1、2019 年中考数学最后一轮复习（压轴训练）：四边形综合1如图，矩形 ABCD（ AB AD）中，点 M 是边 DC 上的一点，点 P 是射线 CB 上的动点，连接 AM， AP，且 DAP2 AMD（1）若 APC76，则 DAM ；（2）猜想 APC 与 DAM 的数量关系为 ，并进行证明；（3）如图 1，若点 M 为 DC 的中点，求证：2 AD BP+AP；（4）如图 2，当 AMP APM 时，若 CP15， 时，则线段 MC 的长为 2如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， B90， AD24 cm， AB8 cm， BC26 cm，动点P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以
2、 1cm/s 的速度运动； Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动 P、 Q 分别从点 A、 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动（1）当运动时间为 t 秒时，用含 t 的代数式表示以下线段的长： AP BQ ；（2）当运动时间为多少秒时，四边形 PQCD 为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形 ABQP 为矩形？3在四边形 ABCD 中，点 E 是线段 AC 上一点， BE CD， BEC BAD（1）如图 1 已知 AB AD；找出图中与 DAC 相等的角，并给出证明；求证： AE CD；（2）如图 2，若 BC ED， ， BEC
3、45，求 tan ABE 的值4如图，已知 ABC， ABC90， AB BC， AC4，点 E 为直线 AC 上一点，以 BE 为边，点 B 为直角顶点作等腰直角三角形 BEF（1）如图，当点 E 在线段 AC 上时， EF 交 BC 于点 D，连接 CF；找出一对全等三角形为 ；若四边形 ABFC 的面积为 7，则 AE 的长是 （2）如图，当点 E 在 AC 的延长线上时， BE 交 CF 于点 D CDE 的面积记为 m， BDF 的面积记为 n，探究 m、 n 之间的数量关系并说明理由；当 CDE 的面积为 1 时，求 AE 的长5如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ， O 是 B
4、C 边的中点， P 是正方形内一动点，且OP2，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 90到 DQ，连接 AP， CQ（1）直接写出线段 AP 和 CQ 的关系（2）当 A， O， P 三点共线时，求线段 DP 的长（3）连接 PQ，求线段 PQ 的最小值6如图（1） ，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方 BC 在直线 MN 上， E 是 BC 上一点，以 AE为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1）连接 GD，求证： ADG ABE；（2）连接 FC，观察并直接写出 FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2） ，将图中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，
5、AB6， BC8， E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、 C） ，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时， FCN 的大小是否总保持不变，若 FCN 的大小不变，请求出 tan FCN 的值若 FCN 的大小发生改变，请举例说明7定义：长宽比为 ：1（ n 为正整数）的矩形称为 矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图 a 所示操作 1：将正方形 ABEF 沿过点 A 的直线折叠，使折叠后的点 B 落在对角线 AE 上的点 G处，折痕为 AH操作 2：将 FE 沿过点 G 的直线折叠，使点 F、点
6、 E 分别落在边 AF、 BE 上，折痕为CD则四边形 ABCD 为 矩形（1）证明：四边形 ABCD 为 矩形；（2）点 M 是边 AB 上一动点如图 b， O 是对角线 AC 的中点，若点 N 在边 BC 上， OM ON，连接 MN求 tan OMN 的值；连接 CM，作 BR CM，垂足为 R若 AB ，求 DR 的最小值8如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 的坐标为（8，4） ，动点 D 从点 O 向点 A 以每秒两个单位的速度运动，动点 E 从点 C 向点 O以每秒一个单位的速度运动，设 D、 E 两点同时出发，运动时间
