1、第 1 页（共 49 页）人教版九年级下学期26.3 实际问题与二次函数同步练习卷一选择题（共 10 小题）1如图，抛物线 y x+2 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，当ABC 纸片上的点C 沿着此抛物线运动时，则ABC 纸片随之也跟着水平移动，设纸片上 BC 的中点 M 坐标为（m，n） ，在此运动过程中， n 与 m 的关系式是（ ）An （m ） 2 Bn （m ） 2Cn （m ） 2 Dn （ m ） 22抛物线 yx 22x 15，y4x23，交于 A、B 点（A 在 B 的左侧） ，动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E 再到达 x 轴上的某点 F
2、，最后运动到点 B若使点 P 动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）A10 B7 C5 D83汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）关于行驶的时间 t（单位：秒）的函数解析式为s6t 2+bt（b 为常数） 已知 t 时，s6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）A 米 B8 米 C 米 D10 米4超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为 4cm，底面是个直径为 6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长 AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）第 2 页（共 49 页）A （6+3 ） cm B
3、（6+2 ）cm C （6+2 ）cm D （6+3 ）cm5已知某种礼炮的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）的关系是 h +20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为（ ）A6s B5s C4s D3s6加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 pat 2+bt+c（a，b，c是常数） ，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A4.25 分钟 B4.00 分钟 C3.75 分钟 D3.50 分钟7如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为
4、12m 时，桥洞顶部离水面 4m已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线表达式是 y （x6） 2+4则选取点 B 为坐标原点时的抛物线表达式是（ ）Ay （x+6） 2+4 By （x+6） 2+4Cy （x +6） 24 Dy （x+6） 248科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/ 4 2 0 2 4 6 植物每天高度的增长量 y/mm 41 49 49 41 25 1 由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量
5、 y 是温度 x 的二次函数，那么下列三第 3 页（共 49 页）个结论：该植物在 0 时，每天高度的增长量最大；该植物在 6时，每天高度的增长量能保持在 25mm 左右；该植物与大多数植物不同，6以上的环境下高度几乎不增长上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A B C D9从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 y（米）与小球运动的时间 x（秒）之间的关系式为 yax 2+bx+c（a0） 若小球在第 7 秒与第 14 秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（ ）A第 8 秒 B第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒10黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限
6、制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润 y（万元）和月份 n 之间满足函数关系式 yn 2+14n24，则企业停产的月份为（ ）A2 月和 12 月 B2 月至 12 月C1 月 D1 月、2 月和 12 月二填空题（共 8 小题）11某一房间内 A、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从 AB 之间经过时，将触发报警现将 A、B 两点放置于平面直角坐标系 xOy 中（如图）已知点 A，B 的坐标分别为（0，4） ， （5，4） ，小车沿抛物线 yax 22ax3a运动若小车在运动过程中只触发一次报警，则 a 的取值范围是 1
7、2为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 80m 的篱笆围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域 ABCD 的面积最大值是 m 2第 4 页（共 49 页）13某民房发生火灾两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼 A 处透过窗户 E发现乙楼 F 处出现火灾，此时 A，E，F 在同一直线上跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 1.2m 高的 D 处喷出，水流正好经过 E，F若点 B和点 E、点 C 和点 F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移 5m，再向左后退 m，恰好把水喷到 F 处进行灭火14
