值为 6故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题11 （5 分）已
21、知点 P 在双曲线 （a0，b0）上，PFx 轴（其中 F 为双曲线的焦点） ，点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】由题意可得 P（c ， ） ，分别求出点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离，根据点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 ，可得 c2b，即可求出 a 与 c 的关系，即可求出离心率【解答】解：双曲线 （a0，b0）的两条渐近线的方程为 bxay0，由 PFx 轴（其中 F 为双曲线的焦点） ， 1，y不妨设 P（c， ） ，则点 P 到双曲线的两条渐近线的距离分别为 ， 点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离
22、之比为 ，第 13 页（共 25 页） ，即 ，即 c2b，a c，e ，故选：D【点评】本题考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的渐近线和离心率，属于中档题12 （5 分）已知函数 ，xR，若 时，不等式f（cos 22t）+ f（4sin 3）0 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ）A B C D【分析】先研究函数 f（x ）的单调性，求导既得，由不等式恒成立进行转化，再研究0， 时 cos22t 与 4sin3 取值范围，分离出参数 t，利用三角函数的性质求其范围即得实数 t 的取值范围【解答】解：由于 f（x ）f（x） ，则 f（x）是奇函数，显然函数 f（x） ，xR
23、 是一个减函数，又不等式 f（cos 22t）+ f（4sin 3）0 恒成立，故 f（cos 22t）f（4sin3）f （4sin+3）在 0， 时恒成立，即 cos22t4sin +3 在 0， 时恒成立，即 cos23+4sin2t 在 0， 时恒成立，即 2tsin 2+4sin2 （sin2） 2+2 在 0， 时恒成立0， 时 sin0，1， （sin 2） 2+21，2t1，t ，故选：D第 14 页（共 25 页）【点评】本题考查函数单调性的性质，本题是一个恒成立的问题，通过函数的单调性将其转化为三角不等式恒成立的问题，再分离常数，通过求三角函数的最值得到参数 t 的取值范围
24、本题考查了转化化归的思想，解题的关键是将恒等式进行正确转化，且能根据所得的形式判断应该求出三角形函数的最值以得到参数满足的不等式，求参数，本题思维量较大，难度不小易因为转化时不等价出错二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱） ，第 3 月入 25 贯，全年（按12 个月计）共入 510 贯” ，则该人第 12 月营收贯数为 70 【分析】设每个月的收入为等差数列a n公差为 d由 a325，S 12510可得a1+2d25，12a 1+
25、d510，联立解出即可得出【解答】解：设每个月的收入为等差数列a n公差为 d则 a325，S 12510a 1+2d25，12a 1+ d510，解得 a115，d5，a 1215+11570故选：70【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （5 分）在二项式 的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项式系数之和为B，且 A+B72，则展开式中常数项的值为 9 【分析】由二项展开式的性质可得 A4 n，B2 n，由 A+B4 n+2n72 可得 n3，而展开式的通项为 ，令 可得r，代入可求【解答】解：由二项展开式的性质可得 A4 n，B2 n
26、A+ B4 n+2n72n3第 15 页（共 25 页） 展开式的通项为 令 可得 r1常数项为 T23C 319故答案为：9【点评】本题主要考查了二项展开式的通项在求解二项展开式的指定项中的应用，解题的关键是利用二项式的性质得出 A，B 的值15 （5 分）已知 M 为抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线焦点，过点 M 作准线 l的垂线，垂足为 E若|EO| MF|，点 M 的横坐标为 3，则 p 3 【分析】由题意画出图形，设 M（x 0，y 0） ，由|EO| MF|，可得| EM|EO|，然后在RtEOG 中利用勾股定理列式求解【解答】解：如图，设 M（x 0，y 0） ，由
