1、第1章 解三角形,1.1 正弦定理(二),1.能根据条件，判断三角形解的个数. 2.能从实际问题中抽象出三角形问题并予以解决. 3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 正弦定理的常见变形,abc,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,知识点二 判断三角形解的个数,思考1,答案,在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数.,梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一.,如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形
2、的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.,思考2,答案,已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？,梳理 解三角形4个基本类型： (1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角. 其中只有类型(3)解的个数不确定.,知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用,可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.,思考,答案,在ABC中，已知acos Bbcos A.你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?,梳理
3、一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.,题型探究,例1 在ABC中，已知a20 cm，b28 cm，A40，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm).,解答,类型一 判断三角形解的个数,根据正弦定理，得因为0a，BA. (1)当B64时， C180(AB)180(4064)76，(2)当B116时， C180(AB)180(40116)24，,综上，B64，C76，c30 cm或B116，C24， c13 cm.,引申探究 若例1中b28 cm，A40不变，当边a
4、在什么范围内取值时，ABC有两解？(范围中保留sin 40),解答,如图，A40，CDAD. AC28 cm， 以C为圆心，a为半径画圆弧， 当CDaAC，即bsin Aab,28sin 40a28时， ABC有两解(AB1C，AB2C均满足题设).,已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，即是所求.,反思与感悟,跟踪训练1 已知一三角形中a2 3 ，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解
5、该三角形.,解答,a2 3 ，b6，ab，A30a，BA，B(30，150)， 所以B60或120.,类型二 正弦定理在实际生活中的应用,例2 如图，一渔船在海上由西向东航行，在A处望见 灯塔C在船的东北方向，若船速为每小时30 n mile，半 小时后在B处望见灯塔在船的北偏东30，当船行至D 处望见灯塔在船的西北方向时，求A、D两点之间的距 离(精确到0.1 n mile).,解答,在ABC中，AB300.515(n mile)，CAB45，ABC120，所以ACB15，在ACD中，CAD45，CDA45， 所以ACD90， 由正弦定理，得,答 A、D两点之间的距离约为71.0 n mil
6、e.,反思与感悟,在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.,如图所示， 在ABC中，BAC30，ACB105 ABC45，AC60 km， 根据正弦定理，得,跟踪训练2 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔间的距离为 km.,答案,解析,例3 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac2b，2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判断ABC的形状.
7、,解答,类型三 正弦定理与三角变换的综合,2cos 2B8cos B50， 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0.,ABC是等边三角形.,反思与感悟,借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.,跟踪训练3 已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，其中a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.,解答,设方程的两根为x1、x2，,bcos Aacos B. 由正弦定
8、理，得sin Bcos Asin Acos B， sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0. A、B为ABC的内角， 0A，0B，AB， AB0，即AB. 故ABC为等腰三角形.,当堂训练,1.在ABC中，AC 6 ，BC2，B60，则角C的值为 .,75,答案,解析,1,2,3,4,如图所示，,2.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/时.,答案,解析,1,2,3,4,3.已知ABC中，b4 3 ，c2，C30，则满足条件的三角形有个.,0,答案,解析,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,规律与方法,1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值. 2.用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”“北偏东30”之类术语的准确理解；然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标.,本课结束,