8、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx（k 为常数）与抛物线 y x22 交于 A，B 两点，且 A 点在 y 轴左侧，P 点的坐标为（0，4） ，连接 PA，PB有以下说法：PO2PAPB；当 k0 时， （PA+AO） （PBBO ）的值随 k 的增大而增大；当 k 时，BP 2BO BA；PAB 面积的最小值为 其中正确的是 （写出所有正确说法的序号）15如图，已知抛物线 P：yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在 x 轴的正半轴上） ，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物
9、线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x 3 2 1 2 y 4 0 （1）求 A、B 、C 三点的坐标；（2）若点 D 的坐标为（m，0） ，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围第 5 页（共 49 页）16连接抛物线 yax 2（a0）上任意四点所组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） 菱形； 有三条边相等的四边形；梯形；平行四边形17有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米设正常水位时桥下的水深为 2 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 米，则水深超过 米时就会影响过往船只在
10、桥下的顺利航行18如图，用长 20m 的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，最大面积是 m2三解答题（共 7 小题）19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2+ x+ ，分别交 x 轴于 A 与 B点，交 y 轴于点 C 点，顶点为 D，连接 AD（1）如图 1，P 是抛物线的对称轴上一点，当 APAD 时，求 P 的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线 AP 上方、对称轴右侧的抛物线上找一点 Q，过 Q 作QHx 轴，交直线 AP 于 H，过 Q 作 QEPH 交对称轴于 E，当QHPE 周长最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使|QMAM| 最大，并求这个最大值及此
11、时 M 点的坐标（3）如图 2，连接 BD，把 DAB 沿 x 轴平移到DAB，在平移过程中把DAB 绕点 A旋转，使D AB 的一边始终过点 D 点，另一边交直线 DB第 6 页（共 49 页）于 R，是否存在这样的 R 点，使DRA为等腰三角形，若存在，求出 BR 的长；若不存在，说明理由20已知抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A（2，3） （1）如图，过点 A 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为 B，C，得到矩形 ABOC，且抛物线经过点 C求抛物线的解析式将抛物线向左平移 m（m 0）个单位，分别交线段 OB，AC 于 D，E 两点若直线DE 刚好平分矩形 ABOC 的面积，
12、求 m 的值（2）将抛物线平移，使点 A 的对应点为 A1（2n，3b） ，其中 n1若平移后的抛物线仍然经过点 A，求平移后的抛物线顶点所能达到最高点时的坐标21抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（5，0） ，与 y 轴交于点C（0，3） 该抛物线与直线 相交于 C，D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M，N （1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结 PC，PD，如图 1，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结 PB
13、，过点 C 作 CQPM ，垂足为点 Q，如图 2，是否存在点 P，使得CNQ第 7 页（共 49 页）与PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由22如图，二次函数 yax 2+bx+c 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，交 y 轴于点 C，抛物线上一点 D 的坐标为（ 4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图 1，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，PEx 轴，PFy 轴，求线段EF 的最大值；（3）如图 2，点 M 是线段 CD 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点N，当CBN 是直角三角形时，请直接
14、写出所有满足条件的点 M 的坐标23在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点，抛物线yax 22ax +c 经过 B、C 两点，与 x 轴的另一个交点为点 A（1）求抛物线的解析式（2）如图，点 D 为线段 OB 上的一个动点，过点 D 作 PDAC，交抛物线于点 P，交直线 BC 于点 E连接 OE，记 ODE 的面积为 S，求 S 的最大值，并求出此时点 D 的坐标；设抛物线的顶点为 Q，连接 BQ 交 PD 于点 N，延长 PD 交 y 轴于点 M，连接AM请直接写出使ADM 与BDN 相似时点 P 的坐标第 8 页（共 49 页）24已知：如图，二次函数
