1、第2讲 代数式与整式,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 代数式及其求值,1.代数式:一般地,用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和开 方)把 数或表示数的字母 连接起来的式子叫做代数式,单独的一个数或字母也是代数式.,2.代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中指明的运算计算出的结果叫做代数式的值.,知识点二 整式的有关概念,1.单项式:由 数或字母的积 组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式,单项式中的 数字因数 叫做这个单项式的系数,单项式中 所有字母的指数的和 叫做这个单项式的次数.,2.多项式: 几个单项式的和 叫做多项式,多项式中的每
2、个单项式叫做多项式的 项 ,不含字母的项叫做 常数项 .在多项式中,次数最高项的次数叫做这个多项式的 次数 .,3.整式: 单项式 和多项式统称为整式. 温馨提示 1.单项式的系数包含前面的符号,当系数是1时,可省 略不写,当系数为-1时,只需要写性质符号“-”. 2.当单项式的系数为带分数时,要把带分数写成假分数. 3.是无理数,不是字母,在确定单项式的系数时,不要错把看作字母.,知识点三 整式的运算,1.整式的加减 (1)同类项:所含 字母相同 ,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. (2)合并同类项:把一个多项式中的同类项合并成一项,叫做合并 同类项.合并的法则是系数相加,所得的
3、结果作为合并后的系数, 字母和字母的指数 不变.,温馨提示 (1)常数项是同类项. (2)整式的加减实质是合并同类项. (3)去括号与添括号: a+(b+c)= a+b+c ;a-(b+c)= a-b-c ;,a+bc =a + (b-c) ;ab+c =a- (b-c) . 温馨提示 (1)去括号时,括号前面是“+”的,直接去掉括号,括号内的项符号不变;括号前面是“-”的,去掉括号后,括号内的项都改变符号;(2)添括号时,括号前面是“+”的,括到括号里的各项的符号都不变;括号前面是“-”的,括到括号里面的各项都改变符号.,2.整式的乘除 (1)幂的运算 aman= am+n (m、n都是正整
4、数); aman= am-n (a0,m、n都是正整数,且mn); (am)n= amn (m、n都是正整数); (ab)n= anbn (n是正整数). (2)整式的乘法 a.单项式乘单项式:n个单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分 别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连 同它的指数作为积的一个因式;,b.单项式乘多项式:用符号表示为m(a+b+c)=am+bm+cm; c.多项式乘多项式:用符号表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. (3)乘法公式 a.平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 ; b.完全平方公式:(ab)2= a22ab+b2 .
5、 温馨提示 1.平方差公式变形:(b+a)(a-b)=a2-b2;(a+b)(b-a)=b2-a2;(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2.,2.完全平方公式变形:(a-b)2=(b-a)2;(-a-b)2=(a +b )2; (a-b)2=(a +b )2-4ab.,(4)整式的除法 a.单项式除以单项式:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因 式;只在除式里含有的字母,则取其倒数,作为商的一个因式; b.多项式除以单项式:用符号表示为(am+bm+cm)m=a+b+c.,知识点四 因式分解,1.因式分解:把一个多项式化为几
6、个整式的 积 的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.,2.因式分解的方法 (1)提公因式法:用式子表示m a+mb+mc= m(a+ b +c ) . 公因式的确定:首先,取各项式系数的最大公约数;然后,取各项相 同的字母;最后,取各项相同字母的最低次数.,(2)公式法:(平方差公式)a2-b2= (a+b)(a-b) ;(完全平方公式)a22ab+b2= (ab)2 . 温馨提示 能用平方差公式进行因式分解的多项式中的两项都 能写成平方的形式,且符号相反;能用完全平方公式进行因式分解 的多项式应符合a22ab+b2的形式,该多项式有两项能写成平方的 形式且符号相同,另外一项是其他
7、两个平方项底数乘积的2倍或-2倍.,泰安考点聚焦,考点一 求代数式的值 中考解题指导 求代数式的值,一般有两种形式:一是直接代入求 值;二是整体代入求值.整体代入求值时,往往需要将代数式进行 变形.,例1 (2017新泰模拟)已知x-2y=3,那么代数式3-2x+4y的值是 ( A ) A.-3 B.0 C.6 D.9 解析 3-2x+4y =3-2(x -2y),把x-2y =3代入得3-23=-3.,变式1-1 若2m-n2=4,则代数式10+4m-2n2的值为 18 .,解析 10+4m-2n2=10+2(2m-n2),把2m-n2=4代入得10+24=18.,变式1-2 已知代数式3x
8、2-4x+6的值为9,则x2- x+6的值为 7 .,解析 由3x2-4x+6=9,得3x2-4x=3,所以x2- x=1, 所以x2- x +6=7.,变式1-3 (2017江苏徐州)已知a+b=10,a-b=8, 则a2-b2= 80 .,解析 因为a2-b2=(a +b )(a-b),且a +b =10,a-b=8, 所以a2-b2=80.方法技巧 运用整体代入法求代数式的值时,可把已知条件直 接代入化简并求值,也可把已知条件适当变形后整体代入求值.,考点二 幂的运算 中考解题指导 进行幂的运算时,牢记幂的运算性质,尤其是同底 数幂相乘和幂的乘方时,不要忽略符号及数字因数.,例2 (20
