1、二次函数纯代数问题1.在平面直角坐标系中，二次函数 54)2(21 kxkxy0（）求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点坐标；（）若函数 经过 图象的顶点，求函数 的表达式；32kxy1y1y（）当 时，二次函数的最小值是 ，求 的值k（1）证明： ，acb42)54()2(2kk函数图象与 轴没有交点，x当 时， = ，x521ky1)(2故函数与坐标轴仅有一个交点；（2）解： ，)21kxy函数 的顶点坐标为（ ，） ，k代入函数 得（ ） ，32kxy解得 或 ，3 或 ；25)1(21xxy 325)1(21xxy（3）解：当对称轴 时， ，abkk当 时，取最小值 ，x即 ，化简
2、得 ，254)21kk 02k解得 （舍去）或 ；当对称轴 时， ，kk当 时，最小值恒为 ，故无解；xk当对称轴 时， ，k当 时，取最小值 ，x即 ，化简得 ，254)269kk 02k解得 （舍去）或 综上所述， 的值为 或 k2.已知二次函数 （ ） ，其中 .)(21xay0a21x（1）若 ， ， ，求二次函数顶点坐标；1ax42（2）若 ，当 时， ， 时， ，且 （ 为20y3x0ynxm2相邻整数） ，求 的值；nm（3）在（2）的条件下，已知点 ， 均在抛物线上，试比较1,ypP2,yQ与 的大小.1y解：（1）当 ， ， 时，1ax42= = ，)4(xy529二次函数的
3、顶点坐标为 ；42（2） ，112)(xaxay若 ，此时二次函数对称轴为直线 =2，421x axx2)(1 时， ， 时， ，0y3x0y ，012921ax当 时，则 ，0321x即 ；21x当 时，则 （舍去） ，0a3021x又 ，421x ，解得 或 ，)0102x432x ， ，21x32 且 为相邻整数，nm ， ， =7；4n（3）点 ， 均在抛物线上， ，1,ypP2,yQ2124xaxy当 时， = ，21y)(12xa1241(ppa解得 ，当 时，解得 ，21y23p当 时，解得 ，故当 时， ；当 时， ；当 时， .23p21y21y3p21y3.二次函数 .3)
4、(2mxxmy（1）求该二次函数的对称轴；（2）过动点 作直线 轴，当直线 与抛物线只有一个公共点时，nC,0(lyl求 关于 的函数表达式；nm（3）若对于每一个给定的 值，它所对应的函数值都不大于 6，求整数 .x m解：（1）二次函数的对称轴为直线 =1；)1(2m（2）依题意得直线 的解析式为 ，lny由 ，nymxxm3)1(2)(得 ，0)()12 n直线 与抛物线只有一个公共点，l = =0，acb42m3142 ，01nm ， ；2n（3）抛物线 的顶点坐标为 ，3)1(2mxxmy 21m由题意得： ，解得： ，6201整数 .4.关于 的二次函数 （ 为常数）和一次函数 .
5、x 2)1(21xkxyk 2xy（1）若 =2，求函数 的顶点坐标；k（2）若函数 的图象不经过第一象限，求 的取值范围；1y k（3）已知函数 的图象与 轴的两个交点间的距离等于 3，若 ，试求1yx 21y的取值范围.x解：（1）当 =2 时， = ，k2321xy825)43(函数 的顶点坐标为 ；1y85,4（2） ，)1(21kxk该抛物线与 轴的交点坐标为 、 ，与 轴的交点坐标为 ，0,2,1ky2,0而函数 的图象不经过第一象限，1y点 必不在 轴的正半轴上，0,kx 0，即 0；1（3）函数 的图象与 轴的两个交点间的距离等于 3，1yx ， ，解得 =1， = ；21k3
6、2k1k251当 =1 时， ，)(1xy ，21y ，即 ，)(xx 0)2(x解得 或 ；当 = 时， ，k51)5(1xy ，21y ，即 ，)(x2 0)1(x解得 ，0综上可得：当 =1 时，若 ， 的取值范围为 或 ；k21yx2x当 = 时，若 ， 的取值范围为 .k5121yx105.在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过（m ，b） ，cbxay20（m，a）两点（1）若 ， ，求抛物线的解析式；c（）若 ，求 的取值范围；bam（）当 ， 时，二次函数 有最大值 ，求 cbxay2的最大值.a解：（1）当 ， 时，函数解析式为 ，过点（1， ） ，mc 2xyb（2， ）
