1、4.2 直线、射线、线段第 2 课时 线段的大小比较第 3 课时 线段的性质情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 大家认识下面的两位名人吗？图 4235那么，我们现在来比较一下他们的身高(学生七嘴八舌，发表见解：姚明更高一些) 那要是让潘长江老师站到三楼上，姚明站在地面上呢？(这样就没有可比性)如果我们用线段来表示人的身高，又如何比较线段的长短呢？从而引入课题说明与建议 说明：利用名人，把现实生活中的问题转化为数学中的探索问题，激发学生的学习兴趣，在具体问题中设问，在解答问题 中形成认知冲突，激发学生解决问题的热情建议：重点让学生明白两条线段长短的比较方法，为本节
2、课的学习做好铺垫图 4236悬念激趣 老师用多媒体出示一张生活中“猫狗获取食物”的图片，让学生猜测它们的走法处理方式：先由学生自由发言，然后教师总结你知道小猫和小狗为什么会选择这样的路线吗？难道它们也懂数学？说明与建议 说明：利用生活中可以感知的情境，激发学生的学习兴趣，使学生感受生活中所蕴含的数学道理让学生感受从实际问题中抽象出所要比较的线段长短的过程建议：引导学生结合实际生活理解两点之间的距离的概念：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离命题角度 1 计算线段的和与差解这类题要结合图形，明确所求的线段的和或差是哪两条线段的和或差当题目中没有明确点的位置(点在线段上还是在线 段的延长线上)
3、时，应该全面考虑，注意某些条件下的图形的多样性例 已知线段 AC1，BC3，则线段 AB 的长度是(D)A4 B2 C 2 或 4 D无法确定命题角度 2 利用线段中点及和差求线段的长利用中点的性质得出线段之间的倍分关系是解题的关键，灵活运用线段的和差倍分转化线段之间的数量关系也是解这类题的关键例 九江期末 在直线 m 上顺次取 A，B，C 三点，使得 AB4 cm ，BC 3 cm ，如果O 是线段 AC 的中点，则线段 OB 的长度为(A)A0.5 cm B1 cm C1.5 cm D2 cm命题角度 3 尺规作图画线段的和与差用圆规画线段的和与差，关键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间
4、的数量关系注意作图时保留作图痕迹来图 4237例 如图 4237，已知线段 a，b，c，用直尺和圆规画图( 保留画图痕迹)(1)画一条线段，使它等于 ab；(2)画一条线段，使它等于 ac；并用字母表示出所画线段答案：略命题角度 4 利用两点之间线段最短解决问题两点之间所有的连线中，线段最短根据这条定理可以解决实际问题例 济宁中考改编 把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程用几何知识解释其道理是_两点之间，线段最短_P128 练习1估计下列图中线段 AB 与线段 AC 的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计答案 (1)ABAC；(2)ACAB；(3)ABAC.检验略2如图，已知线段 a，
5、b，作一条线段 ，使它等于 2ab.答案 提示：作射线 AB，在射线 AB 上截取 AC2a，在线段 CA 上作线段 CEb，则线段 AE 的长为 2ab.3如图，点 D 是线段 AB 的中点， C 是线段 AD 的中点，若 AB4 cm，求线段 CD 的长度答案 因为点 D 是 AB 的中点，点 C 是线段 AD 的中点，所以 AD AB2 cm；12CD AD1 cm.12P129 习题 4.2复习巩固1举出生活中一些可以看成直线、射线、线段的例子解：如笔直的公路可以看作一条直线；手电筒发出的光可以看作一条射线；连接两车站之间笔直的公路可以看作线段2如图，已知三点 A，B，C ，(1)画直
6、线 AB；(2)画射线 AC；(3)连接 BC.答案 如图所示：3延长线段 AB 是指按从端点 A 到 B 的方向延长；延长线段 BA 是指按从端点 B 到 A的方向延长，这时也可以说反向延长线段 AB.如图，分别画出线段 AB 的延长线和反向延长线解：如图所示：(1)是线段 AB 的延长线，(2)是线段 AB 的反向延长线4读下列语句，并分别画出图形：(1)直线 l 经过 A，B，C 三点，并且点 C 在点 A 与 B 之间；(2)两条线段 m 与 n 相交于点 P；(3 )P 是直线 a 外一点，过点 P 有一条直线 b 与直线 a 相交于点 Q；(4)直线 l，m，n 相交于点 Q.解：
7、(1)如图所示：(2)如图所示：(3)如图所示：(4)如图所示 ：5画一个正方形，使它的面积是图中正方形面积的 4 倍答案 提示：画一个边长为已知正方形边长的 2 倍的正方形即可，图略6如图，有一张三角形的纸片，用折纸的方法比较边 AB 与 AC 的长短解：ABAC.综合运用7估计图中各组线段的长短，并用刻度尺或圆规验证你的结论答案 提示：要掌握量法和圆规截取法8(1)如图，把原来弯曲的河道改直，A ，B 两地间的河道长度有什么变化？(2)如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这与修一座直的桥相比，对游人观赏湖面风光能起什么作用？用你所学数学知识说明其中的道理解：(1)A，B 两地间的河道长度变短了
