1、2017-2018 学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中）1如图所示的几何体的俯视图是（ ）A BC D2一元二次方程 x2+4x5 配方后可变形为（ ）A（x+2 ） 25 B（ x+2） 29 C（x 2 ） 29 D（x2） 2213已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则 I 与 R 的函数表达式为（ ）AI BI CI DI4如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，
2、乙的影子 DA 恰好与甲影子 CA 在同一条直线上，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6米，则甲、乙两同学相距（ ）米A1 B2 C3 D55一次函数 yax +b 与反比例函数 y ，其中 ab0，a、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A BC D6如图，在正方形 ABCD 中，AB2，E 是 AD 中点， BE 交 AC 于点 F，DF 的长为（ ）A B C D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）7若关于 x 的方程 x2+3x+k0 的一个根是 1，则 k 的值为 8某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 9某种商品的标价为
3、 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/ 件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为 10关于 x 的方程（ a5 ）x 24x10 有实数根，则 a 满足 11如图，反比例函数 y （k0，x 0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D，若矩形 OABC 的面积 32，则 k 的值为 12如图，在菱形 ABCD 中，B60，BC6 ，E 为 BC 中点，F 是 AB 上一点，G为 AD 上一点，且 BF2 ，FEG 60，EG 交 AC 于点 H，下列结论正确的是 （填序号即可）BEF CHEAG1EHSBEF 3S AGH三、解答题（本大题共 5
4、小题，每小题 6 分，共计 30 分）13用公式法解一元二次方程：2x 27x +6014如图，已知 RtABC 中，ACB90，B30，D 是 AB 的中点，AECD，ACED，求证：四边形 ACDE 是菱形15如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图（1）在图 1 中，作 AD 的中点 P；（2）在图 2 中，作 AB 的中点 Q16已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+2）x+2 k0（1）求证：无论 k 取何值，原方程总有实数根；（2）若原方程的两实根都小于 4，且 k 为正整数，直接写出 k 的值17小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、
5、肉包各 1 个，萝卜包 2 个，这些包子除馅外无其他差别（1）小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少？（2）请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18如图，郑明同学站在 A 处，测得他在路灯 OC 下影子 AP 的长与他的身高相等，都为 1.5m，他向路灯方向走 1m 到 B 处时发现影子刚好落在 A 点（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定光源 O 的位置；（2）求路灯 OC 的高19如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，
6、2），B（3，0），C（1， 1），AC 交 x 轴于点 P（1）ACB 的度数为 ；（2）P 点坐标为 ；（3）以点 O 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，请在图中画出所有符合条件的三角形20某工厂设计了一款成本为 20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价 x（元 件） 30 40 50 60 每天销售量 y（件） 500 400 300 200 （1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得
7、的利润 8000 元？五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21如图，已知矩形 ABCD 和BCEF，AF BE， AF 与 BE 交于点 G，AGB60（1）求证：AFDE ；（2）若 AB6，BC8，求 AF22如图，已知一次函数 y x3 与反比例函数 y 的图象相交于点 A（4，n），与 x 轴相交于点 B（1）填空：n 的值为 ，k 的值为 ；（2）以 AB 为边作菱形 ABCD，使点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在第一象限，求点 D 的坐标；（3）观察反比例函数 y 的图象，当 y3 时，请直接写出自变量 x 的取值范围六、解答题（本大题共 12 分）2
