人教B版高中数学必修五课件:1.1.2 余弦定理(一)

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1、第一章 1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.1 正弦定理(二),1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件,判断三角形解的个数. 3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 正弦定理的常见变形,abc,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,4.sin A ,sin B ,sin C .,知识点二 判断三角形解的个数,思考1,答案,在ABC中,a9,b10,A60,判断三角形解的个数.,故对应的钝角B有90B120,也满足ABb,则有AB,所以B为锐角,此时B的值唯一;

2、如果ab,则有AB,所以B为锐角或钝角,此时B的值有两个.,思考2,答案,已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数?,如果两个三角形有两边及其夹角分别相等,则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时,三角形的六个元素即可完全确定,故不必考虑解的个数的问题.,梳理 解三角形4个基本类型: (1)已知三边;(2)已知两边及其夹角;(3)已知两边及其一边对角;(4)已知一边两角. 其中只有类型(3)解的个数不确定.,知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用,思考1,在ABC中,已知acos Bbcos A.你能把其中的边a,b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?,可借助正

3、弦定理把边化成角:2Rsin Acos B2Rsin Bcos A,移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.,答案,梳理 一个公式就是一座桥梁,可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.,思考2,答案,什么时候适合用正弦定理进行边角互化?,尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系,但毕竟不是边等于对角正弦,这里还涉及到外接圆半径.故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1),要么已知外接圆半径.,题型探究,例1 在ABC中,已知a1,b ,A30,解三

4、角形.,解答,类型一 判断三角形解的个数,ba,BA30,B60或120. 当B60时,C180(AB)180(3060)90,,当B120时,C180(AB)180(30120)30A, ca1.,引申探究,解答,因为sin A1.所以A不存在,即无解.,已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,根据该正弦值求角时,要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角,一个锐角,一个钝角,只要不与三角形内角和定理矛盾,就是所求.,反思与感悟,跟踪训练1 已知一三角形中a2 ,b6,A30,判断三角形是否有解,若有解,

5、解该三角形.,解答,a2 ,b6,ab,A30a,BA,B(0,180),所以B60或120.,类型二 利用正弦定理求最值或取值范围,例2 在锐角ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,a2bsin A,求cos Asin C的取值范围.,解答,a2bsin A,由正弦定理,得sin A2sin Bsin A,,反思与感悟,解决三角形中的取值范围或最值问题: (1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素. (2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为函数的值域或最值问题.,因为ABC,C2B,,跟踪训练2 在ABC中,若C2B,求 的取值范围.,

6、解答,例3 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若ac2b,2cos 2B8cos B50,求角B的大小并判断ABC的形状.,解答,类型三 正弦定理与三角变换的综合,2cos 2B8cos B50, 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30, 即(2cos B1)(2cos B3)0.,ac2b.,ABC是等边三角形.,借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化,转化为角的关系后,常利用三角变换公式进行变形、化简,确定角的大小或关系,继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.,反思与感悟,跟踪训练3 已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之

7、积等于两根之和,其中a、b为ABC的两边,A、B为两内角,试判断这个三角形的形状.,解答,设方程的两根为x1、x2,,bcos Aacos B. 由正弦定理,得sin Bcos Asin Acos B, sin Acos Bcos Asin B0,sin(AB)0. A、B为ABC的内角, 0A,0B,AB, AB0,即AB.故ABC为等腰三角形.,当堂训练,1.在ABC中,AC ,BC2,B60,则角C的值为 A.45 B.30 C.75 D.90,答案,解析,1,2,3,A为锐角, A45,C75.,A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,答案,解析,tan Atan Btan C, 又A,B,C(0,),ABC, 故三角形为等边三角形.,1,2,3,解答,规律与方法,1.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,这时三角形解的情况可能无解,也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值,当正弦值大于1或小于0时,这时三角形解的情况为无解;当正弦值大于0小于1时,再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值. 2.判断三角形的形状,最终目的是判断三角形是不是特殊三角形,当所给条件含有边和角时,应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.,本课结束,

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