1、第二十二章二次函数 单元复习题一、选择题1在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（）ABCD2关于二次函数的图象，下列说法错误的是（）A开口向下B对称轴是直线C与x轴没有交点D当时，y随x的增大而减小3已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A0个B1个C2个D3个4根据以下表格中二次函数yax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c0的一个解x的范围是（） x00.511.52yax2+bx+c10.513.57A0x0.5B0.5x1C1x1.5D1.5x25已知实心球运动的高度与水平
2、距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）ABCD6二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）AB函数的最小值为C当时，D7二次函数yax2bxc的图像如图所示，则一次函数ybxa与反比例函数y在同一坐标内的图像大致为()ABCD8已知二次函数，与的部分对应值为：-2-1012-1232？关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是()A当时，函数图象从左到右上升B抛物线开口向上C方程的一个根在-2与-1之间D当时，9在二次函数，与的部分对应值如下表：-20238003则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；当时，随的增大而增大；图象经过点；方程有两个不相等的实数根其中正确的是
3、（）ABCD10已知抛物线 的图像与 轴交于 、 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 .给出下列结论：当 的条件下，无论 取何值，点 是一个定点；当 的条件下，无论 取何值，抛物线的对称轴一定位于 轴的左侧； 的最小值不大于 ；若 ，则 .其中正确的结论有（）个. A1个B2个C3个D4个二、填空题11抛物线的对称轴是直线 12已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点N的坐标为 13在平面直角坐标系中，抛物线经过点若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为 .14某品牌水果冻的高为3cm，底面圆的直径为4cm，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的
4、截面可以近似地看成两条抛物线以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的直角坐标系 （1）以O为顶点的抛物线的函数表达式是 （2）制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是 cm2（不计重叠部分） 三、解答题15已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数表达式16若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.17一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，求水面离桥拱顶的高度的长.四、综合题18如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点. （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标.（2）当时，求二次函数的最大值与最
5、小值的差.（3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为，过点作轴，交直线AD于点，当线段PQ的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围.19已知二次函数（1）求证：二次函数的图像与x轴总有两个交点（2）若二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，求m的取值范围20“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒（1）当
6、时， ；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】解：y=2(x-1)2+3的顶点坐标为（1，3）.故答案为：A.【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.2【答案】B【解析】【解答】解：A、二次函数y=-（x+2）2-3中，二次项系数a=-10，函数图象的开口向下，故此选项正确，不符合题意；B、
7、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，故此选项错误，符合题意；C、二次函数y=-（x+2）2-3中，顶点坐标为（-2，-3），在第三象限，且函数图象的开口向下，所以抛物线与x轴没有交点，故此选项正确，不符合题意；D、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，当x-2时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不符合题意.故答案为：B.【分析】由抛物线的解析式可得：二次项系数a=-10，函数图象的开口向下，对称轴直线是x=-2，顶点坐标为（-2，-3），当x-2时，y随x的增大而增大，当x-2时，y随x的增大而减小，据此一一判断得出答案.3【答案】B【解析】【解答】关于
8、x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1故答案为：B【分析】根据一元二次方程解的个数和二次函数与x轴的交点个数的关系求解即可。4【答案】B【解析】【解答】解：观察表格可知：当x0.5时，y0.5；当x1时，y1，方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5x1.故答案为：B.【分析】观察表格可知：当x0.5时，y-0.50，据此不难得到方程ax2+bx+c0的解的范围.5【答案】B【解析】【解答】将y=0代入，可得： ，解得： x1=3，x2=-1（舍），该同学此次投掷实心球的成绩是3m，故答案为： B.