8、3阅读下列材料，并按要求解答【模型介绍】如图，C 是线段 A、B 上一点 E、F 在 AB 同侧，且AB ECF90，看上去像一个“K“，我们称图为“K”型图【性质探究】性质 1：如图，若 ECFC，ACEBFC性质 2：如图，若 ECFC，ACEBFC 且相似比不为 1【模型应用】应用 1：如图，在四边形 ABCD 中，ADC90，AD1，CD2，BC2 ，AB5求 BD应用 2：如图，已知 ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正方形 ABGF、正方形ACDE，AH BC，连接 EF交 AH 的反向延长线于点 K，证明：K 为 EF 中点（1）请你完成性质 1 的证明过程；（2）请分别解答
9、应用 1，应用 2 提出的问题2017-2018 学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中）1如图所示的几何体的俯视图是（ ）A BC D【分析】根据俯视图的作法即可得出结论【解答】解：从上往下看该几何体的俯视图是 D故选：D【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，熟知俯视图的作法是解答此题的关键2一元二次方程 x2+4x5 配方后可变形为（ ）A（x+2 ） 25 B（ x+2） 29 C（x 2 ） 29 D（x2） 221【分析】两边配上一次项系数一半
10、的平方可得【解答】解：x 2+4x5，x 2+4x+45+4，即（x+2） 29，故选：B【点评】本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键3已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则 I 与 R 的函数表达式为（ ）AI BI CI DI【分析】根据函数图象可用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为 I ，再把（6，2）代入可得 k 的值，进而可得函数解析式【解答】解：设用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为 I ，过（6，2），k62 12，I ，故
11、选：A【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式4如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子 DA 恰好与甲影子 CA 在同一条直线上，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6米，则甲、乙两同学相距（ ）米A1 B2 C3 D5【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答【解答】解：设两个同学相距 x 米，ADE ACB， ， ，解得：x1故选：A【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答5一次函数
12、yax +b 与反比例函数 y ，其中 ab0，a、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A BC D【分析】根据一次函数的位置确定 a、b 的大小，看是否符合 ab0，计算 ab 确定符号，确定双曲线的位置【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得 a0，交 y 轴负半轴，则 b0，满足 ab0，ab0，反比例函数 y 的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B、由一次函数图象过二、四象限，得 a0，交 y 轴正半轴，则 b0，满足 ab0，ab0，反比例函数 y 的图象过二、四象限，所以此选项不正确；C、由一次函数图象过一、三象限，得 a0，交 y 轴负半轴，则 b0，满足 a
13、b0，ab0，反比例函数 y 的图象过一、三象限，所以此选项正确；D、由一次函数图象过二、四象限，得 a0，交 y 轴负半轴，则 b0，满足 ab0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选：C 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键6如图，在正方形 ABCD 中，AB2，E 是 AD 中点， BE 交 AC 于点 F，DF 的长为（ ）A B C D【分析】先在 RtABE 中利用勾股定理求出 BE ，再证明AFE CFB，根据相似三角形对应边成比例得出 BF BE ，然后证明ADFABF ，即可得出DFBF 【解答】解：在正方形 ABCD 中，
14、AB2，E 是 AD 中点，BAE 90 ，AE AD AB1，BE AEBC，AFE CFB， ，BF2EF，BF+EFBE，BF BE 在ADF 与 ABF 中，ADF ABF，DF BF 故选：C 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出 BF BE 是解题的关键二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）7若关于 x 的方程 x2+3x+k0 的一个根是 1，则 k 的值为 4 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立把 x1 代入原方程就可以得到一个关于 k 的方程
15、，解这个方程即可求出 k 的值【解答】解：把 x1 代入方程 x2+3x+k0 得到 1+3+k0，解得 k4故本题答案为 k4【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义8某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 5 【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行 3 列，故可得出该几何体的小正方体的个数【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有 4 个小正方体，第二层应该有 1 个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为 4+15 个；故答案为：5【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象