7、，代入得 ，解得 ，ab1241b抛物线的解析式为 ；2xy（2）依题意得 ，acmba)1()(2由-得： .b ， ， ，0a ；1m（3）由（2）得： .代入得： ，ambbcam2 ，abc ， ， .001二次函数 有最大值 ，cbxy2 ，42abc ，即 ，m82428a ， ，0103 ，a 的最大值为 .386.已知二次函数 的图象与 y 轴交于点 B.232bxay（1） 若二次函数的图象经过点 A（1,1）.二次函数图象的对称轴为直线 ,求此二次函数的解析式；1x对于任意的正数 a，当 xn 时，y 随 x 的增大而增大，请求出 n 的取值范围；（2）若二次函数图象的对称
8、轴为直线 ,直线 与直线 l 关于直1x2xy线 对称，且二次函数的图象在-5x-4 这一段时位于直线 l 的上方，1在 1x2 这一段时位于直线 的下方，求此二次函数的解析式.2xy解:(1)由题意得 ，123ab解得 ，52ba二次函数的解析式为 ；2352xy二次函数的图象经过点 A（1,1） ， ，123ba ,5对称轴为直线 ，21452aabxa0, 045 ,21abx当 xn 时， y 随 x 的增大而增大，1,2;ban(2)由直线 可知：直线 与直线 的交点为(-1,-4),与 xxy2xy1x轴的交点为（1,0）,直线 与直线 关于直线 对称，2xyl1x直线 l 与 x
9、 轴的交点为(-3,0), 设直线 l 的解析式为 y=kx+d,直线 l 过点（-1，-4） ， （-3,0） ，代入解析式得 4,03kd解得=2,6kd直线 l 的解析式为 .62xy二次函数 的图象的对称轴为直线 ,且直线 与23axb1x2xy关于直线 对称，62xy1如解图，当 1x2 时，函数 的图象在直线 的下方，23yaxb2xy第 6 题解图当-4x -3 时，函数 的图象在直线 l： 的下方；23yaxb62xy又当-5x-4 时，函数 的图象在直线 l 的上方，当 时， ，42642y即（-4,2）为函数 与 的图象的交点，3axb6xy 解得31642,2ab716,
10、8b此二次函数的解析式为 .27316yx7.已知二次函数 y= (b,c 为常数).2x（1）当 b=1，c=-3 时，求二次函数在-2 x2 上的最小值；（2）当 c=3 时，求二次函数在 0x 4 上的最小值；（3）当 c=4 时，若在自变量 x 的值满足 2bx 2b+3 的情况下，与其对2应的函数值 y 的最小值为 21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当 b=1， c=-3 时，二次函数解析式为 ，223(1)4yxxx=-1 在-2 x2 的范围内，当 x=-1 时，函数取得最小值，即二次函数在-2x2 上的最小值为-4；(2)当 c=3 时，二次函数为 y= = ，其对称轴为
11、直23xb2()3xb线 x=-b,若-b0，即 b0，当 x=0 时，y 有最小值，最小值为 3；若 0-b4，即-4b0，当 x=-b 时，y 有最小值，最小值为 23b；若-b4,即 b-4，当 x=4 时，y 有最小值，最小值为 8b+19;(3)当 c= 时，二次函数的解析式为 y= ，它是开口向上，对24 224xb称轴为直线 x=-b 的抛物线，若-b2b,即 b0 时，在自变量 x 的值满足 2bx 2b+3 的情况下，其对应的函数值 y 随 x 增大而增大 ,当 x=2b 时， y= 241b为最小值，2()12b 2=21，解得 或 (舍)，72b二次函数解析式为 y= ;
12、7x若 2b-b2b+3,即-1b0,当 x=-b 时，代入 y= ，得 y 的最小值为 ，224xb23b 23=21，b= (舍)或 b=- (舍)，77若-b2b+3 时,即 b-1，x=2b+3 时，代入二次函数解析式 y=中，24x得 y 的最小值为 ，2189 2189b=21，b=-2 或 b= (舍)，二次函数解析式为 y= .2416x综上所述，二次函数的解析式为 y= 或 y= .27x2416x8.已知抛物线 经过点 A(3，0)nmxy2(1)当 1 时，求该抛物线的解析式和顶点坐标；n(2)当 B 点坐标为(0，3)时，若抛物线 图象的顶点在直线nmxy2AB 上，求
