1、第15讲 全等三角形与尺规作图,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 全等三角形的性质与判定,温馨提示 判定两个三角形全等的条件中至少有一条边对应相 等.,知识点二 角平分线的性质 1.角平分线的性质定理,(1)定理:角平分线上的点到角两边的距离 相等 ;如图,OP平分AOB,PDOA于点D,PCOB于点C,则PC=PD. (2)逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线 上.,2.(1)三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角 的两边对应成比例. (2)如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条 边的对角的两边对应成比例,那么该点与对角顶点的连线是三角
2、 形的一条角平分线.,知识点三 线段垂直平分线的性质,定理:如图,线段AB的垂直平分线为直线MN,则有AM=BM. 推论:若AM=BM,则点M在线段AB的垂直平分线上.,知识点四 三角形中位线定理 三角形中,两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半. 在这个定理中,包含两个结论,一个是位置关系的“平行”,一个 是数量关系的“相等”. 推论:经过三角形一边的中点,且平行于另一边的直线,必平分第 三边.这条推论是应用三角形中位线定理添加辅助线的基础.,定理:如图,ABC中,点D和点E分别是AB和AC的中点,则DE BC,且DE= BC. 推论:若点D为AB的中点,且DEBC,则E为AC的中点
3、,且DE= BC.,知识点五 尺规作图1.尺规作图:限定用直尺(没有刻度)和圆规作图. 2.尺规作图的类型,泰安考点聚焦,考点一 全等三角形的性质和判定 中考解题指导 全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应 边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积 等之间的等量关系.属于泰安中考的必考考点.,例1 如图,AD是ABC的角平分线,DEAC,垂足为E,BFAC交 ED的延长线于点F,若BC恰好平分ABF,AE=2BF.给出下列四个 结论:DE=DF;DB=DC;ADBC;AC=3BF,其中正确的结 论共有 ( A )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,解析 BFAC,C=CBF
4、, BC平分ABF,ABC=CBF, C=ABC,AB=AC, AD是ABC的角平分线, BD=CD,ADBC,故正确; 在CDE与BDF中,CDEBDF(ASA), DE=DF,CE=BF,故正确;,AE=2BF,AC=3BF,故正确, 故选A.,变式1-1 (2018临沂)如图,ACB=90,AC=BC.ADCE,BECE, 垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是 ( B )A. B.2 C.2 D.,解析 BECE,ADCE, E=ADC=90,EBC+BCE=90. BCE+ACD=90, EBC=ACD. 在CEB和ADC中,CEBADC(AAS), BE=DC=1,C
5、E=AD=3. DE=EC-CD=3-1=2,故选B.,考点二 角平分线的性质 中考解题指导 涉及角平分线的应用时,常需作辅助线以便于运 用其性质.,例2 如图,ABCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,AD过点P, 且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是 ( C )A.8 B.6 C.4 D.2,解析 过点P作PEBC于点E,ABCD,PAAB,PDCD, BP和CP分别平分ABC和DCB, PA=PE,PD=PE,PA=PD, PA+PD=AD=8,PA=PD=4, PE=4,故点P到BC的距离是4.,变式2-1 如图,AD是ABC中BAC的平分线,DEAB于点E,S ABC=7
6、,DE=2,AB=4,则AC的长是 ( A )A.3 B.4 C.6 D.5,解析 SABC=7,SABD= ABDE=4,SACD=3,根据角平分线的性 质,ACD中AC边上的高线=DE=2,AC=3.,考点三 线段垂直平分线的性质 中考解题指导 线段垂直平分线中有两组线段相等:线段垂直 平分线上的点到线段两个端点的距离相等;线段被垂足分为两 条相等的线段.,例3 如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B,C为圆心, 以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,B=25,则ACB的度数为 105 .,解析 MN为BC的垂直平分线, B
7、CD为等腰三角形,B=25, BCD=25,CDA=B+BCD,AC=CD,CAD= CDA=50, 在ACD中,ACD=80, ACB=105.,变式3-1 如图,在ABC中,AB=AC,BAC=36,DE是线段AC的 垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示ABC的周长 为 3b+2a .,解析 DE是线段AC的垂直平分线,AE=EC=b,易证B= BEC=72,在BCE中,BC=EC=b,又AC=AB=a+b,ABC的 周长为3b+2a.,考点四 三角形中位线定理 中考解题指导 三角形的中位线定理中,既涉及位置关系,又涉及 数量关系.在具体应用时,应灵活选择应用.尤其当
