1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（六）17已知 nS是正项数列 na的前 项和， 2a， 211nnSaN（1）证明：数列 n是等差数列；（2）当 时， 2nabN，求数列 nb的前 项和 nT【答案】 （1）详见解析；（2）12nT【解析】 （1）当 2n 时，有211nnSa， 2112nnnaa， 1112nnnaaa，又 0n， 1n，当 1时，有221Sa， 12a， 21，数列 n是以 1a为首项， 2d为公差的等差数列（2）由（1）及 2，得 n， nb，则 123*n nT， 2311*2nnT ，123111* 222nn n nT，1122nnnT18在
2、某公司的职工食堂中，食堂每天以 3 元/个的价格从面包店购进面包，然后以 5 元/个的价格出售如果当天卖不完，剩下的面包以 1 元/ 个的价格卖给饲料加工厂根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示食堂某天购进了 90 个面包，以 x（个） （其中 60x ）表示面包的需求量， T（元）表示利润（1）根据直方图计算需求量的中位数；（2）估计利润 T不少于 100 元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求 的数学期望【答案】 （1）85 个；（2）0.75；（3）142【解析】 （1）需求量的中位数 80952（个） （其
3、它解法也给分） （2）由题意，当 60x 时，利润 19034180Txx，当 901x 时，利润 5903180T，即 4860xT 设利润 不少于 100 元为事件 A，利润 T不少于 100 元时，即 4180x ， 70x ，即 10x ，由直方图可知，当 701x 时，所求概率： .256.5PA（3）由题意，由于 465180， 471802， 48106，故利润 T的取值可为：80，120，160，180，且 80.25P，1， 160.2PT， 180.4PT，故得分布列为：利润的数学期望： 80.2510.6.2018.4201837214ET19如图，在三棱锥 PABC中，
4、 B， AC， D、 E分别为线段 AB、 上的点，且 3D， 3E， P， BC（1）求证： CD平面 PAB；（2）若 PA与平面 所成的角为 4，求平面 PAC与平面 DE所成锐二面角的余弦值【答案】 （1）详见解析；（2） 25【解析】 （1）证明：连接 DE，据题知 3A， 1DB， 32CE， 1B，在 ABC 中， 3B， C， ，且 4A，22 21DED， 2EB，即 DBC，又 PBC， E， BC平面 P， P，又 A， ， 平面 A， AB，在 ED 中， 2，22233DE，则 2231ACAC， ， ， P， ， 平面 PAB（2）由（1）知 D， ， B两两互相垂
5、直，建立如图所示的直角坐标系xyz，且 PA与平面 BC所成的角为 4，有 3PD，则 0,3， ,0， ,10， ,， ,1CB， 3,AC， 3,0PC，又由（1）知 DE， B， 平面 DEP， 3,10为平面 的一个法向量，设平面 PAC的法向量为 ,nxyz，则 0nACP， 30xyz，令 3x，则 1， z， ,1n为平面 PAC的一个法向量， 3125cos,nB，故平面 PAC与平面 DE的锐二面角的大小为 25arcos20已知椭圆 2:10xyab的左，右焦点分别为 1F， 2过原点O的直线 l与椭圆交于 M， N两点，点 P是椭圆 C上的点，若 14PMNk，10FN，
6、且 1F 的周长为 423（1）求椭圆 C的方程；（2）设椭圆在点 P处的切线记为直线 l，点 1F、 2、 O在 l上的射影分别为A、 B、 D，过 作 l的垂线交 x轴于点 Q，试问 ABDP是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【答案】 （1）214xy；（2）1【解析】 （1）设 ,Mmn，则 ,Nn，21mnab，设 0,Pxy，由 0PMykx， 0PNykx，2000*PMNynkxx，将2200bya，22bnma代入 *，整体消元得：214PMNk， 2 ，由 10F，且 ON， 12FMNc，由椭圆的对称性知 12 ，有 12FNM，则 112243FNFca ，
7、 abc ，综合可得： 4a， 1b，椭圆 C的方程为：214xy（2）由（1）知 13,0F， 2,，直线 l的方程为： 014xy，即： 04xy，所以 00122343616xAyy，002223341616xFBxyy，20001222163xxAxyy PQl， 的方程为 04x，令 0y，可得 034x， 0,Q，则2 2200016164xyxxPQyy，又点 O到直线 l的距离为 20ODxy，2020164146xyPQxy 12FABOD当直线 l平行于 x轴时，易知 121FAPQODFB，结论显然成立综上， 12FABODPQ21已知函数 ln3fxkx （1）当 3k
8、时，证明： f有两个零点；（2）已知正数 ， 满足 10，若 0xR，使得0fffx，试比较 与 02x的大小【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析【解析】 （1）据题知 3ln0fxx，求导得： 31xfx，令 0fx，有 ；令 f，得 3；所以 f在 ,3上单调递减，在 ,上单调递增， minln0fxf，令 1，有 1f；令 2ex，有 2e60f，故 fx在 ,3和 2,e各有 1 个零点 fx有两个零点（2）由 0 lnffkf，而 21kf， 0l2ln2kkfxf ，令 t， 1lntht，则 22110ttht t，由 10，可得 1或 ；当 01时，（I）当 时， 1,t，则函数 ht在 ,上单调递增，故 10ht， 0 2ln2kfxf ，又 1kfx在 ,上是增函数， 02x，即 0x（II）当 时， 0,1t，则函数 ht在 0,1上单调递增，故 10ht， 0 2ln2kfxf ，又 1kfx在 0,上是增函数， 02x，即 0x当 1时，同理可证；综上所述， 02x