7、为 t 秒，将 ODE 沿 DE翻折得到 FDE（1）若四边形 ODFE 为正方形，求 t 的值；（2）若 t2，试证明 A、 F、 C 三点在同一直线上；（3）是否存在实数 t，使 BDE 的面积最小？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由9已知：Rt EFP 和矩形 ABCD 如图摆放（点 P 与点 B 重合） ，点 F， B（ P） ， C 在同一直线上， AB EF6 cm， BC FP8 cm， EFP90，如图， EFP 从图的位置出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1cm/s， EP 与 AB 交于点 G，与 BD 交于点 K；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向
8、匀速运动，速度为 1cm/s过点 Q 作 QM BD，垂足为 H，交 AD 于点 M，连接 AF， PQ，当点 Q 停止运动时， EFP 也停止运动设运动事件为（ s）（0 t6） ，解答下列问题：（1）当为何值时， PQ BD？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使 S 五边形 AFPQM： S 矩形 ABCD9：8？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（3）在运动过程中，当 t 为 秒时， PQ PE10 （1）问题发现如图 1， ACB 和 DCE 均为等边三角形，点 A、 D、 E 在同一条直线上，连接 BE填空： AEB 的度数为 ；线段 AD、 BE 之间的数量关系为 （
9、2）拓展研究如图 2， ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形， ACB DCE90，点 A、 D、 E 在同一条直线上， CM 为 DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断 AEB 的度数及线段CM、 AE、 BE 之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD 中， CD2 ，若点 P 满足 PD2，且 BPD90，请直接写出点 A 到 BP 的距离11课题学习：矩形折纸中的数学实践操作折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 翻折，使点 B 落在矩形所在平面内， BC 和 AD 相交于点E
10、，如图 1 所示探素发现（1）在图 1 中，请猜想并证明 AE 和 EC 的数量关系；连接 BD，请猜想并 证明BD 和 AC 的位置关系；（2）第 1 小组的同学发现，图 1 中，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折所得到的图形是轴对称图形若沿对称轴 EF 再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图 2 所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；（3）若将图 1 中的矩形变为平行四边形时（ AB BC） ，如图 3 所示， （1）中的结论和结论是否仍然成立，请直接写出你的判断拓展应用（4）在图 3 中，若 B30， AB2，请您直接写出：当 BC 的长度为多少时， ABD恰好为直角三角
11、形12已知矩形 ABCD，作 ABC 的平分线交 AD 边于点 M，作 BMD 的平分线交 CD 边于点 N（1）若 N 为 CD 的中点，如图 1，求证： BM AD+DM；（2）若 N 与 C 点重合，如图 2，求 tan MCD 的值；（3）若 ， AB6，如图 3，求 BC 的长13如图，在 Rt ABC 中， ACB90， AC3， BC4，点 D 为 AB 边上一点，且AD1，点 P 从点 C 出发，沿射线 CA 以每秒 1 个单位长度的速度运动，以 CP、 DP 为邻边作 CPDE设 CPDE 和 ABC 重叠部分图形的面积为 S（平方单位） ，点 P 的运动时间为t（秒） （
12、t0）（1）连结 CD，求 CD 的长；（2）当 CPDE 为菱形时，求 t 的值；（3）求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）将线段 CD 沿直线 CE 翻折得到线段 C D当点 D落在 ABC 的边上时，直接写出 t 的值14如图，在矩形 ABCD 中， AB4， BC5， E 是 BC 边上的一个动点， DF AE，垂足为点F，连结 CF（1）若 AE BC求证： ABE DFA；求四边形 CDFE 的周长；求 tan FCE 的值；（2）探究：当 BE 为何值时， CDF 是等腰三角形15如图，在平面直角坐标系 xOy 中有矩形 OABC， A（4，0） ， C（0，2） ，将矩形