15、 y x2+ x+2 的图象交 x 轴于 A 点和 B 点（A 点在 B 点左则） ，交 y 轴于 E 点，作直线 EB，D 是直线 EB 上方抛物线上的一个动点，过 D 点作直线 l 平行于直线 EBM 是直线 EB 上的任意点，N 是直线 l 上的任意点，连接 MO，NO始终保持MON 为 90，以 MO 和 ON 为边，做矩形 MONC（1）在 D 点移动过程中，求出当 DEB 的面积最大时点 D 的坐标：在DEB 的面积最大时，求矩形 MONC 的面积的最小值；（2）在DEB 的面积最大时，线段 ON 交直线 EB 于点 G，当点 D，N ，G ，B 四个点组成平行四边形时，求此时线段
16、 ON 与抛物线的交点坐标25如图，已知：抛物线 ya（x+1） （x 3）交 x 轴于 A、C 两点，交 y 轴于 B且OB2CO第 9 页（共 49 页）（1）求点 A、B、C 的坐标及二次函数解析式；（2）在直线 AB 上方的抛物线上有动点 E，作 EGx 轴交 x 轴于点 G，交 AB 于点 M，作 EFAB 于点 F若点 M 的横坐标为 m，求线段 EF 的最大值（3）抛物线对称轴上是否存在点 P 使得ABP 为直角三角形，若存在请直接写出点 P的坐标；若不存在请说明理由第 10 页（共 49 页）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1如图，抛物线 y x+2 交 x 轴于点
17、 A，B，交 y 轴于点 C，当ABC 纸片上的点C 沿着此抛物线运动时，则ABC 纸片随之也跟着水平移动，设纸片上 BC 的中点 M 坐标为（m，n） ，在此运动过程中， n 与 m 的关系式是（ ）An （m ） 2 Bn （m ） 2Cn （m ） 2 Dn （ m ） 2【分析】先求出抛物线与 x 轴、y 轴交点 B，C 的坐标，再由中点坐标公式求出 M 点的坐标；把抛物线的表达式配方成顶点式，通过比较点 C 与点 M 的相对位置，利用平移思想即可求出 n 与 m 的关系式【解答】解：抛物线 y x+2 交 x 轴于点 A，B ，交 y 轴于点 C，点 B 的坐标为（4，0） ，点 C
18、 的坐标为（0，2） ，BC 的中点 M 坐标为（ ， ） ，即点 M 坐标为（2，1） y x+2 ，点 C 沿着此抛物线运动，点 M 也随之运动，n 与 m 的关系式为：n （m ） 2 故选：D【点评】本题考查了坐标与图形的变化平移在解题中的应用，解题的基础是求出抛物线与坐标轴的交点，进而求出 BC 中点 M 的坐标2抛物线 yx 22x 15，y4x23，交于 A、B 点（A 在 B 的左侧） ，动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E 再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B若使点 P 动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）第 11 页（共 49 页
19、）A10 B7 C5 D8【分析】首先根据题意求得点 A 与 B 的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点 A 关于抛物线的对称轴 x1 的对称点 A，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，则直线 AB 与直线 x1 的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，而且易得 AB 即是所求的长度【解答】解：如图抛物线 yx 22x 15 与直线 y4x23 交于 A、B 两点，x 22x154x 23，解得：x2 或 x4，当 x2 时，y4x 2315 ，当 x4 时，y4x 237 ，点 A 的坐标为（2，15） ，点 B 的坐标为（4，7） ，抛物线对称轴方程为：x 作点 A 关于抛物线的对
20、称轴 x1 的对称点 A，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB ，则直线 AB 与对称轴（直线 x1）的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，BFBF ，AEAE ，点 P 运动的最短总路径是 AE+EF+FBAE+EF+FBAB，延长 BB，AA相交于 C，AC4，BC7+1522，AB 10 点 P 运动的总路径的长为 10 故选：A【点评】此题考查了二次函数与一次函数和二次函数的综合应用注意找到点 P 运动的第 12 页（共 49 页）最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用3汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）关于行驶的时间 t（单位：秒）的函数解析式为s6t
21、2+bt（b 为常数） 已知 t 时，s6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）A 米 B8 米 C 米 D10 米【分析】根据 t 时，s6 和函数中的解析式，可以求得 b 的值，然后将函数解析式化为顶点式即可解答本题【解答】解：把 t ，s6 代入 s6t 2+bt 得，66 +b ，解得，b15函数解析式为 s6t 2+15t6（t ） 2+ ，当 t 时，s 取得最大值，此时 s ，故选：C【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的顶点式解答4超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为 4cm，底面是个直径为 6cm 的圆，轴截面可以近
22、似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长 AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）A （6+3 ） cm B （6+2 ）cm C （6+2 ）cm D （6+3 ）cm【分析】设：左侧抛物线的方程为：yax 2，点 A 的坐标为（3，4） ，将点 A 坐标代入上式并解得：a ，由题意得：点 MG 是矩形 HFEO 的中线，则点 N 的纵坐标为2，将 y2 代入抛物线表达式，即可求解【解答】解：设左侧抛物线的方程为：yax 2，第 13 页（共 49 页）点 A 的坐标为（3，4） ，将点 A 坐标代入上式并解得：a ，则抛物线的表达式为：y x2，由题
