1、第 1 页 共 10 页2019 年七年级数学上册期末复习 一元一次方程知识点+易错题一元一次方程知识点总结一、等式与方程1等式：（1）定义：含有等号的式子叫做等式（2）性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变若 ab那么 cb等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为 0 的整式，等式的值不变若 那么有 a或 c（ ） 对称性：若 ，则 传递性：若 b， 则 （3）拓展：等式两边取相反数，结果仍相等如果 a，那么 a等式两边不等于 0 时，两边取倒数，结果仍相等如果 b，那么 1b等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质如移项，运用了等式的性质；去分母，运用
2、了等式的性质运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为 0，否则无意义2方程：（1）定义：含有未知数的等式叫做方程（2）说明：方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可未知数：通常设 x、y 、z 为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数未知数次数最高是几就叫几次方程方程有整式方程和分式方程整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程分式方程：分母
3、中含有未知数的方程叫做分式方程二、一元一次方程1一元一次方程的概念：第 2 页 共 10 页（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是 1（次）的整式方程叫做一元一次方程 （2）一般形式： 0axb（a，b 为常数，x 为未知数，且 0a） （3）注意：该方程为整式方程该方程有且只含有一个未知数该方程中未知数的最高次数是 1化简后未知数的系数不为 0如： 2x，它不是一元一次方程未知数在分母中时，它的次数不能看成是 1 次如 3x，它不是一元一次方程2一元一次方程的解法：（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“ ?x”的形式 （2）解方程：求出方程的解
4、的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程（3）移项：定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项 说明：移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变 移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质 移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解（4）解一元一次方程的一般步骤及根据： 去分母等式的性质去括号分配律 移项等式的性质合并合并同类项法则 系数化为 1等式的性质 检验把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等 （在草纸上）（5）一般方法：
5、 去分母， 程两边同时乘各分母的最小公倍数去括号， 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律 移项， 方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号 （一般都是把未知数移到一起）合并同类项，合并的是系数，将原方程化为 axb（ 0）的形式系数化 1， 两边都乘以未知数的系数的倒数检验，用代入法，在草稿纸上算（6）注意：（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）第 3 页 共 10 页分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形； 去分母时，
6、方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想） ； 去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；系数化为 1 时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算） ； 不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质不同 分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为 0 的数或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变3一元一次方程的应用：（
7、1）解决实际应用题的策略： 审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤 设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量 找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程（2）分析问题方法：文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系（3）设未知量方法： 一个应用题，往往涉及到几个
8、未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为 x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程 设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量（4）找等量关系的方法： “等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系标关键词语，抓住关键句子确定等量关系 （比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系 紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根
