1、章末复习课,第一章 导数及其应用,学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题. 2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用法则求函数的导数. 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值. 4.会用导数解决一些简单的实际应用问题. 5.掌握定积分的基本性质及应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 导数的概念,(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，表示为 ，其切线方程为 .,f(x0),yf(x0)f(x0)(xx0),知识点二 基本初等函数的导数公式,(1)c0. (
2、2)(x) . (3)(ax) (a0). (4)(ex) .,x1,axln a,ex,(7)(sin x) . (8)(cos x) .,cos x,sin x,知识点三 导数的运算法则,(1)f(x)g(x) . (2)f(x)g(x) .,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),知识点四 复合函数的求导法则,(1)复合函数记法：yf(g(x). (2)中间变量代换：yf(u)，ug(x). (3)逐层求导法则：yxyuux.,知识点五 函数的单调性、极值与导数,(1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数
3、yf(x)在这个区间内单调递减. (2)函数的极值与导数 极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值； 极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的极值； 将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是 ，最小的一个就是 .,极值,端点,最大值,最小值,知识点六 微积分基本定理,如果f(x)是区间a，b上
4、的连续函数，并且F(x)f(x)，那么 f(x)dx.,F(b)F(a),知识点七 定积分的性质,题型探究,类型一 导数几何意义的应用,例1 设函数f(x) x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行. (1)求a的值；,解 f(x)x22ax9(xa)2a29， f(x)mina29， 由题意知a2910，a1或1(舍去). 故a1.,解答,(2)求f(x)在x3处的切线方程.,解 由(1)得a1， f(x)x22x9， 则kf(3)6，f(3)10. f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)， 即6xy280.,解答,利用导
5、数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这 种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1) 和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.,反思与感悟,跟踪训练1 直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b .,解析 由题意知f(2)3，则a3. f(x)x33x1. f(2)32239k， 又点(2,3)在直线y9xb上， b39215.,15,答案,解析,类型二 函数的单调性、极值、最值问题,例2 设a为实
6、数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值；,解答,解 由f(x)ex2x2a，xR， 知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a).,(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.,证明,证明 设g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1
7、ln 2a)0. 于是对任意xR，都有g(x)0， 所以g(x)在R内单调递增. 于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0). 而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0， 即exx22ax10， 故exx22ax1.,本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)(4x24axa2) ，其中a0. (1)当a4时，求f(x)的单调递增区间；,解答,(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8，求a的值.,解答,f(x)在1,4上的最小值为f(1)， 由f(1)
8、44aa28，,由f(4)2(6416aa2)8， 得a10或a6(舍去)， 当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减， f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意. 综上，a10.,类型三 生活中的优化问题,例3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？,解答,解 设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)， 则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)， 所以
9、当t2时，f(t)取得最大值4， 即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大.,(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为 x3x23x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.,解答,解 设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x) (百万元). 由此获得的收益是g(x)(百万元)，,所以g(x)x24. 又当0x0；当2x3时，g(x)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；,由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8. 即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.,类型四
10、 定积分与微积分基本定理,答案,解析,(2)如图所示，直线ykx将抛物线yxx2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k的值.,解答,解 抛物线yxx2与x轴的两交点的横坐标分别为x10，x21， 所以抛物线与x轴所围图形的面积,抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标分别为x10，x21k，,由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状. (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标. (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算. (4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和.,反思与感悟,跟踪训练4 执行如图所示的程序框图，则输出的T的值为 .
11、,答案,当堂训练,1,2,3,4,答案,解析,5,解析 不妨取a1，又d0， f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc. 由图可知f(2)0，f(3)0， 124bc0,276bc0，,1,2,3,4,5,答案,解析,2.函数F(x) t(t4)dt在1,5上,1,2,3,4,5,答案,解析,3.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于 A.1 B.0 C.2 D.4,1,2,3,4,5,解析 直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，f(3)1. 又点(3,1)在直线l上，,1,2
12、,3,4,5,答案,解析,2,4.体积为16的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小.,解析 设圆柱底面半径为r，母线长为l.,当r2时，圆柱的表面积最小.,1,2,3,4,5,5.设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y (e1)x4. (1)求a，b的值；,解答,解 f(x)的定义域为R. f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.,解得a2，be.,1,2,3,4,5,(2)求f(x)的单调区间.,解答,1,2,3,4,5,解 由(1)，知f(x)xe2xex. 由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知， f(x)与1xex1同号. 令g(x)1x
13、ex1，则g(x)1ex1， 所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减； 当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增. 故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值， 从而g(x)0，x(，)， 综上可知，f(x)0，x(，). 故f(x)的单调递增区间为(，).,1,2,3,4,5,规律与方法,1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点. 2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体. 3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题. 4.不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.,本课结束,