16、能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案9某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/ 件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为 10% 【分析】设该商品每次降价的百分率为 x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其中小于 1 的值即可得出结论【解答】解：设该商品每次降价的百分率为 x，根据题意得：400（1x ） 2324，解得：x 10.1 10%，x 2 1.9（不合题意，舍去）答：该商品每次降价的百分率为 10%故答案为：10%【点评】本题考查了一元二次方
17、程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10关于 x 的方程（ a5 ）x 24x10 有实数根，则 a 满足 a1 【分析】由于 x 的方程（ a5）x 24x10 有实数根，那么分两种情况：（1）当a50 时，方程一定有实数根；（2）当 a50 时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a50 即 a5 时，方程变为4x10，此时方程一定有实数根；（2）当 a50 即 a5 时，关于 x 的方程（ a5） x24x10 有实数根16+4 （a 5）0，a1所以 a 的取值范围为 a1故答案为：a1【点评】本题考查了一元二次方程根的判别
18、式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件11如图，反比例函数 y （k0，x 0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D，若矩形 OABC 的面积 32，则 k 的值为 8 【分析】过点 D 作 DEOA 于点 E，连接 OD，由矩形的性质可知：S AOC S 矩形OABC16，从而可求出ODE 的面积，利用反比例函数中 k 的几何意义即可求出 k的值【解答】解：过点 D 作 DEOA 于点 E，连接 OD，由矩形的性质可知：S AOC S 矩形 OABC16，又ED 是ACO 的中位线，ED CO，S ODE SACO 4 |k|4，k0k8，故答案为：8【
19、点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是求出ODE 的面积，本题属于中等题型12如图，在菱形 ABCD 中，B60，BC6 ，E 为 BC 中点，F 是 AB 上一点，G为 AD 上一点，且 BF2 ，FEG 60，EG 交 AC 于点 H，下列结论正确的是 （填序号即可）BEF CHEAG1EHSBEF 3S AGH【分析】依据BECH60，BEFCHE，即可得到BEFCHE；依据AGHCEH，可得 ，即可得出 AG CE1；过 F 作 FPBC 于 P，依据 EF ， ，即可得到 EH EF ；依据 SCEH 9S AGH ，S CEH SBEF ，可得 9SAGH SB
20、EF ，进而得到 SBEF 4S AGH 【解答】解：菱形 ABCD 中，B60，FEG60，BECH60，BEFCHE120CEH，BEF CHE，故正确； ，又BC6，E 为 BC 中点，BF2， ，即 CH4.5，又ACBC6，AH 1.5，AG CE，AGH CEH， ，AG CE1，故 正确；如图，过 F 作 FPBC 于 P，则BFP 30，BP BF 1，PE 312，PF ，Rt EFP 中，EF ，又 ，EH EF ，故正确；AG CE，BF CE，BEFCHE，AGH CEH，S CEH 9S AGH ，S CEH SBEF ，9S AGH SBEF ，S BEF 4S A
21、GH ，故 错误；故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质的综合运用在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）13用公式法解一元二次方程：2x 27x +60【分析】方程利用公式法求出解即可【解答】解：方程 2x27 x+60，这里 a2，b7，c 6，49481，x ，则 x12，x 21.5【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键14如图，已知 RtABC 中，ACB90，B30，D 是 AB 的中点，A
22、ECD，ACED，求证：四边形 ACDE 是菱形【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和等边三角形的判定定理推知ACD 为等边三角形，则平行四边形 ACDE 是菱形【解答】证明：AECD，ACED，四边形 ACDE 是平行四边形，ACB90，D 为 AB 的中点，CD ABAD，ACB90，B30，CAB60，ACD 为等边三角形，ACCD ，平行四边形 ACDE 是菱形【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形 ACDE 是平行四边形是解决问题的关键15如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 中点，请你仅用