9、【分析】将y=0代入解析式求出x的值即可。6【答案】B【解析】【解答】解：函数开口朝上，a0；对称轴，则b0；当x=-1时，a-b+c=0，则c=b-a0，A错误 B：最小值在对称轴上取，则最小值为a+b+c，A正确 C：有图像可知，图像与x轴的另一个交点为x=3，当-1x2时，y0，C错误 D：当x=2时，图像在x轴的下方，则y=4a+2b+c0，D错误 故答案为B 【分析】结合函数图象以及二次函数的性质，判断各项系数的正负。7【答案】D【解析】【解答】解：由图像可知，即b0，由一次函数图象性质可排除A，C选项 当x=1时，二次函数y=a+b+c0，对称轴在0和1之间，则，可判断出一次函数图
10、象的位置关系；当x=1时，二次函数的图象在x轴下方，则对应的函数值y=a+b+c0时，图象从左向右下降，抛物线开口向下.x=2与x=-2到对称轴的距离相等，x=2与x=-2对应的函数值相等，当x=2时，y=-1.x=-2与x=-1所对应的函数值符号相反，方程ax2+bx+c=0的一个根在-2与-1之间.故答案为：C.【分析】由表格中的数据可得：x=-1与x=1对应的函数值相等，则对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，3），函数在x=0处取得最大值，据此可判断A、B；根据对称性可得x=2与x=-2对应的函数值相等，据此可判断D；由表格中的数据可得x=-2与x=-1所对应的函数值符号相反，据此判断C
11、.9【答案】D【解析】【解答】解：由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3 时，y=3， c=0 4a+2b+c=0 9a+3b+c=3 解得：a=1，b=-2，c=0，y=x2-2x，c=0，图象经过原点，故正确；a=10， .抛物线开口向上，故错误；x1时，y随x的增大而增大，x1时，y随x的增大 而减小， 故错误；把x=-1代入得，y=3 图象经过点(-1， 3)，故正确；抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(0，0)、(2，0) ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故正确 故答案为D 【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3， 根据此三点可求出二
12、次函数解析式，从而得出抛物线的性质。10【答案】C【解析】【解答】y=ax2+（2-a）x-2=（x-1）（ax+2）则该抛物线恒过点A（1，0）故符合题意；y=ax2+（2-a）x-2（a0）的图象与x轴有2个交点，=（2-a）2+8a=（a+2）20，a-2该抛物线的对称轴为：x= ，无法判定的正负故不一定符合题意；根据抛物线与y轴交于（0，-2）可知，y的最小值不大于-2，故符合题意；A（1，0），B（- ，0），C（0，-2），当AB=AC时， ，解得：a= ,故符合题意综上所述，正确的结论有3个故答案为：C【分析】利用抛物线两点式方程进行判断；根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根
13、据对称轴方程进行计算；利用顶点坐标公式进行解答；利用两点间的距离公式进行解答11【答案】x=2【解析】【解答】解：y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2.故答案为：x-2.【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为x=h，据此解答.12【答案】（3，2）【解析】【解答】解：将代入抛物线得c=-1，抛物线解析式为，轴，N的纵坐标为2， 将y=2代入函数解析式的， 解得x=3或x=-1（舍去），N（3，2）， 故答案为：（3，2） 【分析】先根据二次函数的图象与性质代入点M即可求出抛物线的解析式，再将y=2代入，解一元二次方程即可。13【答案】-1t7【解析】【解答】抛物线经
14、过点，解得：，抛物线解析式为一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，当时，方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，-1t7故答案为：-1t7【分析】利用一元二次方程与二次函数的关系将一元二次方程换位二次函数，再画出函数图象并结合函数图象求解即可。14【答案】（1）（2）【解析】【解答】解：（1）由题意可得A（-2，3）、E（2，3），设以O为顶点的抛物线的解析式为y=ax2，将A（-2，3）代入可得a=，y=x2.（2）设两条抛物线的切点为K，过K作KHOD于点H，过抛物线FGC的顶点G作x轴的垂线交x轴于点M，则K（x，）.令y=x2，得x=，OH=HM=，B
