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苏教版高中数学必修五课件:1.1 正弦定理(二)

1、第1章 解三角形,1.1 正弦定理(二),1.能根据条件,判断三角形解的个数. 2.能从实际问题中抽象出三角形问题并予以解决. 3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 正弦定理的常见变形,abc,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,知识点二 判断三角形解的个数,思考1,答案,在ABC中,a9,b10,A60,判断三角形解的个数.,梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角,三角形解的个数并不一定唯一.,如果两个三角形有两边及其夹角分别相等,则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时,三角形

2、的六个元素即可完全确定,故不必考虑解的个数的问题.,思考2,答案,已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数?,梳理 解三角形4个基本类型: (1)已知三边;(2)已知两边及其夹角;(3)已知两边及其一边对角;(4)已知一边两角. 其中只有类型(3)解的个数不确定.,知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用,可借助正弦定理把边化成角:2Rsin Acos B2Rsin Bcos A,移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.,思考,答案,在ABC中,已知acos Bbcos A.你能把其中的边a,b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?,梳理

3、一个公式就是一座桥梁,可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.,题型探究,例1 在ABC中,已知a20 cm,b28 cm,A40,解三角形(角度精确到1,边长精确到1 cm).,解答,类型一 判断三角形解的个数,根据正弦定理,得因为0a,BA. (1)当B64时, C180(AB)180(4064)76,(2)当B116时, C180(AB)180(40116)24,,综上,B64,C76,c30 cm或B116,C24, c13 cm.,引申探究 若例1中b28 cm,A40不变,当边a

4、在什么范围内取值时,ABC有两解?(范围中保留sin 40),解答,如图,A40,CDAD. AC28 cm, 以C为圆心,a为半径画圆弧, 当CDaAC,即bsin Aab,28sin 40a28时, ABC有两解(AB1C,AB2C均满足题设).,已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,根据该正弦值求角时,要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角,一个锐角,一个钝角,只要不与三角形内角和定理矛盾,即是所求.,反思与感悟,跟踪训练1 已知一三角形中a2 3 ,b6,A30,判断三角形是否有解,若有解,解

5、该三角形.,解答,a2 3 ,b6,ab,A30a,BA,B(30,150), 所以B60或120.,类型二 正弦定理在实际生活中的应用,例2 如图,一渔船在海上由西向东航行,在A处望见 灯塔C在船的东北方向,若船速为每小时30 n mile,半 小时后在B处望见灯塔在船的北偏东30,当船行至D 处望见灯塔在船的西北方向时,求A、D两点之间的距 离(精确到0.1 n mile).,解答,在ABC中,AB300.515(n mile),CAB45,ABC120,所以ACB15,在ACD中,CAD45,CDA45, 所以ACD90, 由正弦定理,得,答 A、D两点之间的距离约为71.0 n mil

6、e.,反思与感悟,在运用正弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.,如图所示, 在ABC中,BAC30,ACB105 ABC45,AC60 km, 根据正弦定理,得,跟踪训练2 一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔间的距离为 km.,答案,解析,例3 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若ac2b,2cos 2B8cos B50,求角B的大小并判断ABC的形状.

7、,解答,类型三 正弦定理与三角变换的综合,2cos 2B8cos B50, 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30, 即(2cos B1)(2cos B3)0.,ABC是等边三角形.,反思与感悟,借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化,转化为角的关系后,常利用三角变换公式进行变形、化简,确定角的大小或关系,继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.,跟踪训练3 已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和,其中a、b为ABC的两边,A、B为两内角,试判断这个三角形的形状.,解答,设方程的两根为x1、x2,,bcos Aacos B. 由正弦定

8、理,得sin Bcos Asin Acos B, sin Acos Bcos Asin B0,sin(AB)0. A、B为ABC的内角, 0A,0B,AB, AB0,即AB. 故ABC为等腰三角形.,当堂训练,1.在ABC中,AC 6 ,BC2,B60,则角C的值为 .,75,答案,解析,1,2,3,4,如图所示,,2.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 海里/时.,答案,解析,1,2,3,4,3.已知ABC中,b4 3 ,c2,C30,则满足条件的三角形有个.,0,答案,解析,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,规律与方法,1.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,这时三角形解的情况可能无解,也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值,当正弦值大于1或小于0时,这时三角形解的情况为无解;当正弦值大于0小于1时,再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值. 2.用正弦定理解决实际问题时,首先根据条件画出示意图,并特别注意诸如“仰角”、“俯角”“北偏东30”之类术语的准确理解;然后分析解三角形已有哪些条件,要求什么,还缺什么,如何利用正弦定理及三角知识达到目标.,本课结束,