23、无刻度直尺按要求作图（1）在图 1 中，作 AD 的中点 P；（2）在图 2 中，作 AB 的中点 Q【分析】（1）连接 AC、BD 交于点 O，作直线 OM 交 AD 于点 P，点 P 即为所求；（2）在（1）的基础上，连接 PB 交 AC 与 K，作直线 DK 交 AB 于点 Q，点 Q 即为所求；【解答】解：（1）如图点 P 即为所求；（2）如图点 Q 即为所求；【点评】本题考查作图基本作图，矩形的性质，三角形的中线交于一点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型16已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+2）x+2 k0（1）求证：无论 k 取何值，原方程总有实数
24、根；（2）若原方程的两实根都小于 4，且 k 为正整数，直接写出 k 的值【分析】（1）利用根的判别式证明即可；（2）利用因式分解法求出两个解，然后根据 k 为正整数写出 k 的值即可【解答】（1）证明：b 24ac，（k+2） 2412k，k 2+4k+48k ，k 24k+4，（k2） 2，无论 k 取何值，（ k2 ） 20，0，无论 k 取何值，原方程总有实数根；（2）解：因式分解得，（x2）（x k）0，于是得，x 20，x k0，x12，x 2k，原方程的两实根都小于 4，k4，k 为正整数，k1、2、 3【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，难点在于
25、（2）求出方程的两个根17小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、肉包各 1 个，萝卜包 2 个，这些包子除馅外无其他差别（1）小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少？（2）请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率【分析】（1）直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率；（2）直接列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案【解答】解：（1）有豆沙包、肉包各 1 个，蜜枣包 2 个，随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉包的概率是： ；（2）如图所示：，一共有 12 种可能，取出的两个都是萝卜包的有 2 种，故取出的两个
26、都是萝卜包概率为： 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18如图，郑明同学站在 A 处，测得他在路灯 OC 下影子 AP 的长与他的身高相等，都为 1.5m，他向路灯方向走 1m 到 B 处时发现影子刚好落在 A 点（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定光源 O 的位置；（2）求路灯 OC 的高【分析】（1）作射线 PE，AF 交于点 O，点 O 即为所求；（2）设 OCx由 AEOC，可得 ，推出 PCx，AC x1.5，再由BFOC，可得 ，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）光源 O
27、的位置如图所示；（2）设 OCxAEOC， ， ，PCx，ACx1.5，BFOC， ， ，x4.5，答：路灯 OC 的高为 4.5 米【点评】本题考查相似三角形的应用、中心投影、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型19如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，2），B（3，0），C（1， 1），AC 交 x 轴于点 P（1）ACB 的度数为 45 ；（2）P 点坐标为 （ ，0） ；（3）以点 O 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，请在图中画出所有符合条件的三角形【分析】（1）由题意得到三角形 ABC 为等
28、腰直角三角形，即可确定出所求角度数；（2）利用待定系数法求出直线 AC 解析式，即可确定出 P 坐标；（3）以为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，画出相应图形，如图所示【解答】解：（1）ABC90，ABCB ，ABC 为等腰直角三角形，ACB45；故答案为：45；（2）由题意得：A（2，2），C（1，1），设直线 AC 解析式为 ykx +b，把 A 与 C 坐标代入得： ，解得： ，即直线 AC 解析式为 y3x4，令 y0，得到 x ，则 P 的坐标为（ ，0）；故答案为：（ ，0）；（3）如图所示：A 1B1C1 和A 2B2C2 为所求三角形【点评】此题考查了作图位似变换，待定
29、系数法求一次函数解析式，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键20某工厂设计了一款成本为 20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价 x（元 件） 30 40 50 60 每天销售量 y（件） 500 400 300 200 （1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 8000 元？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润单件利润销售量”可得关于 x 的一元二
