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人教A版高中数学选修2-2课件:第一章导数及其应用章末复习课

1、章末复习课,第一章 导数及其应用,学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题. 2.掌握初等函数的求导公式,并能够综合运用法则求函数的导数. 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的极值和最值. 4.会用导数解决一些简单的实际应用问题. 5.掌握定积分的基本性质及应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 导数的概念,(2)几何意义:函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,表示为 ,其切线方程为 .,f(x0),yf(x0)f(x0)(xx0),知识点二 基本初等函数的导数公式,(1)c0. (

2、2)(x) . (3)(ax) (a0). (4)(ex) .,x1,axln a,ex,(7)(sin x) . (8)(cos x) .,cos x,sin x,知识点三 导数的运算法则,(1)f(x)g(x) . (2)f(x)g(x) .,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),知识点四 复合函数的求导法则,(1)复合函数记法:yf(g(x). (2)中间变量代换:yf(u),ug(x). (3)逐层求导法则:yxyuux.,知识点五 函数的单调性、极值与导数,(1)函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;如果 ,那么函数

3、yf(x)在这个区间内单调递减. (2)函数的极值与导数 极大值:在点xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫做函数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值; 极小值:在点xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,(3)求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤 求函数yf(x)在(a,b)内的极值; 将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是 ,最小的一个就是 .,极值,端点,最大值,最小值,知识点六 微积分基本定理,如果f(x)是区间a,b上

4、的连续函数,并且F(x)f(x),那么 f(x)dx.,F(b)F(a),知识点七 定积分的性质,题型探究,类型一 导数几何意义的应用,例1 设函数f(x) x3ax29x1(a0),直线l是曲线yf(x)的一条切线,当l的斜率最小时,直线l与直线10xy6平行. (1)求a的值;,解 f(x)x22ax9(xa)2a29, f(x)mina29, 由题意知a2910,a1或1(舍去). 故a1.,解答,(2)求f(x)在x3处的切线方程.,解 由(1)得a1, f(x)x22x9, 则kf(3)6,f(3)10. f(x)在x3处的切线方程为y106(x3), 即6xy280.,解答,利用导

5、数求切线方程时关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这 种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由 f(x1) 和y1f(x1),求出x1,y1的值,转化为第一种类型.,反思与感悟,跟踪训练1 直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3),则b .,解析 由题意知f(2)3,则a3. f(x)x33x1. f(2)32239k, 又点(2,3)在直线y9xb上, b39215.,15,答案,解析,类型二 函数的单调性、极值、最值问题,例2 设a为实

6、数,函数f(x)ex2x2a,xR. (1)求f(x)的单调区间与极值;,解答,解 由f(x)ex2x2a,xR, 知f(x)ex2,xR. 令f(x)0,得xln 2. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,故f(x)的单调递减区间是(,ln 2),单调递增区间是(ln 2,),f(x)在xln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a).,(2)求证:当aln 21且x0时,exx22ax1.,证明,证明 设g(x)exx22ax1,xR, 于是g(x)ex2x2a,xR. 由(1)知当aln 21时,g(x)取最小值为g(ln 2)2(1

7、ln 2a)0. 于是对任意xR,都有g(x)0, 所以g(x)在R内单调递增. 于是当aln 21时,对任意x(0,),都有g(x)g(0). 而g(0)0,从而对任意x(0,),都有g(x)0, 即exx22ax10, 故exx22ax1.,本类题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性,求函数的极值和证明不等式,考查运算能力、分析问题、解决问题的能力.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)(4x24axa2) ,其中a0. (1)当a4时,求f(x)的单调递增区间;,解答,(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8,求a的值.,解答,f(x)在1,4上的最小值为f(1), 由f(1)

8、44aa28,,由f(4)2(6416aa2)8, 得a10或a6(舍去), 当a10时,f(x)在(1,4)上单调递减, f(x)在1,4上的最小值为f(4)8,符合题意. 综上,a10.,类型三 生活中的优化问题,例3 某公司为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大?,解答,解 设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元), 则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3), 所以

9、当t2时,f(t)取得最大值4, 即投入2百万元的广告费时,该公司获得的收益最大.,(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额为 x3x23x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.,解答,解 设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3x) (百万元). 由此获得的收益是g(x)(百万元),,所以g(x)x24. 又当0x0;当2x3时,g(x)0,故V(r)在(0,5)上为增函数;,由此可知,V(r)在r5处取得最大值,此时h8. 即当r5,h8时,该蓄水池的体积最大.,类型四

10、 定积分与微积分基本定理,答案,解析,(2)如图所示,直线ykx将抛物线yxx2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分,求k的值.,解答,解 抛物线yxx2与x轴的两交点的横坐标分别为x10,x21, 所以抛物线与x轴所围图形的面积,抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标分别为x10,x21k,,由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象,明确平面图形的形状. (2)通过解方程组,求出曲线交点的坐标. (3)确定积分区间与被积函数,转化为定积分计算. (4)对于复杂的平面图形,常常通过“割补法”来求各部分的面积之和.,反思与感悟,跟踪训练4 执行如图所示的程序框图,则输出的T的值为 .

11、,答案,当堂训练,1,2,3,4,答案,解析,5,解析 不妨取a1,又d0, f(x)x3bx2cx,f(x)3x22bxc. 由图可知f(2)0,f(3)0, 124bc0,276bc0,,1,2,3,4,5,答案,解析,2.函数F(x) t(t4)dt在1,5上,1,2,3,4,5,答案,解析,3.如图,yf(x)是可导函数,直线l:ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,令g(x)xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)等于 A.1 B.0 C.2 D.4,1,2,3,4,5,解析 直线l:ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,f(3)1. 又点(3,1)在直线l上,,1,2

12、,3,4,5,答案,解析,2,4.体积为16的圆柱,当它的半径为 时,圆柱的表面积最小.,解析 设圆柱底面半径为r,母线长为l.,当r2时,圆柱的表面积最小.,1,2,3,4,5,5.设函数f(x)xeaxbx,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y (e1)x4. (1)求a,b的值;,解答,解 f(x)的定义域为R. f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.,解得a2,be.,1,2,3,4,5,(2)求f(x)的单调区间.,解答,1,2,3,4,5,解 由(1),知f(x)xe2xex. 由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知, f(x)与1xex1同号. 令g(x)1x

13、ex1,则g(x)1ex1, 所以,当x(,1)时,g(x)0,g(x)在区间(,1)上单调递减; 当x(1,)时,g(x)0,g(x)在区间(1,)上单调递增. 故g(1)1是g(x)在区间(,)上的最小值, 从而g(x)0,x(,), 综上可知,f(x)0,x(,). 故f(x)的单调递增区间为(,).,1,2,3,4,5,规律与方法,1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0,y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点. 2.借助导数研究函数的单调性,经常同三次函数,一元二次不等式结合,融分类讨论、数形结合于一体. 3.利用导数求解优化问题,注意自变量中的定义域,找出函数关系式,转化为求最值问题. 4.不规则图形的面积可用定积分求解,关键是确定积分上、下限及被积函数,积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.,本课结束,