27、|EO| MF|，可得| EM|EO|，则在 RtEOG 中，有 ， ，即 px 03故答案为：3【点评】本题考查抛物线的简单性质，利用抛物线定义进行转化是关键，是中档题16 （5 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，ABADCD1， ，BD CD，将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD，使平面 A'BD平面 BCD，则下列结论正确的是 （2） （3） （4） 第 16 页（共 25 页）（1）A'CBD；（2）BA' C90；（3）四面体 A'BCD 的体积为 ；（4）四面体 A'BCD 的外接球表面积为 3【分析】根据题
28、意，依次分析命题：对于（1） ，可利用反证法说明真假；对于（2） ，BA'D 为等腰 Rt，CD平面 A'BD，得 BA'平面 A'CD，根据线面垂直可知BAC 90；对于（3） ，利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案；对于（4） ，分析以 BC 为直径的球，求得半径，由球的表面积公式计算可得结论【解答】解：四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD ，BDCD，平面A'BD平面 BCD，则由 AD 与 BD 不垂直，BDCD，故 BD 与平面 ACD 不垂直，则 BD 仅于平面 ACD 与 CD 平行的直线垂直，故（1）不正确；由题设知：
29、BA'D 为等腰 Rt，CD平面 A'BD，得 BA'平面 A'CD，于是（2）正确；VA BCDV CABD 1 11 ，故（3）正确；由 CDBD，A'CA'B，可得以 BC 的中点为球心的球经过 A'，B，C ，D ，且 BC ，可得球半径为 ，则四面体 A'BCD 的外接球表面积为 4 3，故（4）正确故答案为：（2） （3） （4） 【点评】本题考查空间直线的位置关系、线面垂直和面面垂直的判定和性质定理的运用，以及三棱锥体积的求法，棱锥外接球的表面积的求法，考查判断能力和推理能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题
30、，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第 17 页（共 25 页）17六安市某棚户区改造，四边形 ABPC 为拟定拆迁的棚户区，测得 ，AC4 千米，AB 2 千米，工程规划用地近似为图中四边形 ABPC 的外接圆内部区域（）求四边形 ABPC 的外接圆半径 R；（）求该棚户区即四边形 ABPC 的面积的最大值【分析】 （）由已知利用余弦定理得 BC 的值，由正弦定理即可解得 R 的值（）由（）得，BC2 ，由余弦定理，基本不等式可求得：PBPC28，根据三角形的面积公式即可求解【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）由题得：在ABC 中，AC 4，AB2， ，由余弦定理
31、得：BC 2 ，由正弦定理得：2R ，所以 R （）由（）得，BC2 ，由余弦定理得：BC 2PB 2+PC22PBPC cosBPC，即：28+PBPCPB 2+PC22PBPC ，所以 PBPC 28， （当且仅当 PBPC 时等号成立） ，而 S 四边形 ABPCS ABC +SPBC ABACsinBAC+ ，故 S 四边形 ABPC2 + PBPC9 即四边形 ABPC 的面积的最大值为 9 【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18图，已知 ABBC，BE CD，DCB90，平面 BCDE平
32、面第 18 页（共 25 页）ABC，ABBC BE2，CD4，F 为 AD 中点（）证明：EF平面 ACD；（）求直线 CE 与平面 ABD 所成角的余弦值【分析】 （）设 AC 中点为 G，连 FG，BG ，推导出四边形 BEFG 为平行四边形，从而EFBG ，推导出 DCBC，DC平面 ABC从而DCBG，DCEF，ACBG，ACEF，由此能证明 EF平面 ACD（）以点 B 为原点，以 BA 方向为 x 轴，以 BC 方向为 y 轴，以 BE 方向为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CE 与平面 ABD 所成角的余弦值【解答】证明：（）设 AC 中点为 G，连 FG，
33、BG ，F 为 AD 中点， ，又由题意 BECD， ，EBFG，且 EBFG，四边形 BEFG 为平行四边形，EF BG ，DCB90，DCBC ，又平面 BCDE平面 ABC，平面 BCDE平面 ABCBC，DC平面 BCDE，DC平面 ABC又 BG平面 ABC，DC BG，DCEF，又 ABBC， ACBG ，AC EF，ACDCC，AC平面 ACD，DC 平面 ACD，EF平面 ACD解：（）以点 B 为原点，以 BA 方向为 x 轴，以 BC 方向为 y 轴，以 BE 方向为 z 轴，建立如图所示坐标系，B（0，0，0） ，E（0，0，2） ，A（2，0，0） ，C （0，2，0）