30、次方程，解之即可得【解答】解：（1）设 y kx+b，根据题意可得 ，解得： ，则 y10x+800；（2）根据题意，得：（x20）（10x +800） 8000，整理，得：x 2100x +24000，解得：x 140 ，x 260，销售单价最高不能超过 45 元/件，x40，答：销售单价定为 40 元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 8000 元【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21如图，已知矩形 ABCD 和BCEF，AF BE， AF 与 BE
31、交于点 G，AGB60（1）求证：AFDE ；（2）若 AB6，BC8，求 AF【分析】（1）欲证明 AFDE，只要证明四边形 ADEF 是平行四边形即可；（2）连接 BD利用勾股定理求出 BD，再证明BDE 是等边三角形即可；【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，AD BC，AD BC ，四边形 BCEF 是平行四边形，BCEF，BCEF ，AD EF，ADEF，四边形 ADEF 是平行四边形，AFDE（2）连接 BD四边形 ABCD 是矩形，BCD90，CDAB6，BC8，BD 10，四边形 ADEF 是平行四边形，AFDE，AGB BED60 ，AFDEBE ，BDE 是等边三角
32、形，AFBEBD10【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型22如图，已知一次函数 y x3 与反比例函数 y 的图象相交于点 A（4，n），与 x 轴相交于点 B（1）填空：n 的值为 3 ，k 的值为 12 ；（2）以 AB 为边作菱形 ABCD，使点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在第一象限，求点 D 的坐标；（3）观察反比例函数 y 的图象，当 y3 时，请直接写出自变量 x 的取值范围【分析】（1）把点 A（4，n）代入一次函数 y x3，得到 n 的值为 3；再把点A（
33、4，3）代入反比例函数 y ，得到 k 的值为 12；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点 B 的坐标为（ 2，0），过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E，过点 D 作 DF x 轴，垂足为 F，根据勾股定理得到 AB ，根据 AAS可得ABE DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点 D 的坐标；（3）根据反比例函数的性质即可得到当 y3 时，自变量 x 的取值范围【解答】解：（1）把点 A（4，n）代入一次函数 y x3，可得 n 433；把点 A（4，3）代入反比例函数 y ，可得 3 ，解得 k12故答案为：3，12（2）一次函数 y x 3 与 x 轴相交于点 B， x30，解
34、得 x2，点 B 的坐标为（2，0），如图，过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E，过点 D 作 DFx 轴，垂足为 F，A（4，3），B（2，0），OE 4，AE3，OB 2，BEOEOB42 2，在 Rt ABE 中，AB ，四边形 ABCD 是菱形，ABCDBC ，ABCD，ABE DCF，AEx 轴，DFx 轴，AEB DFC90 ，在ABE 与 DCF 中，ABE DCF（ASA ），CFBE2，DF AE 3，OF OB+BC+CF2+ +24+ ，点 D 的坐标为（4+ ，3）（3）当 y 3 时，3 ，解得 x4故当 y3 时，自变量 x 的取值范围是 x4 或 x0【点评】本题
35、属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可六、解答题（本大题共 12 分）23阅读下列材料，并按要求解答【模型介绍】如图，C 是线段 A、B 上一点 E、F 在 AB 同侧，且AB ECF90，看上去像一个“K“，我们称图为“K”型图【性质探究】性质 1：如图，若 ECFC，ACEBFC性质 2：如图，若 ECFC，ACEBFC 且相似比不为 1【模型应用】应用 1：如图，在四边形 ABCD 中，ADC90，AD1，CD2，BC2 ，AB5求 B
36、D应用 2：如图，已知 ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正方形 ABGF、正方形ACDE，AH BC，连接 EF交 AH 的反向延长线于点 K，证明：K 为 EF 中点（1）请你完成性质 1 的证明过程；（2）请分别解答应用 1，应用 2 提出的问题【分析】（1）根据 AAS 即可证明；（2）应用 1：如图 2 中，连接 AC，作 BHDC 交 DC 的延长线与 H首先证明符合“k 模型” ，利用性质 2 根据相似三角形的性质即可解决问题；应用 2：如图 中，作 FMKH 于 M，ENHN 于 N由性质 1 可知：ABHFAM， AHCENA，推出 FMAH，AHEN ，推出 FMEN，
37、再证明FKN EKN 即可解决问题；【解答】解：（1）如图中，AECFB 90，ACE+ BCF90， BCF+F90，ACEF，ECCF，ACEBFC（2）应用 1：如图 2 中，连接 AC，作 BHDC 交 DC 的延长线与 H在 Rt ADC 中，ADC90，AD1，CD2，AC ，AC 2+BC2 5+2025， AB25 225，AC 2+BC2 AB2，ACB90，ADCACBCHB90，符合“K ”型图，ACDCBH， ， ，CH2，BH4，DH4，在 Rt BDH 中，BD 4 应用 2：如图 中，作 FMKH 于 M，ENHN 于 N由性质 1 可知：ABH FAM，AHCENA，FMAH，AHEN，FMEN，FKMEKN，MENK90，FKN EKN ，FKKE，K 为 EF 中点【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造模型解决问题，属于中考压轴题