9、16泰安)下列计算正确的是 ( D ) A.(a2)3=a5 B.(-2a)2=-4a2 C.m3m2=m6 D.a6a2=a4,解析 A.(a2)3=a6,错误;B.(-2a)2=4a2,错误;C.m3m2=m5,错误; D.a6a2=a4,正确.故选D.,变式2-1 (2018枣庄)下列计算正确的是 ( D ) A.a5+a5=a10 B.a3 =a2 C.a2a2=2a4 D.(-a2)3=-a6,解析 a5+a5=2a5,A错误; a3 = =a4,B错误; a2a2=2a3,C错误; (-a2)3=-a6,D正确. 故选D.,变式2-2 若3x=4,9y=7,则3x-2y的值为 .,
10、解析 由9y=7,可得32y=7,又3x=4,所以3x-2y=3x32y= .易错警示 1.同底数幂的乘法易与合并同类项混淆,也易与幂 的乘方混淆.,2.同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算.,考点三 整式的混合运算 中考解题指导 整式的加减就是去括号并合并同类项.去括号时 注意两点:一是括号前面的符号;二是括号外面的数要乘括号内的 每一项.,例3 计算:3a3a2-2a7a2= a5 .,解析 原式=3a5-2a5=a5.,变式3-1 先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中a =-1,b = .,解析 原式=a2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2, 当a=-1,b =
11、 时,原式=2+2=4.,变式3-2 设y = kx ,且k0,若代数式(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)化简的结果为2x2,求k的值.,解析 (x-3y)(2x+y)+y(x+5y)=2x2-5xy-3y2+xy+5y2=2x2-4xy+2y2=2(x-y)2=2x2,x-y=x,则x-kx=x,解得k=0(不符合题意,舍去)或k=2.方法技巧 1.在进行整式的运算时,一般先根据整式的混合运 算的顺序进行运算(能用公式的要运用公式),实数的混合运算要 综合运用绝对值、算术平方根、立方根、三角函数、零指数幂 和负整数指数幂等知识.,2.实数的混合运算常运用运算律和乘法公式.,考点四 因式
12、分解中考解题指导 因式分解的一般步骤:(1)如果多项式的各项有公 因式,那么先提公因式;(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用 公式法、十字相乘法来分解;(3)必须进行到每一个因式都不能再 分解.用一段话来概括:先看有无公因式,再看能否套公式,十字相 乘试一试,分解彻底才合适.,例4 (2018菏泽)若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b-2a2b2-ab3的值为 -48 .,解析 a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2=ab(a+b)2-4ab. a+b=2,ab =-3, 原式=-3(4+12)=-48.,变式4-1 分解因式:9x3-18x2+9x=
13、 9x(x-1)2 .,解析 9x3-18x2+9x=9x(x2-2x+1)=9x(x -1)2.,变式4-2 (2017肥城模拟)分解因式:x3-4x2+4x = x(x-2)2 .,解析 x3-4x2+4x=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.,一、选择题 1.(2018德州)下列运算正确的是 ( C ) A.a3a2=a6 B.(-a2)3=a6 C.a7a5=a2 D.-2mn -mn =-mn,解析 A.a3a2=a5,错误; B.(-a2)3= -a6,错误; C.a7a5=a2,正确; D.-2mn mn =-3mn,错误. 故选C.,随堂巩固训练,2.(2017菏泽)下列运算
14、正确的是 ( C ) A.3x2+4x2=7x4 B.2x33x3=6x3 C.aa-2=a3 D. =- a6b3,解析 A.原式=7x2,故A错误;B.原式=6x6,故B错误; C.原式=a3,故C正确;D.原式=- a6b3,故D错误,故选C.,3.(2017内蒙古通辽)下列说法正确的是 ( D ) A.- x2的系数是 B. a2的系数为 C.3ab2的系数是3a D. xy2的系数是,解析 选项A中的系数是- ,选项B中的系数是 ,选项C中的系 数是3,故选D.,4.(2017泰安新泰一模)把多项式x2+ax+b分解因式得(x+1)(x-3),则 ( B ) A.a=2,b=3 B.
15、a=-2,b=-3 C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-3,解析 (x +1)(x -3)=x2-3x +x -3=x2-2x-3, x2+ax+b =x2-2x -3,a =-2,b =-3.故选B.,5.若x2+4x-4=0,则3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值为 ( B ) A.-6 B.6 C.18 D.30,解析 3(x-2)2-6(x+1)(x -1)=-3(x2+4x)+18,由x2+4x-4=0得x2+4x=4, 所以原式=-34+18=6,故选B.,二、填空题,6.(2017临沂)若xa=3,xb=8,则xa +b= 24 .,解析 xa=3,xb=8,xa +b=xaxb=38=24.,7.若m =2n+1,则m2-4mn +4n2的值是 1 .,解析 m =2n+1,即m - 2n=1, 原式=(m -2n)2=1.,三、解答题,8.(2017菏泽)计算:-12-|3- |+2 sin 45-( -1)2.,解析 原式=-1-( -3)+2 -(2 017+1-2 ) =-1+3- + - 2 018+2 =-2 016+2 .,