13、OABC 绕原点 O 逆时针旋转得到矩形 OA B C（）如图 1，当点 A首次落在 BC 上时，求旋转角；（）在（）的条件下，求点 B的坐标；（）如图 2，当点 B首次落在 x 轴上时，直接写出此时点 A的坐标16我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形” 如图 1，四边形 ABCD中， A C90，则四边形 ABCD 是“对直角四边形” （1） “对角线相等的对直角四边形是矩形”是 命题；（填“真”或“假” ）（2）如图 2，在对直角四边形 ABCD 中， DAB90， AD+CD AB+BC试说明 ADC 的面积与 ABC 的面积相等；（3）如图 3，在 ABC 中， C90
14、， AC6， BC8，过 AB 的中点 D 作射线 DP AC，交 BC 于点 O， BDP 与 ADP 的角平分线分别交 BC， AC 于点 E、 F图中是“对直角四边形”的是 ；当 OP 的长是 时，四边形 DEPF 为对直角四边形参考答案1解：（1） AD CP， APC76， DAP104， DAP2 AMD， AMD52，又 D90， DAM38，故答案为：38；（2） APC2 DAM，理由如下：四边形 ABCD 是矩形， D90， AD BC，点 P 是射线 BC 上的点， AD CP， DAP+ APC180， DAP2 AMD，2 AMD+ APC180，在 Rt AMD 中
15、， D90， AMD90 DAM，2（90 DAM）+ APC180， APC2 DAM，故答案为： APC2 DAM；（3）如图 1，延长 AM 交 BC 的延长线于点 E，延长 BP 到 F，使 PF AP，连接 AF，四边形 ABCD 是矩形， AD BC， AD BC， ABC90， AD BE， AB BE， DAM E， M 是 DC 中点， DM CM，又12， AMD EMC（ AAS） ， AD CE， BE BC+CE2 AD， APC2 DAM， APC2 E， PA PF， PAF F， APC2 F， E F， AE AF，又 AB BE， BE BF，又 BF BP
16、+PF BP+AP，2 AD BP+AP；（4）如图 2，延长 MD 到点 E，使 DE MD，连接 AE，过点 E 作 EF MA 于点 F，设 AM3 x， AD2 x，则 DM DE x， AE AP3 x， AMD EMF， ADM EFM90， ADM EFM， ，即 ，解得 EF x， AF x， DE MD， AD CE， AME AEM，则 EAF2 AMD， AD BC， DAP2 AMD， APB DAP2 AMD， EAF APB，又 EFA B90， AE AP， EAF APB（ AAS） ， PB AF x，由 AD BC 得 x+152 x，解得 x9， AB 1
17、2 ， MC DC DM AB DM3 ，故答案为：3 2解：（1）由题意知 AP t， BQ263 t，故答案为： t，263 t；（2）由题意可得： PD AD AP24 t， QC3 t， AD BC， PD QC，设当运动时间为 t 秒时 PD QC，此时四边形 PQCD 为平行四边形由 PD QC 得，24 t3 t，解得 t6，当运动时间为 6 秒时，四边形 PQCD 为平行四边形（3） AD BC， AP BQ，设当运动时间为 t 秒时 AP BQ，四边形 ABQP 为平行四边形由 AP BQ 得： t263 t，解得： t ，又 B90平行四边形 ABQP 为矩形当运动时间为
18、秒时，四边形 ABQP 为矩形3解：（1） ABE CAD，理由如下：以 D 为圆心， DC 为半径画圆，交 AC 于 F，连接 DF，则 CD DF， DFC DCF， BE CD， BEC FCD， BEC DFC， AEB AFD， BEC BAE+ ABE， BAD BAE+ DAF， BEC BAD， ABE DAF，在 ABE 和 DAF 中， ABE DAF（ AAS） ， ABE CAD， ABE DAF， AE DF， CD DF， AE CD；（3）过点 D 作 DG CD 交 AC 于点 G， BE CD， DCA BEC45， AEB DGA135， DG DC， AE
19、B DGA， ABE DAG， ABE DAG， ， BC DE， BE CD，四边形 BCDE 为平行四边形， BE CD，过点 A 作 AH 垂直于 BE 交 BE 的延长线于点 H，设 AH EH m，则 AE m， DG CD BE2 m， BH BE+EH2 m+m，tan ABE 4解：（1） ABE CBF理由如下： ABC EBF90， ABE CBF，且 AC BC， EB BF ABE CBF（ SAS）故答案为： ABE CBF如图，过点 B 作 BM AC 于 M， ABC90， AB BC， AC4， BM AC， AM CM BM2 S ABC 424 S 四边形