34、 ，D（0，2，4） ，（2，0，0） ， （0，2，4） ，第 19 页（共 25 页）设平面 ABD 的法向量 ，则 ， ，取 z1，得 ， ，cos ，设直线 CE 与平面 ABD 所成角为 ，则 ，直线 CE 与平面 ABD 所成角的余弦值 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19某单位共有 10 名员工，他们某年的收入如表：员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年薪（万元） 4 4.5 6 5 6.5 7.5 8 8.5 9 51（1）求该单位员工当年年薪的
35、平均值和中位数；（2）从该单位中任取 2 人，此 2 人中年薪收入高于 7 万的人数记为 ，求 的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 4 万元，5.5 万元，6 万元，8.5 万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程 中系数计算公式分别为：第 20 页（共 25 页）， ，其中 为样本均值【分析】 （1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2） 取值为 0，1，2，求出相应的概率，即可求 的分布列和期望；（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测【解答】解：（1）平均值为 11 万元，中位数为 7 万元（
36、2）年薪高于 7 万的有 5 人，低于或等于 7 万的有 5 人； 取值为 0，1，2.， ， ，所以 的分布列为 0 1 2P数学期望为 （3）设 xi，y i（i1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则 ， ，得线性回归方程：y1.4x +2.5可预测该员工第 5 年的年薪收入为 9.5 万元【点评】本题考查了古典概型的概率计算，求 的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题20已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右顶点分别为 A1、A 2，上、下顶点分别第 21 页（共 25 页）为 B2、B 1，O 为坐标原点，四边形 A1B1A2B2 的面积为 4，且该四边形内切圆的方
37、程为x2+y2 （）求椭圆 C 的方程；（）若 M、N 是椭圆 C 上的两个不同的动点，直线 OM、ON 的斜率之积等于 ，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由【分析】 （）利用四边形 A1B1A2B2 为菱形，求出 ab2，圆心 O 到直线 A2B2 的距离为 ，列出方程，求出 a，b，即可得到椭圆方程（）若直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 的方程为 ykx +m，M（x 1，y 1） ，N（x 2， y2） ，由 得：（1+4k 2）x 2+8mkx+4（m 21）0，利用韦达定理以及判别式，通过直线 OM，ON 的斜率之积等于 ，求出三角形的面积，若直线 MN 的斜率不存在，M
38、，N 关于 x 轴对称，设 M（x 1，y 1） ，N （ x1，y 1） ，求解三角形的面积即可【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）四边形 A1B1A2B2 的面积为 4，又可知四边形 A1B1A2B2 为菱形， ，即 ab2 由题意可得直线 A2B2 方程为： ，即 bx+ayab0，四边形 A1B1A2B2 内切圆方程为 ，圆心 O 到直线 A2B2 的距离为 ，即 （3 分）由解得： a2，b1，椭圆 C 的方程为： （5 分）（）若直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 的方程为 ykx +m，M（x 1，y 1） ，N（x 2， y2） ，由 得：（1+4k 2）x