23、意得：点 MG 是矩形 HFEO 的中线，则点 N 的纵坐标为 2，将 y2 代入抛物线表达式得：2 x2，解得：x （负值已舍去） ，则 AD2AH +2x6+3 ，故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解5已知某种礼炮的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）的关系是 h +20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为（ ）A6s B5s C4s D3s【分析】将关系式是 h +20t+1 转化为顶点式就可以直接求出结论【解答】解：h +20t+1 （t 6） 2+61，当 t6 时，h 取得最大值，即礼炮从
24、升空到引爆需要的时间为 6s，故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键6加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 pat 2+bt+c（a，b，c是常数） ，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）第 14 页（共 49 页）A4.25 分钟 B4.00 分钟 C3.75 分钟 D3.50 分钟【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案【解答】解：由题意知
25、，函数 pat 2+bt+c 经过点（3，0.7） ， （4，0.8） ， （5，0.5） ，则 ，解得： ，pat 2+bt+c0.2t 2+1.5t20.2（t3.75） 2+0.8125，最佳加工时间为 3.75 分钟，故选：C【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键7如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线表达式是 y （x6） 2+4则选取点 B 为坐标原点时的抛物线表达式是（ ）Ay
26、 （x+6） 2+4 By （x+6） 2+4Cy （x +6） 24 Dy （x+6） 24【分析】根据题意得出 A 点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可【解答】解：由题意可得出：ya（x+6） 2+4，将（12，0）代入得出，0a（12+6） 2+4，解得：a ，选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是：y （x+6） 2+4故选：B第 15 页（共 49 页）【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键8科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/
27、 4 2 0 2 4 6 植物每天高度的增长量 y/mm 41 49 49 41 25 1 由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量 y 是温度 x 的二次函数，那么下列三个结论：该植物在 0 时，每天高度的增长量最大；该植物在 6时，每天高度的增长量能保持在 25mm 左右；该植物与大多数植物不同，6以上的环境下高度几乎不增长上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A B C D【分析】从表格可得出以下信息：抛物线开口向下，且对称轴为 x1；再由函数对称性知：x6 时，y 25 即可求解【解答】解：从表格可得出以下信息：抛物线开口向下，且对称轴为 x1，函数最大值在 x1 时取得，故错误；
28、由函数对称性知：x6 时，y25，故正确；x6，y1，故 正确；故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用此类表格题目，首先找到函数的对称轴，由函数对称性即可求解9从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 y（米）与小球运动的时间 x（秒）之间的关系式为 yax 2+bx+c（a0） 若小球在第 7 秒与第 14 秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（ ）A第 8 秒 B第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒第 16 页（共 49 页）【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的 y 值越大，即可解答本题【解答】解：由
29、题意可得，当 x 10.5 时，y 取得最大值，二次函数具有对称性，当 t8，10，12，15 时， t 取 10 时，y 取得最大值，故选：B【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答10黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润 y（万元）和月份 n 之间满足函数关系式 yn 2+14n24，则企业停产的月份为（ ）A2 月和 12 月 B2 月至 12 月C1 月 D1 月、2 月和 12 月【分析】根据题意可知停产时，利润为 0 和小于 0 的月份都不合适，从而
30、可以解答本题【解答】解：yn 2+14n24（n2） （n12） ，1n12 且 n 为整数，当 y0 时，n2 或 n12，当 y0 时，n1，故选：D【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答二填空题（共 8 小题）11某一房间内 A、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从 AB 之间经过时，将触发报警现将 A、B 两点放置于平面直角坐标系 xOy 中（如图）已知点 A，B 的坐标分别为（0，4） ， （5，4） ，小车沿抛物线 yax 22ax3a运动若小车在运动过程中只触发一次报警，则 a 的取值范围是 a1 或 a