8、；(2)能更多地观赏湖面风光，增加 了游人在桥上行走的路程9如图，已知线段 a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于 a2bc.答案 图略提示：作射线 AB，在射线 AB 上截取线段 ACa2b，在线段 CA 上截取 CEc，则线段 AE 为求作的线段10点 A，B ，C 在同一条直线上，AB3 cm，BC 1 cm.求 AC 的长答案 如图点 C 在线段 AB 的延长线上ACABBC314(cm) 如图点 C 在线段 AB 上，ACABBC 312(cm)答：AC 的长为 4 cm 或 2 cm.拓广探索11如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 A 沿表面爬行到顶点 B，怎样爬行路线最短？如果
9、要爬行到顶点 C 呢？说出你的理由答案 提示：应先把立体图形展开为一个平面图形，在平面图形上连接这两点，即为最短的路径，理由：两点之间，线段最短12两条直线相交，有一个交点三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？答案 3，6，规律略当堂检测第 2 课时 线段的长短比较1. 下列说法正确的是（ ）A若 AC AB，则 C 是 AB 的中点12B若 AB2CB，则 C 是 AB 的中点C若 ACBC，则 C 是 AB 的中点 D若 ACBC AB，则 C 是 AB 的中点122. 如图：线段 AB=14cm，C 是 AB 上一点，且 AC=9cm， O 是 AB的中点，则线
10、段 OC 的长度是（ ） A. 11cm B.5cm C.3cm D.2cm3. 比较两条线段的大小，可以测量它们的_作比较，或把其中的一条线段移到_作比较。4. 直线 AB 上有一点 C，满足 AB= 6cm, BC= 4cm,D 为 AC 的中点，求 DB 的长 .5. 已知线段 a、b,（其中 ab）,求作线段 AC.（1）AC=a+b;(2)AC=ab.参考答案：1. D 2. D 3. 长度 另一条线段上4. 解：由题可知，点 C 有两种可能：（1）C 在线段 AB 上，则 AC= 2cm, DC=1 cm, 所以 BD= 5 cm .（2）C 在 AB 的延长线上，则 AC=10
11、cm, 则 AC=BC=5 cm ,所以 BD=1 cm5. 图略.第 3 课时 线段的性质1. 平面上 A、B 两点间的距离是指（ ）A经过 A、B 两点的直线 B射线 AB CA、B 两点间的线段 DA、B 两点间线段的长度2. 如图，从 A 到 B 有 3 条路径，最短的路径是，理由是（ ）A因为是直的 B两点确定一条直线C两点间距离的定义 D两点之间，线段最短3. 某高速路的设计者在经过一座山时准备设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是（ ）A垂线段最短 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线D过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线4. 如图所示，A，B 是两个村庄，
12、若要在河边 L 上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置， 才能使铺设的管道最短.请说明理由5. 在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点 A 处，它要爬到顶点 B 处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？ 说说你的理由。 参考答案：1. D2. D 3. B 4.解：过点 A、B 作线段 AB，与直线 L 的交点 P 为所求水泵站 的位置, 图略.因为两点之间，线段最短5.解：把正方体的正面与右侧面（或上面）展开成平面图形，因为两点之间线段最短，所以蚂蚁可沿点 A-点 EF 的中点（或 CE 的中点）-B 点能力培优专题一 直线、射线、线段的概念与性质1.对于直线 AB
13、，线段 CD，射线 EF，在下列各图中能相交的是（ ）2.下列语句正确的是（ ）来源:学科网 ZXXKA. 画直线 AB5 厘米 B. 过任意三点 A、 B、 C 画直线 ABC. 画射线 OB5 厘米 D.画线段 AB5cm 3.平面上有四个点 A、B、C、 D,根据下列语句画图：(1)画直线 AB、CD 交于 E 点; (2)画线段 AC、BD 交于点 F; (3) 作射线 BC;(4)连结 E、F 交 BC 于点 G; (5)取一点 P,使 P 在直线 AB 上又在直线 CD 上. 4.如图，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线 OA 开始按逆时针方向依
14、次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射线 上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；（3）“2013”在哪条射线上？5.通过阅读所得的启示来回答问题（阅读中的结论可直接用）阅读：在直线上有 n 个不同的点，则此图中共有多少条线段？分析：通过画图尝试，得表格：问题：(1)某学校九年级共有 8 个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班之间赛一场），那么该校初三年级的辩论赛共有多少场次？(2)有一辆客车,往返两地,中途停靠三个车站,问有多少种不同的票价?要准备多少种车票?专题二 两点之间线段最短的应用6.如图，从 A 到 B 最短的路线是（ ） A. AGEB B.