13、 ， 的值；m(3)设 2，当3 0 时，求抛物线 的最小值；x xy2解：(1)将点 A(3，0)代入 中，nmxy2解得 93 0，mn又 1， ，解得 ，9n32n抛物线的解析式为 ，2xy ，32xy41该抛物线的顶点坐标为(1，4)；(2)二次函数 图象的顶点坐标为( ， )，nmxy2 2m42n设直线 AB 的解析式为 ，将 A( 3，0)，B(0，3)代入得bky，解得 ，30bk31b直线 AB 的解析式为 ，xy抛物线的顶点在直线 AB 上，代入得 = -3，42mn又二次函数 的图象经过点 A(3，0)，nxy293 0，n联立方程组得，03924nm解得 或 ；96(3
14、)二次函数 的图象经过点 A(3，0)，nmxy293 0，mn当 2 时，解得 15，二次函数的解析式为 ，152xy对称轴 1 在3 0 的右侧，且二次函数的图象开口向上，x 0 时， 取最小值，最小值是15. y当3 0 时，二次函数 的最小值为x nmxy215. 9.在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 ，则xOy),yxPQyx,称点 为点 的“关联点”.QP（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；（2）如果点 在函数 的图象上，其“关联点” 与点 重合，求点1xy QP的坐标；P（3）如果点 的“关联点” 在函数 的图象上，当 时，),nmM N2xy20m求线
15、段 的最大值.N解：（1） （2,0） ；（2）点 在函数 的图象上，),yxP1x ，则点 的坐标为 ，1,Q,点 与点 重合， ，解得 ，x2x点 的坐标为 ；P1,（3）点 ，点 （ ， ）.)nmMNmn依题意得： = .2当 时， ， ，2mn ， （ ， ）.),MN2m ，20 = = = ，NMy22当 =2 时， 有最大值 2；m当 时， ，nm ，2 ， （ ， ）.),MN2 ，20m = = = = ，NNMy22m12m（）当 时， = ，1当 时， 有最大值 .48（）当 时， = ，2mNm2当 时， 有最大值 6.M综上所述:当 时，线段 的最大值为 6.20M
16、10.在平面直角坐标系 中，已知点 A 在抛物线 （ ）上，xOy cbxy20且 A（ 1，-1）.（1）若 ，求 的值；4cbcb,（2）若该抛物线与 轴交于点 B，其对称轴与 轴交于点 C，则命题“对yx于任意的一个 （0 1） ，都存在 ，使得 OC= OB.”是否正确？若kbk正确，请证明；若不正确，请举反例；（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，-1） ，点 A 的对应点A1为（ ）.当 时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高12,bm23点的坐标.解：（1）把（1，-1）代入 ，可得 ，cbxy2 2cb ，可得 ， ，4cb1b3c即 b 的值为 1，c 的值为 -3
17、；（2）由 ，得 ，2b对于抛物线 ，cxy当 时， ，0x抛物线的对称轴为直线 ，2bx ， ，)2,(bB)0,(C ，OC= ， ,0 bOB当 时，由 ，得 = ，43k43243此时 0，不符合题意，6b命题“对于任意的一个 k（0 1） ，都存在 ，使得 OC= OB”不bk正确；（3）由平移前的抛物线 ，可得cbxy2，cbxy4)2(即 ，2)(平移后 A（1，-1）的对应点为 A1（ ） ，12,bm抛物线向左平移 个单位长度，向上平移 2 个单位长度，则平移后的抛m物线解析式为 ，bbxy24)2(即 ，bmbxy24)2(把（1，-1）代入，得 ，124)1(2bm， ，4)2(2bmb 22)()( ，)1(1当 时， （不合题意，舍去） ；22当 时， ，)(bmb ， ，3 ，20b平移后的抛物线解析式为 ，bbxy24)(2顶点坐标为（ ， ） ，2b42设 = ,即 ，p41)(2bp 0，1当 时， 随 的增大而增大，2bpb ，3当 时， 取得最大值，最大值为 ，2bp167此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（ ， ）.43167