9、据常见的数量关系确定等量关系 （比如体积公式，单价数量 总价，单产量数量总产量，速度时间路程，工效时间工作总量等这些常见的基本数量关系，就是等量关系） 通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系 借助线段图确定等量关系。线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化对第 4 页 共 10 页于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点： “审” 要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意即弄清已知量、未知量及其相互关系 “设” 设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号“列
10、” 根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来 “解” 解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往会简化计算“验” 检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况“答” 写出答案，一定要答完整，有单位要加单位（6）解应用题关键与核心：根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步） 就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程核心是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的各个部分，从而列出方程（7）
11、实际问题的常见题目类型：基本量、基本关系、等量关系： “和、差、倍、分类问题”：弄清和谁比，比谁多，比谁少 增长量=原有量增长率， 现有量=原有量+ 增长量 “等积变形问题”：锻造前的体积=锻造后的体积 长方体的体积=长宽高， 圆柱的体积=底面积高“打折利润问题”：利润是和成本比的 利润=售价- 进价， 利润率= 利 润 进 价 ， 售价=标价折扣 “行程问题”：（相遇问题和追及问题） 路程=时间速度，时间= 路 程 速 度 ，速度= 路 程 时 间 （注意单位：路程米、千米；时间秒、分、时；速度米秒、 米 分 、千米小时）“销售问题” 总价=单价数量， 总钱数=各部分钱数和“利率（息）问题”
12、 本息和=本金+利息， 利息=本金利率时间（期数） “工程问题” 工作总量=工作时间工作效率， 工作总量=各部分工作量的和数字问题（包括日历中数字规律） 比例分配问题 调配问题 注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要多加练习，培养分析问题解决问题的能力，熟练掌握列方程解应用题的一般方法第 5 页 共 10 页一元一次方程 错题精选一、选择题1.今年“五一”当天，从早晨 8：00 开始每小时进入云阳山景区的游客人数约为 1000 人，同时每小时走出景区的游客人数约为 600 人，已知云阳山上景区游客的饱和人数约为 2000 人，则据此可知“五一”当天
13、该景区游客人数饱和的时间约为（ ）A10：00 B12：00 C13：00 D16：002.某 班级劳动时，将全班同学 分成x个小组，若每小组 11 人，则余下 1 人；若每小组 12 人，则有一组少4 人. 按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？ ( )A3 组 B5 组 C6 组 D7 组某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了 1200 元，其中一个盈利 50%，另一个亏本 20%，在这次买卖中，这家商场（ ）A不赔不赚 B赔 100 元 C赚 100 元 D赚 360 元3.某种商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 10%，则这种商品每件的进价为( )A240 元
14、 B250 元 C280 元 D300 元4.已知方程 与方程 的解相同，则 的值为（ ）A0 B2 C1 D-1 5.关于x的方程ax+3=4x+1 的解为正整数, 则整数a的值为( )A 2 B 3 C 1 或 2 D 2 或 36.方程|x+1|+|x-3|=4 的整数解有( )A2 个 B3 个 C5 个 D无穷多个7.球队训练用的足球是由 32 块黑白相间的牛皮缝制而成的，其 中黑皮 可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为 35，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x，则列出的方程正确的是（ ）A3x=32x B3x=5(32x) C5x=3(32x) D6x=
15、32x8.已知面包店的面包一个 15 元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一个面包就可以打九折，价钱会比现在便宜 45 元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少个面包？（ ）A38 B39 C40 D 419.某市出租车起步价是 5 元（3 公里及 3 公里以内为起步价），以后每公里收费是 1.6 元，不足 1 公里按1 公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示 为 11.4 元，则此出租车行驶的路程可能为（ ）A5.5 公里 B6.9 公里 C7.5 公里 D 8.1 公里10.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加
16、密），接收方由密文明文（解 密）已知加密规则为：明文 a，b，c 对应的密文 a+1，2b+4，3c+9例如明文 1，2，3 对应的密文 2，8，18如果接收方收到密文 7，18，15，则解密得到的明文为（ ）A4，5，6 B6，7，2 C2，6，7 D7，2，611.设一列数a 1，a 2，a 3， a2016中任意三个相邻数之和都是 35,已知a 3=2x,a20=15,a99=3-x,那么a 2016=（ 第 6 页 共 10 页）A2 B5 C15 D18二、填空题12.已知 t 满足方程 ，则 的值为 .13.已知关于 x 的方程 kx=7x 有正整数解，则整数 k 的值为 . 14
17、.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将 转化为分数时，可设 =x，则x=0.3+ x，解得 x= ，即 = .仿此方法，将 化成分数是 .15.有 m 辆校车及 n 个学生，若每辆校车乘坐 40 名学生，则还有 10 名学生不能上车；若每辆校车乘坐 43名学生，则只有 1 名学生不能上车.现有下列四个方程：40m10=43m1； 0143n； 0143n；40m10=43m1.其中正确的是 (请填写相应的序号)16.某超市举办促销活动，全场商品一律打八折，小强买了一件商品比标价少付了 22 元，那么他购买这件商品花了 元 17.如果关 x 的方程 与 的解相同，那么 m 的值是 三
