1、限时训练(二十一)压轴题（二）1.(10 分) 已知关于 x 的一元二次方程 x2-(m+1)x+ (m2+1)=0 有实数根.12(1)求 m 的值;(2)先作 y=x2-(m+1)x+ (m2+1)的图象关于 x 轴的对称图形 ,然后将所作图形向左平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位12长度,写出变化后图象的解析式;(3)在(2)的条件下,当直线 y=2x+n(nm)与变化后的图象有公 共点时,求 n2-4n 的最大值和最小值.2.(10 分) 如图 Y2-1,过抛物线 y= x2-2x 上一点 A 作 x 轴的平行线,交抛物线于另一点 B,交 y 轴于点 C,已知点 A 的横坐标
2、14为-2.图 Y2-1(1)求抛物线的对称轴和点 B 的坐标;(2)在 AB 上任取一点 P,连接 OP,作点 C 关于直线 OP 的 对称点 D. 连接 BD,求 BD 的最小值; 当点 D 落在抛物线的对称轴上 ,且在 x 轴上方时,求直线 PD 的函数表达式.参考答案1.解析 (1)有实数根即 b2-4ac0;(2)先确定抛物线关于 x 轴对称的图形的解析式,再根据平移的规则得到解析式;(3)抛物线与直线交点问题,本质就是联立解析式,整理得到一元二次方程 ,判断方程根的情况,得到 n 的取值范围,从而确定最值.解:(1) 方程 x2-(m+1)x+ (m2+1)=0 有实数根,12 =
3、-(m+1)2-4 (m2+1)0,12即(m-1) 20, m=1.(2)y=-x2-4x-2.(3)当函数 y=-x2-4x-2 的图象与直线 y=2x+n 有公共点时,方程-x 2-4x-2=2x+n 有实数根,即 x2+6x+n+2=0 有实数根, =62-4(n+2)0,解得 n7.又 nm, 1n7. n2-4n=(n-2)2-4, 当 n= 2 时,n 2-4n 有最小值-4;当 n=7 时,n 2-4n 有最大值 21. n2-4n 的最大值为 21,最小值为 -4.2.解:(1)由抛物线的解析式 y= x2-2x,得对称轴为直线 x=- =4.14 2由题意知点 A 的横坐标
4、为-2, 代入解析式求得 y=5,当 x2-2x=5 时,x 1=10,x2=-2,14 A (-2,5),B(10,5).(2) 连接 OD,OB,利用三角形三边关系可得 BDOB-OD, 当且仅当 O,D,B 三点 共线时,BD 取得最小值.由题意知 OC=OD=5,OB= =5 ,102+52 5 BD 的最小值为 OB-OD=5 -5.5 (i)点 P 在对称轴左侧时 ,连接 OD,设对称轴与直线 AB,x 轴分别交于点 M,N 如图 .在 Rt ODN 中,DN= =3, D(4,3),DM=2.52-42设 P(x,5),在 RtPMD 中,(4-x) 2+22=x2,得 x= , P ,5 .52 52设直线 PD 的函数表达式为 y=kx+b,由 得4+=3,52+=5, =-43,=253. 直 线 PD 的函数表达式为 y=- x+ .43 253(ii)点 P 在对称轴右侧时 , 如图 所示,点 D 在 x 轴下方,不符合要求,舍去.综上所述,直线 PD 的函数表达式为 y=- x+ .43 253