31、或a 第 17 页（共 49 页）【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与 x 轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（5，4） ，结合二次项系数大小与开口大小及与 x 轴的交点为定点等即可解答【解答】解：抛物线 yax 22ax 3aa（x+1） （x3） ，其对称轴为：x1，且图象与 x 轴交于（1，0） ， （3，0） 抛物线顶点为（1，4a） ，当顶点在线段 AB 上的时，4a4，则 a1；当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得 43a，a ，由对称轴为 x1 及图象与 x 轴交于（1，0） ， （3，0）当小车从 AB 之间经过，可知，当 a 时，抛物线与线段 AB
32、 只有一个交点；当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得 25a10a3a4，a ，同理可知当 a 时，抛物线与线段 AB 只有一个交点故答案为：a1 或 a 或 a 【点评】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与 x 轴交点情况等，难度较大12为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 80m 的篱笆围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域 ABCD 的面积最大值是 300 m 2【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形 AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的 2 倍，可得出 AE2BE，设 B
33、Ea，则有 AE2a，表示出 a 与 2a，进而表示出 y 与 x 的关系式，并求出 x 的范围即可；再利用二次函数的性质求出面积 S 的最大值即可第 18 页（共 49 页）【解答】解：如图，三块矩形区域的面积相等，矩形 AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的 2 倍，AE2BE，设 BCx，BEFCa，则 AEHGDF 2a，DF+ FC+HG+AE+EB+EF+BC80，即 8a+2x80，a x+10，3a x+30，矩形区域 ABCD 的面积 S（ x+30）x x2+30x，a x+100，x40，则 S x2+30x（0x 40 ） ；S x2+30x （x 20） 2+300（
34、0x 40） ，且二次项系数为 0，当 x20 时，S 有最大值，最大值为 300m2故答案为：300【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键13某民房发生火灾两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼 A 处透过窗户 E发现乙楼 F 处出现火灾，此时 A，E，F 在同一直线上跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 1.2m 高的 D 处喷出，水流正好经过 E，F若点 B和点 E、点 C 和点 F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移 5m，再向左后退 5 m，恰好把水喷到 F 处进行灭火第 19 页（共 49 页）【
35、分析】设 AE 的直线解析式为 ykx+b，将点 A 与 E 代入求解析式，能求出 F 点坐标；设过 D，E，F 三点的抛物线为 yax 2+bx+c，求出抛物线 y x2+ x+ ；水流抛物线向上平移 5m，设向左退了 m 米，设平移后的抛物线为 y （x+m）2+ （x+m）+1.2+5，将 F 代入求出 m 即可；【解答】解：由图可知：A（0，21.2） ，B（0，9.2） ，C （0，6.2） ，D（0，1.2） ，点 B 和点 E、点 C 和点 F 的离地高度分别相同，E（20，9.2） ，设 AE 的直线解析式为 ykx+b， ，y x+21.2，A，E，F 在同一直线上F（25，
36、6.2） ，设过 D，E，F 三点的抛物线为 yax 2+bx+c， ，y x2+ x+ ，水流抛物线向上平移 5m，设向左退了 m 米，D（0，6.2） ，设平移后的抛物线为 y （x+m ） 2+ （x+m ）+1.2+5，经过点 F，m5 或 m25（舍） ，第 20 页（共 49 页）向后退了 5 米故答案为 5【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用；熟练利用代入系数法求解函数的表达式，设出平移后的函数表达式是解题的关键14在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx（k 为常数）与抛物线 y x22 交于 A，B 两点，且 A 点在 y 轴左侧，P 点的坐标为
37、（0，4） ，连接 PA，PB有以下说法：PO2PAPB；当 k0 时， （PA+AO） （PBBO ）的值随 k 的增大而增大；当 k 时，BP 2BO BA；PAB 面积的最小值为 其中正确的是 （写出所有正确说法的序号）【分析】首先得到两个基本结论：（）设 A（m，km ） ，B（n ，kn ） ，联立两个解析式，由根与系数关系得到：m+n3 k，mn6；（）直线 PA、PB 关于 y 轴对称利用以上结论，解决本题：（1）说法 错误如答图 1，设点 A 关于 y 轴的对称点为 A，若结论成立，则可以证明POAPBO ，得到AOP PBO而AOP 是PBO 的外角，AOPPBO，由此产生矛
38、盾，故说法错误；（2）说法 错误如答图 2，可求得（PA+AO ） （PBBO ）16 为定值，故错误；（3）说法 正确联立方程组，求得点 A、B 坐标，进而求得 BP、BO、BA，验证等式 BP2BO BA 成立，故正确；（4）说法 正确由根与系数关系得到：S PAB 2 ，当 k0 时，取得最小值为 ，故正确【解答】解：设 A（m，km ） ，B（n，kn ） ，其中 m0，n0联立 y x22 与 ykx 得： x22kx，即 x23kx60，m+ n 3k，mn6设直线 PA 的解析式为 yax+ b，将 P（0，4） ，A（m ， km）代入得：第 21 页（共 49 页），解得 a
