2019年春人教版八年级下数学《18.2.1.1矩形的性质》课件

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1、18.2.1 矩 形,第十八章 平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 矩形的性质,1.理解矩形的概念,知道矩形与平行四边形的区别与联系.(重点) 2.会证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题.(重点、难点) 3.掌握直角三角形斜边中线的性质,并会简单的运用. (重点),观察下面图形,长方形在生活中无处不在.,导入新课,情景引入,思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系?,你还能举出其他的例子吗?,讲授新课,活动1:利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.,矩形,定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.

2、,归纳总结,平行四边形不一定是矩形.,思考 因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质,由于它有一个角为直角,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?,可以从边,角,对角线等方面来考虑.,活动2: 准备素材:直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.(1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形(如书本,课桌,铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.,A,B,C,D,O,物体,测量,(实物),(形象图),(2)根据测量的结果,你有什么猜想?,猜想1 矩形的四个角都是直角.,猜想2 矩形的对角线相等.,你能证明吗?,证明:四边形ABCD是矩形, B=

3、D,C=A, ABDC.B+C=180.又B = 90,C = 90.B=C=D=A =90.,如图,四边形ABCD是矩形,B=90. 求证: B=C=D=A=90.,A,B,C,D,证一证,证明:四边形ABCD是矩形, AB=DC,ABC=DCB=90, 在ABC和DCB中, AB=DC,ABC=DCB,BC= CB, ABCDCB. AC=DB.,A,B,C,D,O,如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相交于点O. 求证:AC=DB.,矩形除了具有平行四边形所有性质,还具有的性质有: 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等.,归纳总结,几何语言描述: 在矩形ABCD

4、中,对角线AC与DB相交于点O. ABC=BCD=CDA=DAB =90,AC=DB.,A,B,C,D,O,例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4 ,求矩形对角线的长.,解:四边形ABCD是矩形.AC = BD,OA= OC= AC,OB = OD = BD ,OA = OB.又AOB=60,OAB是等边三角形,OA=AB=4,AC=BD=2OA=8.,A,B,C,D,O,典例精析,矩形的对角线相等且互相平分,例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE ,垂足为F.求证:DF=DC.,A,B,C,D,E,F,证明:连接DE.

5、 AD =AE,AED =ADE. 四边形ABCD是矩形, ADBC,C=90. ADE=DEC, DEC=AED. 又DFAE, DFE=C=90.,又DE=DE, DFEDCE, DF=DC.,例3 如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于点E,AD8,AB4,求BED的面积,解:四边形ABCD是矩形, ADBC,A90, 23. 又由折叠知12, 13,BEDE. 设BEDEx,则AE8x. 在RtABE中,AB2AE2BE2, 42(8x)2x2, 解得x5,即DE5. SBED DEAB 5410.,矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查,思考 请同学们拿出准备

6、好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,矩形的性质: 对称性: . 对称轴: .,轴对称图形,2条,练一练,1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O, 下列说法错误的是 ( ) AABDC BAC=BD CACBD DOA=OB,A,B,C,D,O,C,2.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_.,3.如图,在矩形ABCD中,AEBD于E,DAE:BAE3:1,求BAE和EAO的度数,解:四边形ABCD是矩形, DAB90, AO AC,BO BD,ACBD, BAE

7、DAE90,AOBO. 又DAE:BAE3:1, BAE22.5,DAE67.5. AEBD, ABE90BAE9022.567.5, OABABE67.5 EAO67.522.545.,活动:如图,一张矩形纸片,画出两条对角线,沿着对角线AC剪去一半.,问题 RtABC中,BO是一条怎样的线段? 它的长度与斜边AC有什么关系?,猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,试给出数学证明.,O,D,证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.,AO=OC, BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形.,ABC=90,平行四边形ABCD是矩形,,AC=BD,,如图,在RtABC中,AB

8、C=90,BO是AC上的中线.求证: BO = AC ?,BO= BD= AC.,1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,证一证,例4 如图,在ABC中,AD是高,E、F分别是AB、AC的中点 (1)若AB10,AC8,求四边形AEDF的周长;,解:AD是ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点, DEAE AB 105,DFAF AC 84, 四边形AEDF的周长AEDEDFAF554418;,典例精析,(2)求证:EF垂直平分AD.,证明:DEAE,DFAF, E、F在线段AD的垂直平分线上, EF垂直平分AD.,当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时,可联想直角三角形斜边上的

9、中线的性质进行求解,例5 如图,已知BD,CE是ABC不同边上的高,点G,F分别是BC,DE的中点,试说明GFDE.,解:连接EG,DG.BD,CE是ABC的高,BDCBEC90.点G是BC的中点, EG BC,DG BC.EGDG.又点F是DE的中点,GFDE.,在直角三角形中,遇到斜边中点常作斜边中线,进而可将问题转化为等腰三角形的问题,然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题,如图,在ABC中,ABC = 90,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_cm; (2)若C = 30 ,AB = 5cm,则AC =_cm, BD = _cm.,6,10,5,练一练,当堂练

10、习,1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40,则两条对角线相交的锐角是 ( )A.20 B.40 C.80 D.10,A,C,C,4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF=_cm,2.5,5.如图,ABC中,E在AC上,且BEACD为AB中点,若DE=5,AE=8,则BE的长为_,6,第4题

11、图,第5题图,6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E. (1)求证:BD=BE, (2)若DBC=30 , BO=4 ,求四边形ABED的面积.,A,B,C,D,O,E,(1)证明:四边形ABCD是矩形, AC= BD,ABCD. 又BEAC, 四边形ABEC是平行四边形, AC=BE, BD=BE.,(2)解:在矩形ABCD中,BO=4, BD = 2BO =24=8. DBC=30, CD= BD= 8=4, AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在RtBCD中, BC= 四边形ABED的面积= (4+8) = .,A,B,C

12、,D,O,E,7.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上的动点,PEAC,PFBD于F,求PE+PF的值.,解:连接OP. 四边形ABCD是矩形, DAB=90,OA=OD=OC=OB, SAOD=SDOC=SAOB=SBOC= S矩形ABCD= 68=12. 在RtBAD中,由勾股定理得BD=10, AO=OD=5, SAPO+SDPO=SAOD, AOPE+ DOPF=12,即5PE+5PF=24, PE+PF= .,能力提升:,课堂小结,矩形的相关概念及性质,具有平行四边行的一切性质,四个内角都是直角, 两条对角线互相平分且相等,轴对称图形,有两条对称轴,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,

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