20、ABFC7 S CBF3 S ABM， 3 AE3故答案为：3（2）4+ m n理由如下： ABE CBF S ABE S CBF， S ABC+S CBD+S CDE S CBD+S BDF，4+ m n CDE 的面积为 1， m+4 n n5 S BDE5，如图，过点 B 作 BG AC， BH FC， ABE CBF AE CF， A BCH45 ACB，且 BG AC， BH FC， BG BH2， ACF90 S BDE5， DFBH5 DF5，设 CE x，则 AE4+ x CF， CD4+ x5 x1 S CDE CDCE11 x（ x1） x2， x1（舍去） AE2+ x6
21、，5解：（1） AP CQ， AP CQ；理由如下：延长 QC、 AP 交于点 E， AP 的延长线交 BC 于 F，如图 1 所示：四边形 ABCD 是正方形， AD CD， ADC BCD90， AD BC，由旋转的性质得： PDQ90， DP DQ， ADP CDQ，在 ADP 和 CDQ 中， ， ADP CDQ（ SAS） ， AP CQ， DAP DCQ， BCD90， DCQ+ ECF90， AD BC， DAP CFE， CFE+ ECF90， CEF90， AE QE， AP CQ；（2）作 DH AP 于 H，如图 2 所示： O 是 BC 边的中点， OB BC ，当 A
22、， O， P 三点共线时，由勾股定理得： AO 5，四边形 ABCD 是正方形， B90， AD BC， DAH BOA，sin DAHsin BOA ，cos DAHcos BOA ， DH ADsin DAH2 4， AH ADcos DAH2 2， PH AO AH OP5221， DP ；（3）连接 OD，如图 3 所示： DQ DP， PDQ90， PQ DP，OD 5， OP+DP OD， DP OD OP523， PQ3 ，线段 PQ 的最小值为 3 6 （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， AB AD， AE AG EF， BAD EAG ADC90，
23、BAE+ EAD DAG+ EAD， ADG90 ABE， BAE DAG，在 ADG 和 ABE 中， ， ADG ABE（ AAS） （2）解： FCN45，理由如下：作 FH MN 于 H，如图 1 所示：则 EHF90 ABE， AEF ABE90， BAE+ AEB90， FEH+ AEB90， FEH BAE，在 EFH 和 ABE 中， ， EFH ABE（ AAS） ， FH BE， EH AB BC， CH BE FH， FHC90， FCN45（3）解：当点 E 由 B 向 C 运动时， FCN 的大小总保持不变，理由如下：作 FH MN 于 H，如图 2 所示：由已知可得
24、 EAG BAD AEF90，结合（1） （2）得： EFH GAD， EFH ABE， EH AD BC8， CH BE， ；在 Rt FEH 中，tan FCN ，当点 E 由 B 向 C 运动时， FCN 的大小总保持不变，tan FCN 7 （1）证明：设正方形 ABEF 的边长为 a， AE 是正方形 ABEF 的对角线， DAG45，由折叠性质可 知 AG AB a， FDC ADC90，则四边形 ABCD 为矩形， ADG 是等腰直角三角形， AD DG ， AB： AD a： ：1，四边形 ABCD 为 矩形；（2）解：作 OP AB， OQ BC，垂足分别为 P， Q，如图
25、b 所示：四边形 ABCD 是矩形， B90，四边形 BQOP 是矩形 POQ90， OP BC， OQ AB ， ， O 为 AC 中点， OP BC， OQ AB， MON90， QON POM，Rt QONRt POM， ，tan OMN ；如图 c 所示：四边形 ABCD 为 矩形， AB ， BC AD1， BR CM，点 R 在以 BC 为直径的圆上，记 BC 的中点为 I， CI BC ， DR 最小 8 （1）解：矩形 OABC 中， B（8，4） ， OA8， OC4，四边形 ODEF 为正方形， OE DF， OE DF， ODE 沿 DE 翻折得到 FDE， OD DF，
26、 OD2 t， OE4 t，2 t4 t， t ；（2）证明：连接 AC，作 OG AC 于 G，如图 1 所示： t2， OE BE2， OD DE4， DE 是 OAC 的中位线， DE AC，且 DE AC， ， DE 垂直平分 OF，由折叠的性质得： DE 垂直平分 OF， G 与 F 点重合，即 A、 C、 F 三点在同一条直线；（3）解：存在，理由如下：如图 2 所示： S BDE S ABC S BCE S ABD S ODE32 t8 4（82 t） 2t（4 t）324 t16+4 t4 t+t2 t24 t+16（ t2） 2+12， t2 时， S BDE有最小值为 12