18、、解答题:18.解方程： = .19.解方程：20.某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过 200 元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元，则超过 200 元的部分给予 9 折优惠；第 7 页 共 10 页（3）若所购商品标价超过 500 元，其中 500 元内（含 500 元）的部分按第（2）条给予优惠，超过 500 元的部分给予 8 折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元，则该件家电在商场标 价是多少元？21.为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：居民用水阶梯水价表
19、单位：元/立方米分档 户每月分档用水量x（立方米） 水价第一阶梯 0x15 5.00第二阶梯 15x21 7.00第三阶梯 x21 9.00（1）小明家 5 月份用水量为 14 立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为_元；（2）小明家 6 月份缴纳水费 110 元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为_立方米；（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划 7 月份的水费不超过 180 元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？22.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的 70%收费。（1）某户八月份用电
20、84 千瓦时，共交电费 30.72元，求a（2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？第 8 页 共 10 页23.某 大 型 超 市 元 旦 假 期 举 行 促 销 活 动 ， 规 定 一 次 购 物 不 超 过 100 元 的 不 给 优 惠 ； 超 过 100 元而 不 超 过 300 时 ， 按 该 次 购 物 全 额 9 折 优 惠 ； 超 过 300 元 的 其 中 300 元 仍 按 9 折 优 惠 ， 超 过 部分 按 8 折 优 惠 .小 美 两 次 购 物 分 别 用 了 94.5 元 和 282.8 元 ， 现 小 丽 决
21、定 一 次 购 买 小 美 分 两 次 购买 的 同 样 的 物 品 ， 则 小 丽 应 该 付 款 多 少 元 ？24.一般情况下 不成立，但有些数可以使得它成立.例如：m=n=0 时，我们称使得成立的一对数 m，n 为“相伴数对” ，记为(m，n)。(1) 若(m，1)是“相伴数对” ，则 m= ；(2) (m,n)是“相伴数对”,则代数式 的值为 。25.公 园 门 票 价 格 规 定 如 下 表 ：某 校 初 一 (1)、 (2)两 个 班 共 104 人 去 游 公 园 ， 其 中 (1)班 人 数 较 少 ， 不 足 50 人 经 估 算 ，如 果 两 个 班 都 以 班 为 单
22、位 购 票 ， 则 一 共 应 付 1240 元 ， 问 ： 两 班 各 有 多 少 学 生 ？ 如 果 初 一 (1)班 单 独 组 织 去 游 公 园 ， 作 为 组 织 者 的 你 将 如 何 购 票 才 最 省 钱 ？参考答案1.C2.D3.C第 9 页 共 10 页4.A5.C6.D7.C8.B9.B10.B11.B12.A13.答案为：2； 14.答案为：0 或 6；15.答案为： .16.答案为： ；17.答案为：88；18.答案为219.答案为：x=3.4.20.原方程可化为: 去分母, 得 40x+60=5(1818x)3(1530x), 去括号得40x+60=9090x45
23、+90x, 移项, 合并得 40x=15, 系数化为 1, 得x=21.解：由题意知，若该家电大于 200 元但不超过 500 元，优惠的钱数为 300-3000.9=30 元，因为该家电优惠 330 元，所以该家电一定超过 500 元，设该家电在商场的标价为 x 元，则优惠钱数为(300-3000.9)+(x-500)(1-0.8)=330.解得：x=2000.所以，若某人来该商场购买一件家用电器共 节省330 元，则该件 家电在商场标价为 2000 元.22.解：（1）由表格中数据可得：0x15 时，水价为：5 元/立方米，故小明家 5 月份用水量为 14 立方米，在这个月，小明家需缴纳的
24、水费为：145=70（元）；（2）155=75110，75+67=117110，小明家 6 月份使用水量超过 15 立方米但小于 21 立方米，设小明家 6 月份使用水量为x立方米，75+（x15）7=110，解得：x=20，故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：2015=5（立方米），故答案为：5；（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：117+（a21）9180，解得：a28答：小明家计划 7 月份的水费不超过 180 元，在这个月，小明家最多能用水 28 立方米23.24.解：因 为 1000.9=90 94.5 100， 3000.9=270 282.8，设 小 美 第 二 次 购
25、物 的 原 价 为 x 元 ， 则 (x-300)0.8+3000.9=282.8解 得 ， x=316，所 以 有 两 种 情 况 .情 况 1： 小 美 第 一 次 购 物 没 有 优 惠 ， 第 二 次 购 物 原 价 超 过 300 元 ，则 小 丽 应 付 (316+94.5-第 10 页 共 10 页300)0.8+3000.9=358.4（ 元 ） ，情 况 2： 小 美 第 一 次 购 物 原 价 超 过 100 元 ， 第 二 次 购 物 原 价 超 过 300 元 ； 则 第 一 次 购 物 原价 为 ： 94.50.9=105（ 元 ） ，所 以 小 丽 应 付 (316+105 300)0.8+3000.9=366.8（ 元 ） .因此 ， 小 丽 应 该 付 款 358.4 元 或 366.8 元 .25. (1）m=- ；（2）-3；m=- n，代入得-3；26.解： 设 初 一 (1)班 有 x 人 ， 则 有 13x+11(104-x)=1240， 解 得 ： x=48 即 初 一 (1)班 48 人 ，初 一 (2)班 56 人 ； 解 ： 要 想 享 受 优 惠 ， 由 (1)可 知 初 一 (1)班 48 人 ， 只 需 多 买 3 张 ，5111=561， 4813=624 561， 48 人 买 51 人 的 票 可 以 更 省 钱
