1、第 12 讲 圆周运动的规律及应用考纲要求考情分析命题趋势1.圆周运动中的运动学分析2圆周运动中的动力学分析2016全国卷，16高考对本专题直接考查题型多是选择题，对带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的计算题的考查，也渗透在本专题中确定向心力和半径是求解圆周类问题的关键，对此方法要能熟练应用1描述圆周运动的物理量定义、意义 公式、单位线速度(1)描述做圆周运动的物体运动_快慢_的物理量( v)(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周_相切_(1)v st 2rT(2)单位：_m/s_角速度(1)描述物体绕圆心_转动快慢_的物理量()(2)中学不研究其方向(1) t 2T(2)单位：_rad/s_周期和
2、转速(1)周期是物体沿圆周运动_一圈_的时间(T)(2)转速是物体在单位时间内转过的_圈数_(n)，也叫频率 (f)(1)T ；单位：_s_2rv(2)n 的单位 r/s、r/min(3)f 的单位：_Hz_，f1T向心加速度(1)描述速度_方向_变化快慢的物理量(an)(2)方向指向_圆心_(1)an 2rv2r(2)单位：m/s 2向心力(1)作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的_方向_，不改变线速度的大小(2)方向指向_圆心_(1)Fn m2r m mv2rr42T2(2)单位：N相互关系(1)vr 2rf2rT(2)an r 2v 4 2f2rv2r 42rT2(3)Fn m mr
3、 2m mvm 42f2rv2r 42rT22.匀速圆周运动的向心力(1)作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的_方向_ ，不改变线速度的_大小_.(2)大小：F n_m _mr 2_m _mvm 42f2r.v2r 42rT2(3)方向：始终沿半径指向_圆心_.(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_ 合力_提供，还可以由一个力的_分力_提供3离心运动(1)定义：做_圆周_运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需 _向心力_的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的_惯性_，总有沿着圆周 _切线方向_飞出去的倾向(3)受力特点当
4、Fm 2r 时，物体做_匀速圆周_运动；当 F0 时，物体沿_切线_方向飞出；当 Fm2r 时，物体将逐渐_靠近_圆心，做近心运动1判断正误(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动( )(2)做匀速圆周运动的物体所受合力是保持不变的( )(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比( )(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比( )(5)随圆盘一起匀速转动的物块受重力、支持力和向心力的作用( )(6)匀速圆周运动物体的向心力是产生向心加速度的原因( )(7)做圆周运动的物体所受合力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动( )一 圆周运动中的运动学分析1圆周运动各物理量间的关系2常见的三
5、种传动方式及特点(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即 vAv B(2)摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即 vAv B(3)同轴传动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即 A B解答传动装置类问题的方法(1)确定所研究问题属于哪类传动方式，抓住传动装置的特点同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等(2)结合公式 vr，v 一定时 与 r 成反比， 一定时 v
6、与 r 成正比，判定各点 v、的比例关系，若判定向心加速度 a 的比例，巧用 av 这一规律例 1如图所示的皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动图中三轮半径的关系为 r12 r2，r 3 1.5r1，A、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则 A、B、C 三点的线速度之比为_113_；角速度之比为_122_；周期之比为_211_.解析 因为 A、B 两轮由不打滑的皮带相连，所以相等时间内 A、B 两点转过的弧长相等，即 vAv B，则 vr 知 ，又 B、C 是同轴转动，相等时间内转过的角度相AB r2r1 12等，即 B C，由 vr 知 ，所以vBvC r2r3 12r11.
