1、第二十八章 锐角三角函数一、选择题 1.在Rt ABC中， C90， AB6，cos B ，则 BC的长为( )A 4B 2CD2.在Rt ABC中， C90， BC a， AC b， AB c，则sin A等于( )ABCD3.在Rt ABC中， C90， a1， b ，则 A等于( )A 30B 45C 60D 904.如图，电线杆 CD的高度为 h，两根拉线 AC与 BC相互垂直， CAB ，则拉线 BC的长度为( A、 D、B在同一条直线上)( )ABCD hcos5.如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶13米，已知cos ，则小车上升的高度是( )A 5米B 6米C 6.5米D
2、12米6.RtABC中， C90， AB13， AC5，则sin B的值为 ( )ABCD7.在Rt ABC中， C90， AB6， AC4，则cos A的值是( )ABCD8.如图，在一笔直的海岸线 l上有 A、 B两个观测站， C离海岸线 l的距离( 即 CD的长)为2，从 A测得船 C在北偏东45的方向，从 B测得船 C在北偏东22.5的方向，则 AB的长( )A 2 kmB (2 )kmC (42 ) kmD (4 ) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为 ，那么楼底到该目标的水平距离是( )A 100tan 米B 100cot 米C 100sin 米D 100cos
3、米10.把 ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角 A的余弦函数值 ( )A 不变B 缩小为原来的C 扩大为原来的3倍D 不能确定二、填空题 11.若2cos 0，则锐角 _度12.在Rt ABC中， C90， AB2 BC，现给出下列结论： sinA ；cos B ；tan A；tan B ，其中正确的结论是_(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点 A(0,1)， B(0，1)，以点 A为圆心， AB为半径作圆，交 x轴的正半轴于点 C，则sin BAC _.14.已知 A的补角是120，则 tanA_.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从 P处出发，走了13米到达 M处，此
4、时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是_16.汽车沿着坡度为17的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了_米17.已知0 30 ，且sin km (k为常数且 k O)，则 m的取值范围是_18.在Rt ABC中， C90， BC3，sin A ，那么 AB_.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A， B， C都在格点上，则sin ABC_.20.如图，航拍无人机从 A处测得一幢建筑物顶部 B的仰角为 30，测得底部 C的俯角为60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD为90米，那么该建筑物的高度 BC约为_米(精确到1米，参考数据： 1.73)三、解答题 21.如图，初三一
5、班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树 DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A点处测得树顶端 D的仰角为30.朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C处，测得树顶端 D的仰角为60，已知 A点的高度 AB为2米，台阶 AC的坡度为 (即 ABBC )，且 B， C， E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树 DE的高度(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在 A处测得北偏东30方向上，距离为20海里的 B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在 C处成功
6、拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 750.2588，sin 750.9659，tan 75 3.732， 1.732， 1.414)23.如图，图是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AO可以绕点 O旋转一定的角度研究表明：显示屏顶端 A与底座 B的连线 AB与水平线 BC垂直时( 如图) ，人观看屏幕最舒适此时测得 BAO15 ， AO30 cm ， OBC 45，求 AB的长度(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 150.259 ，cos 150.966，tan 150.268， 1.414)24.小明周日在广场
7、放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60，已知风筝线 BC的长为20米，小明的身高 AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据 1.41， 1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东53方向，距离灯塔100海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的南偏东45方向上的 B处(1)在图中画出点 B，并求出 B处与灯塔 P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔 P相对于 B处的位置(参考数据：sin 530.80，cos 530.60，tan 53 0.33， 1.41)26.如图，在Rt ABC中，
8、 C90， M是直角边 AC上一点， MNAB于点 N， AN3， AM4，求cosB的值27.如图是某小区的一个健身器材，已知 BC0.15 m， AB2.70 m， BOD70 ，求端点 A到地面 CD的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin 700.94，cos 700.34，tan 702.75)28.在 ABC中， C90， AC7， BC24，求sin A，sin B的值答案解析1.【答案】A【解析】如图，C90，cosB ，BC ABcosB6 4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A ，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：在 RtABC中， C90 ， a1， b
