1、2017-2018 学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷一选择题(本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分)1一元二次方程 x22x 的根是（ ）A0 B2 C0 和 2 D0 和22如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A BC D3若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk 1 且 k0 Ck 1 Dk1 且 k04把抛物线 y（x +1） 2 向下平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，所得到的抛物线是（ ）Ay（x+2） 2+2 By （ x+2） 22 Cy x 2+2 Dyx 225
2、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC在 y 轴上，如果矩形 OA BC 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，那么点 B的坐标是（ ）A（2，3） B（2，3）C（ 3，2）或（2，3） D（2， 3）或（2，3）6如图，反比例函数 和正比例函数 y2k 2x 的图象都经过点 A（1，2），若y1y 2，则 x 的取值范围是（ ）A1x 0 B1x1Cx1 或 0x 1 D1x0 或 x17如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 ABCD的位置，此时 AC 的中点恰好与 D 点重合，AB
3、交 CD 于点 E若 AB3，则AEC 的面积为（ ）A3 B1.5 C D8抛物线 y ax2+bx+c（a0）中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：x 1 0 1y 2 2 0从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）抛物线与 x 轴的一个交点为（ 2，0）；抛物线与 y 轴的交点为（ 0，2）；抛物线的对称轴是：x 1；在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大A1 B2 C3 D4二填空题(本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分)9在 RtABC 中，C90，sinA ，则 tanA 10一个不透明的盒子中装有 10 个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒
4、子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验 400 次，其中有 240 次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个11某厂一月份生产产品 50 台，计划二、三月份共生产产品 120 台，设二、三月份平均每月增长率为 x，根据题意，可列出方程为 12如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1、l 2、l 3 于点 A、B、C ，直线 DF 分别交l1、l 2、l 3 于点 D、E、 F，AC 与 DF 相交于点 H，且 AH2HB，BC5HB，则 的值为 13如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，折痕为FH，
5、点 C 落在点 Q 处， EQ 与 BC 交于点 G，则 tanEGB 等于 14墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 个小正方体三作图题(本题满分 4 分)15用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作围痕迹如图，已知，线段 b，求作：菱形 ABCD，使ABC，边 BCb四解答题(本大题满分 74 分，共有 9 道小题)16（8 分）解下列方程：（1）x 25x+20（2）2（x 3） 2x （x3）17（6 分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人
6、都很想去观看可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了 8 张扑克牌，将数字为2，3，5，9 的四张牌给小敏，将数字为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则18（6 分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A、C 两点处测得该塔顶端 F 的仰角分别为 48，65，矩形建筑物宽度AD20m，高
7、度 DC33m计算该信号发射塔顶端到地面的高度 FG（结果精确到1m）（参考数据：sin480.7，cos480.7，tan481.1，sin650.9，cos650.4，tan65 2.1）19（6 分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度如图，当在点 A 处放置标杆时，李明测得直立的标杆高 AM 与影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处放置同一个标杆，测得直立标杆高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB1.2m ，已知标杆直立时的高为 1.8m，求路灯的高CD 的长20（8 分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，
8、学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 AB，BC分别为线段，CD 为双曲线的一部分）：（1）分别求出线段 AB 和曲线 CD 的函数关系式；（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？21（8 分）如图，在ABC 中，
9、点 D，E 分别是边 AB 和 AC 的中点，过点 C 作CFAB ，交 DE 的延长线于点 F，连接 AF，BF（1）求证：ADE CFE ；（2）若AFB90，试判断四边形 BCFD 的形状，并加以证明22（10 分）某水果店销售某种水果，原来每箱售价 60 元，每星期可卖 200 箱，为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 20箱已知该水果每箱的进价是 40 元，设该水果每箱售价 x 元，每星期的销售量为 y箱（1）求 y 与 x 之间的函数关系式：（2）当销售量不低于 400 箱时，每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？23（10