7、5r1 13vA vB vC113， A B C122，再由 T ，可得2TA TB TC1 211.12 12思维导引 (1)A、B 两点位于两轮边缘靠皮带传动，那么 vA与 vB有什么关系？ A与B有什么关系？(2)B、C 为同轴转动的两点，v B与 vC， B与 C的关系是什么？答案 (1)v Av B， (2) B C， AB r2r1 vBvC r2r3二 圆周运动中的动力学分析解答圆周运动中的动力学问题的分析思路(1)几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等(2)运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力(3)受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周
8、运动时，外界所提供的向心力例 2(2018湖北武汉模拟)( 多选 )如图甲所示，一根细线上端固定在 S 点，下端连一小铁球 A，让小铁球在水平面内做匀速圆周运动，此装置构成一圆锥摆(不计空气阻力) 下列说法中正确的是( AC )A小球做匀速圆周运动时的角速度一定大于 (l 为摆长)glB小球做匀速圆周运动时，受到重力、细线的拉力和向心力作用C另有一个圆锥摆，摆长更大一点，两者悬点相同，如图乙所示，如果改变两小球的角速度，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则 B 球的角速度等于 A 球的角速度D如果两个小球的质量相等，则在图乙中两根细线受到的拉力相等解析 小球受力如图所示，由圆周运动规律可
9、得 Fnmr 2，又 Fnmg tan ，解得 ，rlsin ，可得 (0A，如果两个小球的质量相等，则 TBTA，故选项mgcos D 错误圆周运动中的动力学分析思路 确 定 研究 对 象 对 其 受力 分 析 确 定 轨迹 平 面 找 出 向心 力 由 牛 顿 第 二 定 律确 定 各 量 关 系三 水平转盘中圆周运动物体的临界问题1判断临界状态：有些题目中有“刚好” “恰好” “正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围” “多长时间” “多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点” ，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大” “最小” “至多” “至
10、少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。2确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来3选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律然后再列方程求解例 3(2018江苏苏州调研)如图所示，用一根长为 l1 m 的细线，一端系一质量为m1 kg 的小球(可视为质点 )，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的张力为 FT.求：(sin 370.6， cos 370.8， g 取
11、10 m/s2，结果可用根式表示 )(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度 0 至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为 60，则小球的角速度 为多大？解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运动用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan m lsin ，20解得 ，20glcos 即 0 ，glcos rad/s.522(2)同理，当细线与竖直方向成 60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan mlsin ，解得 2 ，即glcos 2 rad/s.glcos 5答案 (1) rad
12、/s (2)2 rad/s522 5四 竖直面内圆周运动物体的临界问题在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑( 如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等 )，称为 “绳(环)约束模型” ，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等) ，称为“杆(管) 约束模型” 下面对绳、杆模型涉及的临界问题进行比较，分析如下：模型比较项目 轻绳牵球 轻杆牵球图例实例球绳连接、水流星、沿内轨道过山车等球杆连接、过拱桥等(注意过拱桥与球杆连接的区别)受力示意图临界条件根据 mgmv /r，则 v2临 界临界 gr由于杆的支撑作用，v 临界 0最高点受力与运动情况讨论分析能