8、图形中出现多 个线段中点时,往往连接两个中点构造三角形的中位线.,例4 如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F 分别是线段BM、CM的中点.若AB=8,AD=12,则四边形ENFM的周 长为 20 .,解析 M、N分别是边AD、BC的中点,AB=8,AD=12,AM= DM=6, 四边形ABCD为矩形, A=D=90,BM=CM=10, E、F分别是线段BM、CM的中点, EM=FM=5, EN,FN都是BCM的中位线, EN=FN=5, 四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20.,变式4-1 (2018临沂)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边 AB、BC、
9、CD、DA的中点.则下列说法: 若AC=BD,则四边形EFGH为矩形; 若ACBD,则四边形EFGH为菱形; 若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分; 若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正 确的个数是 ( A ),A.1 B.2 C.3 D.4,解析 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线 BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线ACBD时,中点四边形是 矩形,当对角线AC=BD,且ACBD时,中点四边形是正方形,故只 有正确,故选A.,考点五 尺规作图 例5 (2018青岛)已知:如图,ABC,射线BC上一点D. 求作:等腰PBD,使线段BD为等
10、腰PBD的底边,点P在ABC内 部,且点P到ABC两边的距离相等.,解析 如图所示:等腰PBD即为所求.,变式5-1 (2018潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是: (1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点 为C; (2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D; (3)连接BD,BC. 下列说法不正确的是 ( D ),A.CBD=30 B.SBDC= AB2 C.点C是ABD的外心 D.sin2A+cos2D=1,解析 由(1)可知,AB=AC=BC, ABC为等边三角形, A=ACB=ABC=60,SABC= AB
11、2. 由(2)可知CD=AC=BC=AB, CBD=D= ACB=30,SBDC=SABC= AB2,点C是ABD的 外心. 故选项A、B、C说法正确,故选D.,一、选择题 1.如图,下列条件中,不能证明ABCDCB的是 ( D ),随堂巩固训练,A.AB=DC,AC=DB B.AB=DC,ABC=DCB C.BO=CO,A=D D.AB=DC,A=D,2.如图,在方格纸中,以AB为一边作ABP,使以点A,B,P为顶点三 角形与ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则 点P有 ( C )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,3.如图,ABC中,AB=AC,AD是角平
12、分线,DEAB,DFAC,E、F 为垂足,对于结论:DE=DF;BD=CD;AD上任一点到AB、AC 的距离相等;AD上任一点到点B、C的距离相等.其中正确的是 ( D )A. B. C. D.,二、填空题 4.(2018山西)如图,直线MNPQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点 A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:以点A为圆心,以任意 长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;分别以C,D为圆心,大于 CD长为半径作弧,两弧在NAB内交于点E;作射线AE交PQ 于点F.若AB=2,ABP=60,则线段AF的长为 2 .,解析 过点B作BGAF交AF于点G,由尺规作图可知,AF平分NAB,
13、NAF=BAF. MNPQ,NAF=BFA, BAF=BFA,BA=BF=2. BGAF,AG=FG,ABP=60,BAF=BFA=30. 在RtBFG中,FG=BFcosBFA=2 = , AF=2FG=2 .,5.如图,在ABC中,已知1=2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE =3 .,解析 在ABE和ACD中,ABEACD(AAS), AD=AE=2,AC=AB=5, CE=BD=AB-AD=3, 故答案为3.,6.如图,已知ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线, DE交AB于点D,连接CD,CD= 5 .,解析 AB=10,AC=8,BC=6,根据勾股定理逆定理得ABC为 直角三角形,又DE是AC的垂直平分线,点E和点D分别为AC 和AB的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,AB= 10得CD=5.,三、解答题 7.如图,在ABC中,C=60,A=40. (1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留 作图痕迹,不要求写作法和证明); (2)求证:BD平分CBA.,解析 (1)如图1所示:,图1,(2)证明:连接BD,如图2所示:,图2,C=60,A=40,CBA=80, DE是AB的垂直平分线,A=DBA=40, DBA= CBA,BD平分CBA.,