10、 分）归纳探究把长为 n （n 为正整数） 个单位的线段，切成长为 1 个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次？我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论不妨假设最少能切 m 次，我们来探究 m 与 n 之间的关系如图，当 n1 时，最少需要切 0 次，即 m0如图，当 n2 时，从线段中间最少需要切 1，即 m1如图，当 n3 时，第一次切 1 个单位长的线段，第二次继续切剩余线段 1 个单位长即可，最少需要切 2 次，即 m2如图，当 n4 时，第一次切成两根 2 个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切 2 次，即 m 2如图，当 n5 时，第一次
11、切成 2 个单位长和 3 个单位长的线段将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切 3 次，即 m3仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当 n16 时，所需最少切制次数的方法，如此操作实验，可获得如下表格中的数据：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4当 n1 时，m0当 1n2 时，m1当 2n4 时，m2当 4n8 时，m3当 8n16 时，m 根据探究请用 m 的代数式表示线段 n 的取值范围： 当 n1180 时，m 类比探究由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法
12、解决如下问题把边长 n （n 为正整数） 个单位的大正方形，切成边长为 1 个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次？不妨假设最少能切 m 次，我们来探究 m 与 n 之间的关系通过实验观察：当 n1 时，从行的角度分析，最少需要切 0 次，从列的角度分析，最少需要切 0次最少共切 0，即 m0当 n2 时，从行的角度分析，最少需要切 1 次，从列的角度分析，最少需要切 1 次，最少共切 2，当 1n2 时，m2当 n3 时，从行的角度分析，最少需要切 2 次，从列的角度分析，最少需要切 2 次，最少共切 4，当 2n4 时，m4当 n8 时，从行的角度分析，最少需要切 3 次，从列的角
13、度分析，最少需要切 3 次，最少共切 6，当 4n8 时，m6当 8n16 时，m 根据探究请用 m 的代数式表示线段 n 的取值范围： 拓广探究由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问题问题（1）：把棱长为 4 个单位长的大正方体，切成棱长为 1 个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次问题（2）：把棱长为 8 个单位长的大正方体，切成棱长为 1 个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次，问题（3）：把棱长为 n （n 为正整数） 个单位长的大正方体，切成边长为 1 个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次请用 m 的代数式表示线段 n 的取值范
14、围： 24（12 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ACBC，AB10AC6动点 P 在线段 BC 上从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1 个单位长的速度匀速运动；动点 Q 在线段 DC 上从点 D 出发沿 DC 的力向以每秒 1 个单位长的速度匀速运动，过点 P 作PEBC交线段 AB 于点 E若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，QEBC？（2）设PQE 的面积为 S，求出 S 与 t 的函数关系式：（3）是否存在某一时刻 t，使得PQE 的面积 S 最大？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由（4）是
15、否存在某一时刻 t，使得点 Q 在线段 EP 的垂直平分线上？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由2017-2018 学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一选择题(本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分)1一元二次方程 x22x 的根是（ ）A0 B2 C0 和 2 D0 和2【分析】根据一元二次方程的特点，用提公因式法解答【解答】解：移项得，x 22x 0，因式分解得，x （x 2） 0，解得，x 10， x22，故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特
16、点灵活选用合适的方法2如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形故选：A【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk 1 且 k0 Ck 1 Dk1
17、且 k0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于 k 的不等式组，求出 k 的取值范围即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x 10 有两个不相等的实数根， ，即 ，解得 k1 且 k0故选：B【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键4把抛物线 y（x +1） 2 向下平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，所得到的抛物线是（ ）Ay（x+2） 2+2 By （ x+2） 22 Cy x 2+2 Dyx 22【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点
18、式解析式写出即可【解答】解：抛物线 y（ x+1） 2 的顶点坐标为（ 1，0），向下平移 2 个单位，纵坐标变为2，向右平移 1 个单位，横坐标变为1+10，平移后的抛物线顶点坐标为（0，2），所得到的抛物线是 y x22故选：D【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解5如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC在 y 轴上，如果矩形 OA BC 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，那么点 B的坐标是（ ）A（2，3） B（2，3）C（