13、过最高点的条件 vv临界 grFT mgm ，绳、轨道v2r对球产生弹力 FT0，方向指向圆心；不能过最高点的条件v 时，杆对小球有竖直gr向下的拉力 FN，其大小随速度的增大而增大竖直面内圆周运动类问题的解题技巧(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点 v 及杆模型中 v0 这两个临界条件gr(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合 F 向(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联
14、系起来列方程例 4杂技演员表演“水流星” ，在长为 0.9 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示若“水流星”通过最高点时的速率为 3 m/s，则下列说法正确的是 (g 取 10 m/s2)( B )A “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到水的压力均为零C “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D “水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为 5 N解析 当绳的张力恰好为零时，对水和容器整体，根据牛顿第二定律有 mgm ，解v2L得 v m/s3 m
15、/s.可知， “水流星”通过最高点的最小速度为 3 m/s，绳的gL 100.9张力为零，此时整体的加速度为 ag，重力恰好完全提供向心力，处于完全失重状态，所以水对容器底压力为零，水不会从容器中流出，故选项 B 正确例 5(多选 )长为 L 的轻杆，一端固定一个小球 A，另一端固定在光滑的水平轴上，轻杆绕水平轴转动，使小球 A 在竖直面内做圆周运动，小球 A 在最高点的速度为 v，下列叙述中正确的是( BC )Av 的极小值为 glBv 由零增大，向心力也逐渐增大C当 v 由 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大gLD当 v 由 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小gL解析 小球在最高点的最小速
16、度为零，此时重力大小等于杆的支持力，故选项 A 错误；在最高点，根据 F 向 m 得，当 v 由零逐渐增大时，小球向心力也逐渐增大，故选项 Bv2L正确；在最高点，当杆作用力为零时，v ，当 v ，杆提供拉力，有gL gLmgF m ，当 v 由 逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大，故选项 C 正确；在最v2L gL高点，当杆作用力为零时，v ，当 0v 时，杆提供支持力，有 mgFm ，gL gLv2L当 v 由零逐渐增大到 时，杆的弹力逐渐减小，反之当 v 由 逐渐减小时，杆对小球的gL gL弹力逐渐增大，故选项 D 错误1(多选) 如图所示，绳子的一端固定在 O 点，另一端拴一重物在水
17、平面上做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( AC )A转速相同时，绳长的容易断B周期相同时，绳短的容易断C线速度大小相等时，绳短的容易断D线速度大小相等时，绳长的容易断解析 绳子的拉力提供向心力，再根据向心力公式分析设绳子的拉力为 F，则Fm 2rm ，此外，T ，所以，当转速 n 相同，即是周期或角速度相同时，绳长v2r 1n 2r 越大，拉力 F 越大，绳子越容易断，选项 A 正确，B 错误；当线速度 v 相同时，绳长 r越小，拉力 F 越大，绳子越容易断，选项 C 正确，D 错误2(多选) 如图所示，水平转盘上放有 m2 kg 的物体(可视为质点 )，连接物体和转轴的轻绳长 r1 m，轻
18、绳一端套在轴上，在盘转动过程中，绳子长度不变，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的 0.4 倍，绳子足够牢固，在盘转动过程中，物体与转盘始终相对静止，g 取 10 m/s2，则下列说法正确的是 ( AC )A当角速度 11 rad/s 时，绳子的拉力 T10B当角速度 11 rad/s 时，绳子的拉力 T12 NC当角速度 23 rad/s 时，绳子的拉力 T210 ND当角速度 23 rad/s 时，绳子的拉力 T220 N解析 当物体与转盘之间达到最大静摩擦力时，绳子刚开始有弹力，设此时物体的角速度为 0，由牛顿第二定律有 mgm r，解得 02 rad/s；当 10 时，由牛顿第二定律