9、，tanA .A30 ，故选A.4.【答案】B【解析】 CAD ACD90， ACD BCD90，CAD BCD，在Rt BCD中， cos BCD ，BC ，故选B.5.【答案】A【解析】在如图 AC13，作 CBAB，cos ，AB12 ，BC 5，小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】Rt ABC中， C90， AB13， AC5，sinB .故选A.7.【答案】B【解析】cos A .故选B.8.【答案】C【解析】在 CD上取一点 E，使 BD DE，可得 EBD45， AD DC2，从 B测得船 C在北偏东 22.5的方向，BCE CBE22.5，BE EC.设 AB
10、 x，则 DE BD AD AB2 x，EC BE BD (2 x)，DE EC CD，2 x (2 x)2，解得 x42 ，即 AB42 .故选C.9.【答案】B【解析】 BAC ， BC100 m ，AB BCcot100cot m.故选B.10.【答案】A【解析】因为 ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A的大小没改变，故锐角 A的余弦函数值也不变故选A.11.【答案 】45【解析】2cos 0，cos ，又 cos 45 ，锐角 45.12.【答案 】【解析】如图所示：在 RtABC中， C90 ， AB2 BC，sinA ，故错误；A30 ，B60
11、，cosBcos 60 ，故正确；A30 ，tanAtan 30 ，故正确；B60，tanB tan 60 ，故正确故答案为.13.【答案 】【解析】 A(0,1)， B(0，1)，AB2 ， OA1，AC2，由勾股定理，得 OC ，在 RtAOC中，sin OACsin BAC .14.【答案 】【解析】 A的补角是120，A180120 60，tanAtan 60 .15.【答案 】5 12【解析】如图所示，由题意可知，PM13 m， MC5米，PC 12，MCPC512，故答案为512.16.【答案 】5【解析】坡度为1 7，设坡角是 ，则sin ，上升的高度是50 5 (米)17.【答
12、案 】 m【解析】0 30，sin 0sin sin 30 ，即0 km ， km ， m .18.【答案 】18【解析】在Rt ABC中，C90，sin A ，AB3618.19.【答案 】【解析】小正方形边长为1，AB28， BC210， AC22 ；AB2 AC2 BC2，ABC是直角三角形，且 CAB90，sin ABC .20.【答案 】208【解析】由题意可得：tan 30 ，解得： BD30 ，tan 60 ，解得 DC90 ，故该建筑物的高度为 BC BD DC120 208(m)21.【答案 】解 AFAB， ABBE， DEBE，四边形 ABEF为矩形，AF BE， EF
13、AB2，设 DE x，在Rt CDE中， CE x，在Rt ABC中， ， AB2，BC2 ，在Rt AFD中， DF DE EF x2，AF (x2)，AF BE BC CE. (x 2)2 x，解得 x6.答：树 DE的高度为6米【解析】由于 AFAB，则四边形 ABEF为矩形，设 DE x，在Rt CDE中， CE x，在Rt ABC中，得到 ，求出 BC，在Rt AFD中，求出 AF，由 AF BC CE即可求出 x的长22.【答案 】解 过 B作 BDAC，BAC75 3045，在 RtABD中， BAD ABD45， ADB90，由勾股定理，得 BD AD 2010 (海里)，在R
14、t BCD中， C15， CBD75，tan CBD ，即 CD10 3.73252.77048，则 AC AD DC10 10 3.73266.9104867(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里【解析】过 B作 BDAC，在直角三角形 ABD中，利用勾股定理求出 BD与 AD的长，在直角三角形 BCD中，求出 CD的长，由 AD DC求出 AC的长即可23.【答案 】解 过 O点作 ODAB交 AB于 D点在Rt ADO中，A15 ， AO30，OD AOsin 15300.2597.77(cm)AD AOcos 15300.96628.98(cm)又 在Rt BDO
15、中， OBC45 ，BD OD7.77(cm)，AB AD BD36.7536.8(cm)答： AB的长度为 36.8 cm.【解析】过 O点作 ODAB交 AB于 D点，根据 A15， AO30可知 OD AOsin 15， AD AOcos 15，在Rt BDO中根据 OBC45可知， BD OD，再根据 AB AD BD即可得出结论24.【答案 】解 在Rt CBE中，sin 60 ，CE BCsin 6020 17.3 m，CD CE ED17.31.7519.0519.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出 CE的长，再由 CD CE ED即
16、可得出结论25.【答案 】解 (1) 如图，作 PCAB于 C，在Rt PAC中， PA100， PAC53 ，PC PAsin PAC1000.8080，在Rt PBC中， PC80， PBC BPC45 ，PB PC1.4180113，即 B处与灯塔 P的距离约为113 海里；(2)CBP45， PB113海里，灯塔 P位于 B处北偏西45方向，且距离 B处约113海里【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点 B，作 PCAB于 C，先解Rt PAC，得出 PC PAsin PAC80，再解Rt PBC，得出 PB PC1.4180113；(2)由 CBP45， PB113海
17、里，即可得到灯塔 P位于 B处北偏西45方向，且距离 B处约113海里26.【答案 】解 C90， MNAB，C ANM90 ，A B90， A AMN90，B AMN，又 AN3， AM4，MN ，cosBcos AMN .【解析】根据“同角的余角相等”，可得 B AMN，又 AN3， AM4，由勾股定理得 MN ，故 cos Bcos AMN.27.【答案 】解 作 AECD于 E， BFAE于 F，则四边形 EFBC是矩形，ODCD， BOD70，AEOD，A BOD70，在Rt AFB中， AB2.7，AF2.7cos 702.70.340.918，AE AF BC0.9180.15 1.0681.1 m，答：端点 A到地面 CD的距离是1.1 m.【解析】作 AECD于 E， BFAE于 F，则四边形 EFBC是矩形，求出 AF、 EF即可解决问题28.【答案 】解 在 ABC中， C90， AC7， BC24 ，由勾股定理，得AB 25，sinA ，sinB .【解析】根据勾股定理，可得 AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案