19、3，2）或（2，3） D（2， 3）或（2，3）【分析】由矩形 OAB C与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OAB C的面积等于矩形 OABC 面积的 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形 OAB C 与矩形 OABC 的位似比为 1：2，又由点 B 的坐标为（4，6），即可求得答案【解答】解：矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，矩形 OAB C 矩形 OABC，矩形 OAB C 的面积等于矩形 OABC 面积的 ，位似比为：1：2，点 B 的坐标为（4，6），点 B的坐标是：（2，3）或（2，3）故选：D【点评】此题考查了位似图形的性质此题难度不大，
20、注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用6如图，反比例函数 和正比例函数 y2k 2x 的图象都经过点 A（1，2），若y1y 2，则 x 的取值范围是（ ）A1x 0 B1x1Cx1 或 0x 1 D1x0 或 x1【分析】易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可【解答】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为（1，2），由图象可得在点 A 的右侧，y 轴的左侧以及另一交点的右侧相同横
21、坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值；1x0 或 x1，故选 D【点评】用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；求自变量的取值范围应该从交点入手思考7如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 ABCD的位置，此时 AC 的中点恰好与 D 点重合，AB交 CD 于点 E若 AB3，则AEC 的面积为（ ）A3 B1.5 C D【分析】根据旋转后 AC 的中点恰好与 D 点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD 中，ACD30，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到DAE为 30，进而得到EAC ECA，利用等角对等边得到 AECE，设AECEx，表示出 AD 与
22、 DE，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 EC 的长，即可求出三角形 AEC 面积【解答】解：旋转后 AC 的中点恰好与 D 点重合，即 AD AC AC，在 RtACD 中，ACD30，即DAC60，DAD 60，DAE30 ，EACACD30，AECE，在 Rt ADE 中，设 AEECx ，则有 DEDCECABEC 3x，ADBCAB tan30 3 ，根据勾股定理得：x 2（ 3x ） 2+（ ） 2，解得：x2，EC2，则 SAEC ECAD ，故选：D【点评】此题考查了旋转的性质，含 30 度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟
23、练掌握性质及定理是解本题的关键8抛物线 y ax2+bx+c（a0）中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：x 1 0 1y 2 2 0从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）抛物线与 x 轴的一个交点为（ 2，0）；抛物线与 y 轴的交点为（ 0，2）；抛物线的对称轴是：x 1；在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大A1 B2 C3 D4【分析】由点（ 1， 2）、（0，2）在抛物线 yax 2+bx+c 上结合抛物线的对称性，即可得出抛物线的对称轴为直线 x ，结论错误； 由抛物线的对称轴及抛物线与 x 轴一个交点的坐标，即可得出抛物线与 x 轴的另一交点为（2，0），结论正确； 根据
24、表格中数据，即可找出抛物线与 y 轴的交点为（0，2），结论正确； 根据表格中数据结合抛物线的对称轴为直线x ，即可得出在对称轴左侧，y 随 x 增大而减小，结论 错误综上即可得出结论【解答】解：点（ 1，2）、（0，2）在抛物线 yax 2+bx+c 上，抛物线的对称轴为直线 x ，结论错误；抛物线的对称轴为直线 x ，当 x2 和 x1 时， y 值相同，抛物线与 x 轴的一个交点为（ 2，0），结论正确；点（0， 2）在抛物线 yax 2+bx+c 上，抛物线与 y 轴的交点为（ 0，2），结论 正确； 2 ，抛物线的对称轴为直线 x ，在对称轴左侧，y 随 x 增大而减小，结论 错误故
25、选：B【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键二填空题(本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分)9在 RtABC 中，C90，sinA ，则 tanA 【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答【解答】解：由 sinA 知，可设 a3x，则 c5x ，b4xtanA 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值10一个不透明的盒子中装有 10 个黑球和若干个白球，它们
26、除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验 400 次，其中有 240 次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 15 个【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解【解答】解：共试验 400 次，其中有 240 次摸到白球，白球所占的比例为 0.6，设盒子中共有白球 x 个，则 0.6，解得：x15 ，故答案为：15【点评】本题考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率关键是根据白球的频率得到相应的等量关系11某厂一月份生产产品 50 台，计划二、三月份共生