19、mgT 2m r，解2得 T210 N，选项 C 正确、 D 错误3如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止物体与盘面间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 30，g 取 10 m/s2.32则 的最大值是( C )A rad/s B rad/s5 3C1.0 rad/s D0.5 rad/s解析 物体在最低点最可能出现相对滑动，对物体进行受力分析，应用牛顿第二定律，有 mgcos mgsin m 2r，解得 1.0 rad/s，选项 C 正确4(多选)(2017西安
20、交大附中月考)如图所示，一小球以竖直向上的初速度 v0 从圆心等高处冲入一管道，该管道为 个正圆，半径为 R5 m已知它刚好能够通过管道的最高点，34小球的入口与圆心在同一高度经过管道后，它又沿着光滑导轨刚好可以通过另一个半径为 r 的 正圆轨道若所有衔接处均不损失机械能，不计摩擦，小球直径以及圆管内径可忽34略，g 取 10 m/s2.下列说法正确的是 ( AD )A初速度 v0 的大小为 10 m/sB初速度 v0 的大小为 5 m/s6C右侧圆轨道半径 r 的大小为 5 mD右侧圆轨道半径 r 的大小为 4 m解析 小球刚好能够通过管道的最高点，其速度为 0，从出发点到管道的最高点，由机
21、械能守恒得 mv mgR，解得 v010 m/s，故选项 A 正确，B 错误；小球刚好通过圆轨12 20道最高点，其速度为 v ，从出发点到圆轨道的最高点，由机械能守恒得grmv2mg2 r mv mgR，解得 r4 m，故选项 C 错误， D 正确12 12 20例 1(12 分) 如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径 r0.4 m，最低点处有一小球(半径比 r 小很多) ，现给小球一水平向右的初速度 v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v 0 应当满足什么条件？(g10 m/s 2)答题送检 来自阅卷名师报告错误致错原因扣分(1) 误把绳模型当作了杆模型，最高点临界速度求错
22、3(2) 最高点临界速度求错5(3)题目问的是不脱离圆轨道，还有一种往复运动的情形4规范答题 解析 要使小球能通过最高点小球在最高点临界为mg 得 v 2 m/s.mv2r grmg2r mv mv2，12 20 12得 v0 2 m/s.5gr 5所以小球速度 v02 m/s.5当 v0 较小时，小球不脱离轨道的临界是上升到与圆心等高处，速度恰好减为零据动能定理得mgr0 mv ，12 20得 v0 2 m/s，所以速度 v02 m/s，2gr 2 2要想小球不脱离轨道 v02 m/s 或 v02 m/s.2 5答案 v 02 m/s(8 分) v 02 m/s(4 分)5 21(2017河
23、北衡水诊断)( 多选) “水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型已知绳长为 l，重力加速度为 g，则( CD )A小球运动到最低点 Q 时，处于失重状态B小球初速度 v0 越大，则在 P、Q 两点绳对小球的拉力差越大C当 v0 时，小球一定能通过最高点 P6glD当 v0mQ，L PrBrC，A 齿轮边缘与 B 齿轮边缘线速度大小是相等的，即vA vB，由 v r，可得 ，则 AvC，综上所述可知 vA vBvC， B CA，故选项 A、B、C 错误，D 正确2如图所示，在倾角为 30的光滑斜面上，有一根长为 L0.8 m 的细绳，一端固定在
24、O 点，另一端系一质量为 m0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动若要小球能通过最高点 A(g10 m/s 2，空气阻力不计)，则小球在最低点 B 的最小速度是 ( C )A2 m/s B2 m/s 10C2 m/s D2 m/s5 2解析 小球恰好通过 A 点，受力分析如图所示有 F 向 mgsin .则通过 A 点mv2AL的最小速度 vA 2 m/s.根据机械能守恒定律得 mv mv 2mgLsin ，解gLsin 12 2B 12 2A得 vB 2 m/s，选项 C 正确53. 如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端 O 处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上
25、，并用细线分别连接 Oa 和 ab，且 Oaab，已知 b 球质量为 a 球质量的 3 倍当轻杆绕 O 轴在水平面内匀速转动时，Oa 和 ab 两线的拉力之比为( D )A13 B16C43 D76解析 对 a 球，F TO aF Tab m2Oa；对 b 球，F Tab3m 2(Oaab) 由以上两式得，Oa 和 ab 两线的拉力之比为 76，选项 D 正确4(多选) 变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度挡，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中 A 轮有 48 齿，B 轮有 42 齿，C 轮有 18 齿，D 轮有 12 齿下列说法正确的是( BCD )A该车可变换 3 种不同挡位B该车
