1、第一章 1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.1 正弦定理(二),1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件，判断三角形解的个数. 3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 正弦定理的常见变形,abc,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,4.sin A ，sin B ，sin C .,知识点二 判断三角形解的个数,思考1,答案,在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数.,故对应的钝角B有90B120，也满足ABb，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一；
2、如果ab，则有AB，所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个.,思考2,答案,已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？,如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.,梳理 解三角形4个基本类型： (1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角. 其中只有类型(3)解的个数不确定.,知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用,思考1,在ABC中，已知acos Bbcos A.你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?,可借助正
3、弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.,答案,梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.,思考2,答案,什么时候适合用正弦定理进行边角互化？,尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.,题型探究,例1 在ABC中，已知a1，b ，A30，解三
4、角形.,解答,类型一 判断三角形解的个数,ba，BA30，B60或120. 当B60时，C180(AB)180(3060)90，,当B120时，C180(AB)180(30120)30A， ca1.,引申探究,解答,因为sin A1.所以A不存在，即无解.,已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.,反思与感悟,跟踪训练1 已知一三角形中a2 ，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，
5、解该三角形.,解答,a2 ，b6，ab，A30a，BA，B(0，180)，所以B60或120.,类型二 利用正弦定理求最值或取值范围,例2 在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a2bsin A，求cos Asin C的取值范围.,解答,a2bsin A，由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，,反思与感悟,解决三角形中的取值范围或最值问题： (1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素. (2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题.,因为ABC，C2B，,跟踪训练2 在ABC中，若C2B，求 的取值范围.,
6、解答,例3 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac2b,2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判断ABC的形状.,解答,类型三 正弦定理与三角变换的综合,2cos 2B8cos B50， 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0.,ac2b.,ABC是等边三角形.,借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.,反思与感悟,跟踪训练3 已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之
7、积等于两根之和，其中a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.,解答,设方程的两根为x1、x2，,bcos Aacos B. 由正弦定理，得sin Bcos Asin Acos B， sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0. A、B为ABC的内角， 0A，0B，AB， AB0，即AB.故ABC为等腰三角形.,当堂训练,1.在ABC中，AC ，BC2，B60，则角C的值为 A.45 B.30 C.75 D.90,答案,解析,1,2,3,A为锐角， A45，C75.,A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,答案,解析,tan Atan Btan C， 又A，B，C(0，)，ABC， 故三角形为等边三角形.,1,2,3,解答,规律与方法,1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值. 2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.,本课结束,