27、产产品 120 台，设二、三月份平均每月增长率为 x，根据题意，可列出方程为 50（1+x ）+50 （1+x ） 2120 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据“ 计划二、三月份共生产 120 台”，即可列出方程【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为 x，则二月份生产机器为：50（1+x ），三月份生产机器为：50（1+x ） 2；又知二、三月份共生产 120 台；所以，可列方程：50（1+x ）+50（1+x ） 2120故答案是：50（1+x ）+50（1+x ） 2120【点评】本题考查了由实际问题抽象出
28、一元二次方程，可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为 a（1+x） 2b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量12如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1、l 2、l 3 于点 A、B、C ，直线 DF 分别交l1、l 2、l 3 于点 D、E、 F，AC 与 DF 相交于点 H，且 AH2HB，BC5HB，则 的值为 【分析】求出 AB：BC，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果【解答】解：设 BHa，则 AH2a，BC5a，ABAH+BH3a，AB：BC3a：5a3：5，l 1l 2l 3， ，故答案为 【点评】本
29、题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键13如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，折痕为FH，点 C 落在点 Q 处， EQ 与 BC 交于点 G，则 tanEGB 等于 【分析】根据翻折的性质可得 DFEF，设 EFx，表示出 AF，然后利用勾股定理列方程求出 x，从而得到 AF、EF 的长，再求出AEF 和BGE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 BG，然后根据解直角三角形列式计算即可得解【解答】解：由翻折的性质得，DFEF，设 EFx，则 AF6x，点 E 是 AB 的中点，AEBE 63，在 Rt
30、 AEF 中，AE 2+AF2EF 2，即 32+（ 6x） 2x 2，解得 x ，AF6 ，FEG D90，AEF + BEG90，AEF + AFE90，AFE BEG，又AB90，AEF BGE， ，即 ，解得 BG4，tanEGB 故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出AEF 的各边的长，然后利用相似三角形的性质，求出EBG 的各边的长是解题的关键14墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 27 个小
31、正方体【分析】留下靠墙的正方体，以及墙角处向外的一列正方体，依次数出搬走的小正方体的个数相加即可【解答】解：第 1 列最多可以搬走 9 个小正方体；第 2 列最多可以搬走 8 个小正方体；第 3 列最多可以搬走 3 个小正方体；第 4 列最多可以搬走 5 个小正方体；第 5 列最多可以搬走 2 个小正方体9+8+3+5+227 个故最多可以搬走 27 个小正方体故答案为：27【点评】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是依次得出每列可以搬走小正方体最多的个数，难度较大三作图题(本题满分 4 分)15用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作围痕迹如图，已知，线段 b，求作：菱形 ABCD，使ABC
32、，边 BCb【分析】先作MBN ，再在 BM 和 BN 上分别截取 BAb，BCb，然后分别一点 A、C 为圆心，b 为半径画弧，两弧相交于点 D，则四边形 ABCD 满足条件【解答】解：如图，菱形 ABCD 为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作四解答题(本大题满分 74 分，共有 9 道小题)16（8 分）解下列方程：（1）x 25x+20（2）2（x 3） 2x （x3）【分析】（1）公式法求解可得；（2）因
33、式分解法求解可得【解答】解：（1）a1、b5，c2，25412170，则 x ；（2）2（x 3） 2x （ x3）0，（x3）（ x6）0，则 x30 或 x60，解得：x3 或 x6【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键17（6 分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了 8 张扑克牌，将数字为2，3，5，9 的四张牌给小敏，将数字为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：
34、小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等【解答】解：（1）根据题意，我们可以画出如下的树形图：或者：根据题意，我们也可以列出下表：小敏哥哥2 3 5 94 （4，2） （4，3） （4，5） （4，9）6 （6，2） （6，3）
35、 （6，5） （6，9）7 （7，2） （7，3） （7，5） （7，9）8 （8，2） （8，3） （8，5） （8，9）从树形图（表）中可以看出，所有可能出现的结果共有 16 个，这些结果出现的可能性相等而和为偶数的结果共有 6 个，所以小敏看比赛的概率 P（和为偶数） （2）哥哥去看比赛的概率 P（和为奇数）1 ，因为 ，所以哥哥设计的游戏规则不公平；如果规定点数之和小于等于 10 时则小敏（哥哥）去，点数之和大于等于 11 时则哥哥（小敏）去则两人去看比赛的概率都为 ，那么游戏规则就是公平的或者：如果将 8 张牌中的 2、3、4、5 四张牌给小敏，而余下的 6、7、8、9 四张牌给哥哥
36、，则和为偶数或奇数的概率都为 ，那么游戏规则也是公平的（只要满足两人手中点数为偶数（或奇数）的牌的张数相等即可）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比18（6 分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A、C 两点处测得该塔顶端 F 的仰角分别为 48，65，矩形建筑物宽度AD20 m，高度 DC33m计算该信号发射塔顶端到地面的高度 FG（结果精确到1m）（参考数据：sin480.7，cos480.7，tan481.1，sin650.9，cos650.4，tan6
37、5 2.1）【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识求得线段 FG 的长即可【解答】解：如图，延长 AD 交 FG 于点 E（1 分）在 Rt FCG 中，tan ，CG 在 Rt FAE 中，tan ，AE AECGAE DEAD， AD即 ADFG 115.5116答：该信号发射塔顶端到地面的高度 FG 约是 116m【点评】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形19（6 分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度如图，当在点 A 处放置标杆时，李明测得直立的标杆高 A