15、ACEBC. ADGEB D. AFEB 7.已知 O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在 OM 上一只蜗牛从 P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）A B C D6=1+2+3直线上点的个数 共有线段条数图形 两者关系2 34513610n=1+2+（n-1 ）(1)2n(1)10=1+2+3+43=1+21=1A1 A2 A1 A3 A1 A2 A2 A2A3 A1 A3 A3A1A4 A2 A5 A4A4 An专题三 与线段有关的计算9.（2012常德）若图 1 中的线段长为 1，将此线
16、段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图 1，再将图 2 中的每一段类似变形，得到图 3，按上述方法继续下去得到图 4，则图 4 中的折线的总长度为（ ）A2 B C D2769674图 1 图 2 图 3 图 410.（2012菏泽）已知线段 AB=8cm，在直线 AB 上画线段 BC 使 BC=3cm，则线段 AC= 11.如图某公司员工分别住在 A、B、C 三个住宅区，A 区有 30 人，B 区有 15 人，C 区有 10人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在三个区选一个区为停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设
17、在 .来源:学科网12.如图，已知 E、F 两点把线段 AB 分成 2:3:4，D 是线段 AB 的中点，FD=24，求：AB 的长. 13.已知线段 AB=10 厘米，直线 AB 上有一点 C，且 BC=4 厘米，M 是线段 AC 的中点，求 AM 的长知识要点：1.直线是向两方无限延伸着的；直线上的一点和它一旁的部分叫射线；直线上两点及两点间的部分叫线段.2.直线没有端点；射线有一个端点；线段有两个端点.3.直线有两种表示方法：用一个小写字母表示;用两个大写字母来表示.射线有两种表示方法：用端点两个大写字母表示，端点写在前面；用一个小写字母表示.线段也有两种表示方法：是用两个端点字母表示；
18、 是用一个小写字母表示.4.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单的说：两点确定一条直线.5.两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间 ，线段最短. 来源:学科网温馨提示：1.直线和射线都不能度量,没有长度，没法比较大小；线段可以度量，有长短之分，可 以比较大小.2.直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸，可反向延长射线，线段不能向任何一方延伸，但可以延长线段，或反向延长线段.方法技巧：1.n 个不同的点最多确定的直线有 123(n1) n(n1)条.122.求两点之间的最短路径问题,一般转化为“两点之间,线段最短”解决.答案：1. B 解析：AB 是一条直线， EF 是从 E 向
19、F 延伸的射线.所以 B 中的图形能相交.2. D 解析：直线、射线无法度量长度，所以 A,C 错；过不在同一直线上的三点无法画出一条直线，故 B 错.3. 解析 如图所示4. 解析：（1）17625，所以 17 和 5 在同一条射线上，即在射线 OE 上；（2）射线 OA 上所有的数除以 6 的余数为 1，；射线 OA 上数字的排列规律：6n5；射线 OB 上数字的排列规律：6n4；射线 OC 上数字的排列规律：6n3；射线 OD 上数字的排列规律：6n2；射线 OE 上数字的排列规律：6n1；射线 OF 上数字的排列规律：6n；（3）20136 的余数为 3，因此 2013 在射线 OC
20、上5.解析：（1）取 n=8,比赛场次为: .28)(2)5 个站点共有 种不同票价,每两站之间要准备往返两种车票，所以需要准备102)5(20 种不同的车票.6. D 解析：从点 A 到点 E 最短的路线是线段 AE,所以从 A 到 B 最短的路线是 AFEB.7. D 解析：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项 A 和 B 错误，又因为蜗牛从 P 点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点 P 处，那 么如果将选项 C、 D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于 OM 上的点 P 应该能够与 OM上的点（ P）重合，而选项C 还原后两个点不能够重合，故选 D8.9. D 解析：第