26、可变换 4 种不同挡位CA 与 D 轮组合时，是行驶速度最快挡DB 与 D 轮组合时，两轮的角速度之比 B D27解析 齿轮有 AC、AD、BC、BD 四种组合，则可变换 4 种不同挡位；B 与 D 轮组合时，线速度相等，两轮的角速度之比等于齿数反比，即 B D27；行驶速度最快挡为齿数比最大的组合，即 A 与 D 轮组合故选项 A 错误， B、C、D 正确5(2017山西太原模拟)用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一以角速度 旋转的光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为 ，线的张力为 FT，则 FT 随 2 变化的图象是( C )解析 设线长为 L，锥面
27、与竖直方向夹角为 ，当 0 时，小球静止，受重力 mg、支持力 FN 和线的拉力 FT 而平衡，F Tmgcos 0，所以选项 A、B 错误； 增大时，F T增大，F N 减小，当 FN0 时，角速度为 0.当 0 时，小球离开锥面，线与竖直方向夹角变大，设为 ，由牛顿第二定律得FTsin m 2Lsin ，所以 FTmL 2，可知 FT 2 图线的斜率变大，所以选项 C 正确，选项 D 错误6如图所示，一根细线下端拴一个金属小球 P，细线的上端固定在金属块 Q 上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动 (圆锥摆)现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运
28、动(图中 P位置) ，两次金属块 Q 都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断中正确的是( C )A细线所受的拉力变 0 小B小球 P 运动的角速度变小CQ 受到桌面的静摩擦力变大DQ 受到桌面的支持力变大解析 设细线与竖直方向的夹角为 ，细线的拉力大小为 FT，细线的长度为 L.P 球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有 FT ，mgtan mgcos m 2Lsin ，得角速度 ，周期 T ，使小球改到一个更高一些的水平面上gLcos 2做匀速圆周运动时， 增大， cos 减小，则细线拉力 FT 增大，角速度增大，周期 T 减小对 Q 球，由平
29、衡条件得， Q 受到桌面的静摩擦力变大，故选项 A、B 错误，C 正确；金属块 Q 保持在桌面上静止，根据平衡条件知， Q 受到桌面的支持力等于其重力，保持不变故选项 D 错误7(多选) 质量为 m 的小球由轻绳 a、b 分别系于一轻质木架上的 A 和 C 点，绳长分别为 la、l b，如图所示，当轻杆绕轴 BC 以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a 在竖直方向，绳 b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳 b 被烧断的同时轻杆停止转动，则( BC )A小球仍在水平面内做匀速圆周运动B在绳 b 被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大C若角速度 ，小球在垂直于平面 ABC 的竖
30、直平面内摆动2glaD若角速度 ，小球能在竖直平面 ABC 内做完整的圆周运动2gla解析 绳 b 被烧断后，小球在竖直平面内做圆周运动，烧断瞬间具有向上的加速度，处于超重状态，则选项 B 正确；小球恰好到最高点的速度 v ，从最低点到最高点，由gR机械能守恒定律得 m(la)2 2mgla mv2，则最小角速度 ，故选项 A、D 错误；12 12 5gla小球恰好到 A 的等高处，此时速度 v0，从最低点到此处，由机械能守恒定律得，m(la)2mgl a mv 2，则最小角速度 ，故选项 C 正确12 12 2gla8(2017甘肃兰州质检)如图所示，可视为质点的木块 A、B 叠放在一起，放
31、在水平转台上随转台一起绕固定转轴 OO匀速转动，木块 A、B 与转轴 OO的距离为 1 m，A 的质量为 5 kg， B 的质量为 10 kg.已知 A 与 B 间的动摩擦因数为 0.2，B 与转台间的动摩擦因数为 0.3，如木块 A、B 与转台始终保持相对静止，则转台角速度 的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取 g10 m/s 2)( B )A1 rad/s B rad/s2C rad/s D3 rad/s3解析 A 与 B 间的动摩擦因数为 0.2，B 与转台间的动摩擦因数为 0.3，知逐渐增大转台角速度时 B 与 A 先发生相对滑动，由牛顿第二定律 1mAgm A2r，得 rad/