38、M 与影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处放置同一个标杆，测得直立标杆高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB1.2m ，已知标杆直立时的高为 1.8m，求路灯的高CD 的长【分析】根据 AMEC ，CDEC，BNEC，EAMA 得到 MACD BN，从而得到ABNACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可【解答】解：设 CD 长为 x 米，AMEC，CDEC，BNEC，EAMA ，MACD BN，ECCD x 米，ABNACD， ，即 ，解得：x5.4 经检验，x 5.4 是原方程的解，路灯高 CD 为 5.4 米【点评】本题考查了相似三
39、角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形20（8 分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 AB，BC分别为线段，CD 为双曲线的一部分）：（1）分别求出线段 AB 和曲线 CD 的函数关系式；（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的
40、注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）根据上题求出的 AB 和 CD 的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为 36 时的两个时间，再将两时间之差和 19 比较，大于 19则能讲完，否则不能【解答】解：（1）设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1k 1x+20，把 B（10，40）代入得，k 12，y 12x+20设 C、 D 所在双曲线的解析式为 y2 ，把 C（ 25，40）代入得，k 21
41、000，y 2 （2）当 x1 5 时，y 12 5+2030，当 x230 时， y2 ，y 1y 2第 30 分钟注意力更集中（3）令 y1 36，362x+20，x 18令 y236，36 ，x 2 27.827.8819.819，经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目【点评】本题考查了函数的应用解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值21（8 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 AB 和 AC 的中点，过点 C 作CFAB ，交 DE 的延长线于点 F，连接
42、AF，BF（1）求证：ADE CFE ；（2）若AFB90，试判断四边形 BCFD 的形状，并加以证明【分析】（1）根据三角形的中位线和平行四边形的性质、全等三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以证明结论成立【解答】证明：（1）在ABC 中，点 D，E 分别是边 AB 和 AC 的中点，AD DB， AECE，DEBC，CFAB，DE ，DFBC，四边形 BCFD 是平行四边形，DE DF，BD CF，DE FE ，AD CF，在ADE 和 CFE 中，ADE CFE（SSS）；（2）四边形 BCFD 是菱形，证明：连接 CD，由（1）知 DEFE ，AE
43、 CE，四边形 BCFD 是平行四边形，在AEF 和 CED 中，AEF CED（SAS），AFE CDE，AFCD，AFB DOB，AFB 90 ，DOB 90，即 AFCD，四边形 BCFD 是平行四边形，四边形 BCFD 是菱形【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答22（10 分）某水果店销售某种水果，原来每箱售价 60 元，每星期可卖 200 箱，为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 20箱已知该水果每箱的进价是 40 元，设该水果每箱售价 x 元，每星期的销
44、售量为 y箱（1）求 y 与 x 之间的函数关系式：（2）当销售量不低于 400 箱时，每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？【分析】（1）根据售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数关系即可得到结论（2）设每星期利润为 W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题【解答】解：（1）由题意可得：y200+20 （60x ）20x+1400（0x60）；（2）设每星期利润为 W 元，W（ x40）（20x +1400）20（x55） 2+4500，20x+1400400，x50，200，抛物线开口向下，x50 时， W 最大值 4000 每箱售价定为 50 元时，每星期
45、的销售利润最大，最大利润 4000 元【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型23（10 分）归纳探究把长为 n （n 为正整数） 个单位的线段，切成长为 1 个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次？我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论不妨假设最少能切 m 次，我们来探究 m 与 n 之间的关系如图，当 n1 时，最少需要切 0 次，即 m0如图，当 n2 时，从线段中间最少需要切 1，即 m1如图，当 n3 时，第一次切 1 个单位长的线段，第二次继续切剩余线段 1 个单位长即可，最少需要切 2 次，即 m2如图，当 n4 时，第一次切成两根 2 个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切 2 次，即 m 2如图，当 n5 时，第一次切成 2 个单位长和 3 个单位长的线段将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切 3 次，即 m3仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当 n16 时，所需最少切制次数的方法，如此操作实验，可获得如下表格中的数据：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4
