1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（四）17（12 分）已知等比数列 na的前 项和为 nS，且 6328， 39a（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足 213nb，求数列 nab的前 项和 nT【 答 案 】 （1）依题意知 1q，故63633128Sq，2 分故 3q， 3 分因为 319a，所以 1a， 5 分故 *nN 6 分（2）因为 213nab，所以 231nbn， 8分所以 131123nnTn， 10 分所以 21n 12 分18（12 分）2016 年 5 月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少?”这个问题，在
2、某地铁站口随机对 50 人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中 35 岁以下的人数与统计结果如下：（1）根据频率分布直方图，求 a的值，并估计众数，说明此众数的实际意义；（2）在 50 名被调查者中，从能接受的最高票价落在 8,10和 ,2的被调查者中，各随机选取 3 人进行追踪调查，记选中的 6 人中 35 岁以上（含 35 岁）的人数为 X，求随机变量 X的分布列及数学期望【 答 案 】 （1）由题意得： 0.420.2.0.421a， 1 分解得 0.6a 2 分由频率分布直方图估计众数为 7， 3 分说明在被调查的 50 人中，能接受最高票价为 7 元的人数比能接受最高票价为
3、其他值的人数多 4 分（2）由题意知，50 名被调查者中，选择最高票价在 8,10的人数为 .0625人 5 分 选择最高票价在 ,2的人数为 .4人 6 分故 X的可能取值为 0，1，2， 7 分23564C8P， 8 分213215536464CX， 9 分 21215364C8PX， 10 分X0 1 2P8311 分13502884EX 12 分19（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD是直角梯形，ABD， C ， 底面 ， 24， 2Pa，E是 P的中点（1）求证： AC平面 PB；（2）若二面角 E的余弦值为 63，求直线 PA与平面 EC所成角的正弦值【 答
4、案 】 （1）因为 PC平面 ABD， C平面 BD，所以 A 1 分因为 4B， 2D，所以 C 2 分所以 22A，所以 ACB，3 分又 BCPI，所以 A平面 ， 4 分（2）如图，以点 C为原点， DA， C， P分别为 x轴， y轴， z轴正方向，建立空间直角坐标系，则 0,， 2,0A， ,20B设 ,Pa，则 1,E， 6 分2,0CAur， ,2Paur， 1,CEaur， 7 分取 1,m， 则 0APurr， mu为面 PA的法向量设 ,nxyz为面 EC的法向量，则 0nCErur，即 0az，取 xa， y， 2z，则 ,2nar， 8 分依题意 26cos, 3mn
5、aurr，则 9 分于是 2,nr， ,4PAr 10 分设直线 PA与平面 EC所成角为 ，则 2sinco,3PAnurr 12 分20（12 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A， B的坐标分别为 2,0，2,0直线 AP， B相交于点 P，且它们的斜率之积是 14记点 P的轨迹为（1）求 的方程（2）已知直线 AP， B分别交直线 :4lx于点 M， N，轨迹 在点 P处的切线与线段 MN交于点 Q，求 N的值【 答 案 】 （1）设点 P坐标为 ,xy，则直线 A的斜率 2APk，直线 B的斜率 BPyx， 2 分由已知有 1224yx， 3 分化简得点 P的轨迹 的方程为 2
6、12xyx 4 分（2）设 1,xy，则214直线 AP的方程为 12x，令 ，得点 M纵坐标为 162Myx5 分直线 BP的方程为 12yx，令 4，得点 N纵坐标为 12Nyx6 分设在点 P处的切线方程为 11ykx，由 124ykx得 221148440yykx 7 分由 0，得 2 2221 164640kyxkyx，整理得 22211y将22114x， 21y代入上式并整理得：210xyk，解得 1ky， 8 分所以切线方程为 14xy令 4x得，点 Q纵坐标为 221 11114Qxxyxy y9 分设 MNur，则 QMNQ，所以 11162xyxy所以 22111162xy
7、xyy 10分将22114xy代入上式，得 1122xx，解得 ，即 MQN 12 分21（12 分）已知 aR，函数 1exfa在点 ,1a处与 x轴相切（1）求 的值，并求 fx的单调区间；（2）当 x时， 1lnfm，求实数 m的取值范围【 答 案 】 （1）函数 exfa在点 ,a处与 x轴相切exfa， 1 分依题意， 10f解得 ， 2 分所以 exf 3 分当 1x时， 0f；当 1x时， 0fx故 f的单调递减区间为 ,，单调递增区间为 1, 4 分（2）令 1lngxfmx， 0x则 1elx， 5 分令 hxg，则 12exhmx， 6 分（）若 12m ，因为当 x时， 1ex， 21x，所以 0hx，所以 h即 g在 ,上单调递增又因为 10，所以当 1x时， 0gx，从而 gx在 ,上单调递增，而 10，所以 0gx，即 1lnfxmx成立 8 分（）若 2m，可得 hx在 0,上单调递增因为 12， 1ln20hm，所以存在 1,lx，使得 1x，且当 1,时， 0hx，所以 h即 g在 1,x上单调递减，又因为 g，所以当 1,时， 0，从而 x在 1,上单调递减， 10 分而 0g，所以当 1,x时， 0gx，即 1lnfxmx不成立综上所述， k的取值范围是 ,2 12 分