39、 ，b4，y（ ）x 4令 y0，得 x ，直线 PA 与 x 轴的交点坐标为（ ，0） 同理可得，直线 PB 的解析式为 y（ ）x 4，直线 PB 与 x 轴交点坐标为（，0） + 0，直线 PA、PB 与 x 轴的交点关于 y 轴对称，即直线 PA、 PB 关于 y 轴对称（1）说法 错误理由如下：如答图 1 所示，PA、PB 关于 y 轴对称，点 A 关于 y 轴的对称点 A落在 PB 上连接 OA，则 OAOA ，POAPOA假设结论：PO 2PA PB 成立，即 PO2PAPB， ，又BPOBPO ，POAPBO ，POAPBO ，AOPPBO而AOP 是PBO 的外角，AOPPB
40、O，矛盾，第 22 页（共 49 页）说法 错误（2）说法 错误理由如下：易知： ，OB OA由对称可知，PO 为APB 的角平分线， ，PB PA（PA+AO） （PB BO）（ PA+AO） PA（ OA） （PA+AO）（PAOA ） （PA 2AO 2） 如答图 2 所示，过点 A 作 ADy 轴于点 D，则 ODkm ，PD4+kmPA 2AO 2（PD 2+AD2）（OD 2+AD2）PD 2OD 2（4+km ） 2（km）28km+16，m+ n 3k，k （m+ n） ，PA 2AO 28 （m+ n）m+16 m2+ mn+16 m2+ （6）+16 m2（PA+AO） （
41、PB BO） （PA 2AO 2） m2 mn （6）16即：（PA+AO） （PB BO）为定值，所以说法 错误（3）说法 正确理由如下：第 23 页（共 49 页）当 k 时，联立方程组： ，得 A（ ，2） ，B（ ，1） ，BP 212，BOBA2612，BP 2BO BA，故说法正确（4）说法 正确理由如下：SPAB S PAO +SPBO OP（m）+ OPn OP（nm）2（nm）22 ，当 k0 时，PAB 面积有最小值，最小值为 故说法 正确综上所述，正确的说法是：故答案为： 【点评】本题是代数几何综合题，难度很大解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB 的对称性是判定说法
42、的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法、的关键依据正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用15如图，已知抛物线 P：yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在 x 轴的正半轴上） ，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x 3 2 1 2 y 4 0 （1）求 A、B 、C 三点的坐标；（2）若点 D 的坐标为（m，0） ，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围第 24 页（共
43、49 页）【分析】 （1）首先从表格中取抛物线 P 上的任意三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后再求抛物线与坐标轴的交点坐标（2）欲求矩形 DEFG 的面积，需求出两条邻边的长，在相似三角形 ADG 和AOC 中，OA、OC 长已知，AD、OD 可由 m 表达出来，利用对应边成比例即可求出 DG 的长；同理，在相似三角形BEF 和BOC 中可求出 BE 的长，那么由 ABBEAD 即可求出DE 的长，长宽即可得到关于 S、m 的函数关系式，而 m 的取值范围可由 G 点的位置（G 在线段 AC 上，即 D 在线段 OA 上，但不与 O、A 重合）得出【解答】解：（1）抛物线 P：
44、yax 2+bx+c（a0） ，任取 x，y 的三组值代入，得：，解得故抛物线 P：y x2+x4；令 y0，得：x 14，x 2 2；令 x0，得：y 4；则 A、B、C 三点的坐标分别是 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，4） （2）DGOC，ADG AOC ， 其中，AO2，OC4，AD2m，故 DG42m ；第 25 页（共 49 页）又 ，EFDG，得 BE42m，DE3m，S 矩形 DEFGDGDE （42m）3m 12m 6m 2（0m2） 【点评】此题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质以及矩形面积的求法；（2）题在确定 m 的取值范围时，
45、一定要考虑到形成矩形的条件，即边不能为 016连接抛物线 yax 2（a0）上任意四点所组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） 菱形； 有三条边相等的四边形；梯形；平行四边形【分析】注意观察选项，和 基本要求满足平行四边形， 和一组非平行四边形，平行四边形性质两边平行且相等，画出图形就知道了【解答】解：抛物线 yax 2（a0）上任意四点组成四边形，由抛物线性质知道若两边平行则不会相等，构成梯形，若两边相等则不可能平行，此图可以看出可以作三边相等的四边形，满足不了为平行四边形的条件【点评】此题考查学生平行四边形的性质和作图能力，难易程度适中17有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米设正常水位时桥下的水深为 2 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 米，则水深超过 2.76 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行【分析】以拱顶为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系根据题中数据求出抛物线解析式桥下水面的宽度不得小于 18 米，即求当 x9 时 y 的值，然后第 26 页（共 49 页）根据正常水位进行解答【解答】解：设抛物线解析式为 yax 2，把点 B（10，4）代入解析式得：4a10 2，解得：a ，