27、；即存在实数 t，使 BDE 的面积最小， t2 秒9解：（1） PQ BD， ， ，解得 t ，当 t 时， PQ BD（2）假设存在 S 五边形 AFPQM S ABF+S 矩形 ABCD S PQC S MQD （8 t）6+68 （8 t） t （6 t） （6 t） t2 t+ 又 S 五边形 AFPQM： S 矩形 ABCD9：8，（ t2 t+ ）：489：8，整理得： t220 t+360，解得 t2 或 18（舍弃） ， t2 s 时， S 五边形 AFPQM： S 矩形 ABCD9：8（3） PQ PE， QPE90， EFP C90， EPF+ QPC90， QPC+ P
28、QC90， EPF PQC， EPF PQC， ， ，解得 t ，当 t 时， PQ PE故答案为 10解：问题发现（1） ACB 和 DCE 均为等边三角形， AC BC， DC CE， ACB DCE CDE60 CED点 A、 D、 E 在同一条直线上， ADC120 ACB DCB DCE DCB ACD BCE，且 AC BC， DC CE ACD BCE（ SAS） ADC CEB120 ABE CEB CED60 ACD BCE AD BE故答案为：60， AD BE（2）拓展研究：猜想： AEB 90， AE BE+2CM理由：如图 2， ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形
29、， CA CB， CD CE， ACB DCE90 ACD BCE且 AC BC， CD CE ACD BCE（ SAS） AD BE， ADC BEC DCE 为等腰直角三角形， CDE CED45点 A， D， E 在同一直线上， ADC135 BEC135 AEB BEC CED90 CD CE， CM DE， DM ME DCE90， DM ME CM AE AD+DE BE+2CM解决问题：（3）点 P 满足 PD2，点 P 在以 D 为圆心，2 为半径的圆上， BPD90，点 P 在以 BD 为直径的圆上，如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP，过点 A
30、作 AH BP， CD2 BC， BCD90 BD4， BPD90 BP 2 BPD90 BAD点 A，点 B，点 D，点 P 四点共圆 APB ADB45，且 AH BP HAP APH45 AH HP在 Rt AHB 中， AB2 AH2+BH2，8 AH2+（2 AH）2， AH +1（不合题意） ，或 AH 1若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH +1综上所述：点 A 到 BP 的距离为： +1 或 111解：（1）如图 1 中，结论： EA EC理由：四边形 ABCD 是矩形， AD BC， EAC ACB，由翻折可知： ACB ACE， EAC ECA， EA EC连接 DB
31、结论： DB AC EA EC， EAC ECA， AD BC CB， ED EB， EB D EDB， AEC DEB， EB D EAC， DB AC（2）如图 2 中，当 AB： AD1：1 时，四边形 ABCD 是正方形， BAC CAD EAB45， AE AE， B AFE90， AEB AEF（ AAS） ， AB AF，此时四边形 AFEB是轴对称图形，符合题意当 AD： AB 时，也符合题意，此时 DAC30， AC2 CD， AF FC CD AB AB，此时四边形 AFEB是轴对称图形，符合题意（3）如图 3 中，当四边形 ABCD 是平行四边形时，仍然有 EA EC，
32、DB AC理由：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， EAC ACB，由翻折可知： ACB ACE， EAC ECA， EA EC EA EC， EAC ECA， AD BC CB， ED EB， EB D EDB， AEC DEB， EB D EAC， DB AC（4）如图 31 中，当 AB C90时，易证 BAC90，BC 如图 32 中，当 ADB90时，易证 ACB90， BC ABcos30 如图 33 中，当 DAB90时，易证 B ACB30， BC2 ABcos302如图 34 中，当 DAB90时，易证： B CAB30， BC ，综上所述，满足条件的 BC 的长
33、为 或 或 2 或12 （1）证明：如图 1，延长 MN、 BC 交于点 E，四边形 ABCD 是矩形， AD BC， AD BC， ABC90， D NCE， DMN NEC， N 是 DC 的中点， DN CN， DNM CNE（ AAS） ， DM CE， BM 平分 ABC， ABC90， ABM MBE45， A D BC， AMB EBM45， BMD18045135， MN 平分 BMD， BMN DMN67.5， E DMN67.5， BMN E67.5， BM BE BC+CE AD+DM；（2）解：如图 2，当 N 与 C 重合时，由（1）知： BMC DMN BCM， BC BM，设 AB x，则 BM BC x， AD BC， DM x x，Rt DMC 中，tan MCD 1；（3）解：如图 3，延长 MN、 BC 交于点 G，四边形 ABCD 是矩形， CD AB6，