21、二个图形在第一个图形的长的基础上多了它的长的 ，同样，第三个图形31在第二个图形的基础上，多了其长的 ，第四个图形在第三个图形的基础上，多了其长的31因为第一个线段长为 1；所以第二个图形的折线的总长度为 1(1 ) ；第三个图31 4形的折线的总长度为 (1 ) ；第四个图形的折线的总长度为 (1 ) 34969163 276410. 5cm或者11cm 解析：若点C 在线段AB，则AC=ABBC=83=5（cm）；若点C在线段AB的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）11. A 区 解析：如果设在 A 区，则所有员工步行的路程为：15100+10300=4500 米；如果设在
22、 B 区，则所有员工步行的路程为：30100+10200=5000 米；如果设在 C 区，则所有员工步行的路程为：30300+15200=12000 米；因为 4500600012000，从而确定所选的停车点位应设在 A 区12. 解析：因为 E、F 两点把线段 AB 分成 2:3:4，所以设 AE=2x，EF=3x，FB=4x，则AB=2x+3x+4x=9x.因为 D 是线段 AB 的中点，所以 BD= AB=4.5x.所以 DF=BDBF=4.5x4x=0.5x.12因为 FD=24=0.5x，所以 x=48.所以 AB=948=432.答：AB 的长为 432.13. 解析：（1）当点
23、C 在线段 AB 上时，如图 1，A M C B 因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM=CM= AC， 21又因为 AB=10 厘米，BC=4 厘米，来源:学#科#网 Z#X#X#K所以 AC=ABBC=6 厘米，所以 AM=3 厘米 （2）当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图 2，A M B C 因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM=CM= AC，21又因为 AB=10 厘米，BC=4 厘米，所以 AC=AB+BC=14 厘米，所 以 AM=7 厘米答：AM 和长为 3 厘米或 7 厘米找出搀假金球传说阿基米德给叙拉古王国的国王破译出金匠打造的那顶钝金皇搀进了黄铜以后，国王
24、想起两年前还曾让这个金匠打造一只游戏金球。只惜拿回来以后便和进了其它大小、色泽一样的 25 只金球中去了。叙拉古国王很不放心也想鉴定一下那只金球是否也搀进了黄铜，这个问题当然比皇冠问题要容易多了。以至未能在正式书中留下记载。当时，阿基米德仅用了手边一台无砝码天平且只称了 3 次，就找出了搀假球，圆满地回答了国王的问题。从此，阿基米德作为宫廷科学家得到了国王的信赖。请问如果换了你能否通过这台天平判定金匠打造那只金球有没有搀假，你能说出阿基米德那 3 次是怎样称的？不妨将 26 只球分成 9、9、8 三组：第一称：9、9 两组分置天平两盘。如果天平倾斜，说明金匠打造的那只金球搀了假，而且搀假球就在
25、翘起的（黄铜比重较轻）那 9 只里边；如果天平平衡。我们可进一步检验未称的那 8 只球。二称、三称分下面两种情况进行：（1）如果第一称不平，将翘头的那 9 只平均分成 3 份，把其中两份分置天平左右。如果天平平衡，搀假球一定在第二称未入盘的那 3 只中，如果天平不平，搀假球在翘头那一盘的3 只中，反正范围已缩小在 3 只之中。我们再在有问题的 3 只中取出两只分置天平两边作第3 称。如果不平，因搀假球为第 3 称未入盘那一只。搀假球找出， 问题解决。（2）如果第一称天平平衡。我们将未称的 那 8 只分成 3、3、2 三份。第 2 称将 3、3两份分置天平左右。如果不平。说明搀假球在翘头那盘的 3 只之中，仿前称第 3 次。则可找出那只搀假球。如果第二称天平平衡，则只将所余未称的两只分置天平左右，不平，翘头的那只为搀假球；平，则金匠未曾搀假，问题也解决。