39、 2+8mkx+4（m 21）0直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N第 22 页（共 25 页）两个不同的点，64m 2k216（1+4 k2） （m 21）0 得：1+4k 2m 20由韦达定理： （7 分）直线 OM，ON 的斜率之积等于 ， ， ，2m 24k 2+1 满足（9 分） ，又 O 到直线 MN 的距离为 ，所以OMN 的面积 （12 分）若直线 MN 的斜率不存在，M，N 关于 x 轴对称设 M（x 1，y 1） ，N（x 1，y 1） ，则 ， ，又M 在椭圆上， ， ，所以OMN 的面积 S 1综上可知，OMN 的面积为定值 1（13 分）【点评】本题考查椭圆方程的求法
40、，直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的求法，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力21已知函数 ，g（x）alnx（1）设 h（x）f（x）+g（x） ，证明：当 mn0，a 1 时，h（m ）+2 nh（n）第 23 页（共 25 页）+2m；（2）若在1，e上存在一点 x0，使得 成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）令 m（x）h（x）2x，可得 m（x）在（0，+）递增，求出导数，令导数大于等于 0，分离参数 a，由二次函数的最值，即可得到 a 的范围；（2）原不等式等价于 x0+ alnx 0 ，整理得 x0alnx 0+ 0，设 m（x ）xalnx+ ，
41、求得它的导数 m'（x） ，然后分 a0、0 ae 1 和 ae1 三种情况加以讨论，分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值，最后综上所述可得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）令 m（x）h（x）2x，可得 m（x）在（0，+）递增，由 m（x）h（x）2x+ 20 恒成立，可得 ax（2x ）的最大值，由 x（2x）（x1） 2+1 可得最大值 1，则 a1，即 a 的取值范围是1，+ ） ；（2）不等式 f（x 0）+ g（x 0）g（x 0）等价于 x0+ alnx 0 ，整理得 x0alnx 0+ 0，设 m（x）xalnx+ ，则由题意可知只需在1，e上存在一点 x0，
42、使得 m（x 0）0对 m（x）求导数，得 m（ x）1 ，因为 x0，所以 x+10，令 x1a0，得 x1+a若 1+a1，即 a0 时，令 m（1）2+a0，解得 a2若 1 1+ae ，即 0ae1 时，m（x ）在 1+a 处取得最小值，令 m（1+a） 1+aaln（1+a）+10，即 1+a+1aln（1+a） ，可得 ln（a+1）考察式子 lnt，因为 1te ，可得左端大于 1，而右端小于 1，所以不等式不能成立当 1+ae，即 ae1 时，m（x ）在1 ，e 上单调递减，只需 m（e）0，得 a第 24 页（共 25 页），又因为 e1 0，则 a ，综上所述，实数 a
43、 的取值范围是（，2）（ ，+） 【点评】着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1： ，曲线 C2： （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求 C1，C 2 的极坐标方程；（2）若曲线 C3 的极坐标方程为 （ ） ，且曲线 C3 分别交C1，C 2 于点 A，B 两点，求 的最大值【分析】 （1）直接对参数方程极坐标方程转化为直角坐标方程（
44、2）直接利用关系式的变换求出结果【解答】解：（1）xcos，ysin ， ；，x 2+（y1） 21，xcos，ysin ，（cos） 2+（sin 1） 21， 22 sin 0，C 2：2sin，（2）曲线 C3 为 ，设 A（ 1，） ，B（ 2，） ，则 ，第 25 页（共 25 页） ，【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 3|（）若不等式 f（x 1）+f（x）a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围；（）若|a| 1 ，|b|3，且 a0，判断 与 的大小，并说明理由【分
45、析】 （）根据绝对值的几何意义求出 f（x 1）+f（ x）的最小值，从而求出 a 的范围；（）根据分析法证明即可【解答】解：（）因为 f（ x1）+f（x）| x4|+|x 3| |x4+3x|1，不等式 f（x1 ）+f（x ）a 的解集为空集，则 1a 即可，所以实数 a 的取值范围是（，1（5 分）（） ，证明：要证 ，只需证|ab3| |b3a|，即证（ab3） 2（b3a） 2，又（ab3） 2（b3a） 2a 2b29a 2b 2+9（a 21） （b 29） 因为|a| 1，|b|3，所以（ab3） 2（b3a） 20，所以原不等式成立（10 分）【点评】本题考查了绝对值的几何意义，考查不等式的大小比较，是一道中档题