32、s.选项2B 正确9(2017宁夏银川诊断)如图所示，小球 m 可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( B )A小球通过最高点的最小速度至少为 v gRB小球通过最高点的最小速度可以为 0C小球在水平线 ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力D小球在水平线 ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力解析 此题为杆模型，小球在最高点的速度可以为零，选项 A 错误，选项 B 正确；小球在水平线 ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球没有作用力，外侧管壁对小球一定有作用力，选项 C 错误；小球在水平线 ab 以上管道运动时，内侧管壁对小球有没有作用力，要视
33、小球的速度情况而定，选项 D 错误10(2017上海青浦调研)如图甲所示，轻杆一端与质量为 1 kg、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 v 随时间 t 的变化关系如图乙所示，A 、B、C 三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是 1、0、5.g 取 10 m/s2，不计空气阻力下列说法中正确的是 ( D )A轻杆的长度为 0.5 mB小球经最高点时，杆对它作用力方向竖直向下CB 点对应时刻小球的速度为 3 m/sD曲线 AB 段与坐标轴所围
34、图形的“面积”为 0.6 m解析 设杆的长度为 L，小球从 A 到 C 的过程中机械能守恒，得mvA2 2mgL mv ，所以 L m0.6 m故选项 A 错误；若小球在12 12 2C v2C v2A4g 52 1240A 点恰好对杆的作用力是 0，则 mgm ，临界速度 vo m/svA1 m/s.由于小球v20L gL 6在 A 点的速度小于临界速度，所以小球做圆周运动需要的向心力小于重力，杆对小球的作用力的方向向上，是竖直向上的支持力，故选项 B 错误；小球从 A 到 B 的过程中机械能守恒，得mv mgL mv ，所以 vB m/s，故选项 C 错误；由于 y 轴表示的12 2A 1
35、2 2B v2A 2gL 13是小球在水平方向的分速度，所以曲线 AB 段与坐标轴所围图形的面积表示 A 到 B 的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度，即 0.6 m，故选项 D 正确11小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地，如图所示已知握绳的手离地面高度为 d，手与球之间的绳长为 d，重力加速度为 g，忽略手的运动半径和空气阻力34(1)求绳断时球的速度大小 v1 和球落地时的速度大小 v2；(2)求绳能承受的最大拉力；(3)改变绳长，使球重复上
36、述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？解析 (1)设绳断后球飞行时间为 t，由平抛运动规律得竖直方向 d gt2，14 12水平方向 dv 1t，解得 v1 .2gd在竖直方向上有 v 2g d，则2 (1 34)v v 2g d，2 21 (1 34)解得 v2 .52gd(2)设绳能承受的最大拉力大小为 FT，这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为 R d，34对小球在最低点由牛顿第二定律得FT mg ，mv21R解得 FT mg.113(3)设绳长为 l，绳断时球的速度大小为 v3，绳承受的最大拉力不变由牛顿第二定律得
37、FT mg ，mv23l解得 v3 ，83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为 dl，水平位移为 x，时间为 t1，则竖直方向 dl gt ，12 21水平方向 xv 3t1，解得 x4 ，ld l3当 l 时，x 有极大值， xmax d.d2 233答案 (1) (2) mg (3) d2gd52gd 113 d2 23312如图甲所示，在同一竖直平面内的两正对的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，现在最高点 A 与最低点 B 各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离 x 的关系图象如图乙所示，g
38、 取 10 m/s2，不计空气阻力(1)求小球的质量；(2)若小球在最低点 B 的速度为 20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x 的最大值为多少？解析 (1)小球从 A 点到 B 点，由能量守恒定律得mv mg(2 Rx) mv ，12 2B 12 2A对 B 点：F N1 mgm ，v2BR对 A 点：F N2 mgm ，v2AR由牛顿第三定律可得两点压力差FNF N1F N26mg ，2mgxR由题图得纵轴截距 6mg3 N，m0.05 kg.(2)因为图线的斜率 k 1 N/m ，得 R1 m ，2mgR在 A 点小球不脱离轨道的条件为 vA ，Rg结合(1)解得 xm17.5 m.答案 (1)0.05 kg (2)17.5 m