15、C=BO+OH+HM+MC=4+2，S矩形ABCD=ABBC=3(4+2)=(12+)cm2，底面矩形如图所示：S矩形ABCD=4(4+2)=(16+)cm2，2S矩形ABCD+2S矩形ABCD+234=(+80)cm2，制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是(+80)cm2.故答案为：+80.【分析】（1）由题意可得A（-2，3）、E（2，3），设以O为顶点的抛物线的解析式为y=ax2，将A（-2，3）代入求出a的值，据此可得对应的函数表达式；（2）设两条抛物线的切点为K，过K作KHOD于点H，过抛物线FGC的顶点G作x轴的垂线交x轴于点M，则K（x，），代入抛物线解析式中求出x的值，得到OH
16、=HM=，BC=4+2，然后求出矩形ABCD的面积以及底面矩形ABCD的面积，据此求解.15【答案】解：抛物线的顶点是，可设抛物线的函数表达式为，抛物线经过点，解得，抛物线的函数表达式为【解析】【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。16【答案】解：二次函数的对称轴为直线，解得.将代入中，得：，解得，.【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.17【答案】解：水面的宽度为16米，B的横坐标为8，将代入，解得：，米，答：水面离桥拱顶的高度为4米.【解析】【分析】易得B点的横坐标为8，于是将x=8代入抛物线的解析式算出对应
17、的函数值，即可求出OC的长.18【答案】（1）解：点是抛物线 上的点，-(-1)2-b+c=0，-32+3b+c=4，解得b=3，c=4.抛物线的表达式为.，抛物线顶点的坐标为.（2）解：抛物线顶点的坐标为， 当时，随的增大而减小.当肘，在处，取得最大值；在处，取得最小值.当时，二次函数的最大值与最小值的差为.（3）或.【解析】【解答】解：（3）设P（n，-n2+3n+4），A（-1，0），D（3，4），设直线AD的解析式为y=kx+b，0=-k+b3k+b=4解得k=1b=1，y=x+1，Q（n，n+1），当点P在AD之间时，PQ=-n2+3n+4-(n+1)=-n2+2n+3=-(n-1)
18、2+4，PQ随着n的增大而增大，-1n1.当点P在BD之间时，PQ=(n+1)-(-n2+3n+4)=n+1+n2-3n-4=n2-2n-3=(n-1)2-4，PQ随着n的增大而增大，3n4.综上可得：-1n1或3n4.【分析】（1）将A（-1，0）、D（3，4）代入y=-x2+bx+c中可求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式以及顶点M的坐标；（2）由二次函数的性质可得：当2x5时，函数在x=2处取得最大值，在x=5处取得最小值，代入求出最大值与最小值，然后作差即可；（3）设P（n，-n2+3n+4），利用待定系数法求出直线AD的解析式，可得Q（n，n+1），当点P在AD之间时，PQ=-n2
19、+3n+4-(n+1)=-n2+2n+3=-(n-1)2+4，结合二次函数的性质可得n的范围；当点P在BD之间时，同理进行求解.19【答案】（1）解：二次函数，当时，得到，且，二次函数的图像与x轴总有两个交点（2）解：二次函数，当时，得到，且，的根为，二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，方程的一个根大于2，一个根小于1，m+12m-11解得故m的取值范围是【解析】【分析】（1）将二次函数与x轴的交点个数问题转换为根的判别式求解即可；（2）先求出 的根为， 再根据“ 二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1”，列出不等式组m+12m-11，再求出即可。20【答案
20、】（1）400（2）解：由题意得，当时，W最大，最大值为，当每盒售价定为元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元（3）解：他们的说法正确，理由如下： 设日销售额为元，则，当时，最大，最大值为，当日销售利润最大时，日销售额不是最大，即小强的说法正确；当时，解得，抛物线开口向下，当时，当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为故小红的说法正确【解析】【解答】解：（1）当x=60时，日销售量p=500-(60-50)10=500-100=400.故答案为：400.【分析】（1）当x=60时，日销售量减少(60-50)10，利用500减去减少的量即可求出p的值；（2）当每盒售价为x元时，日销售量为500-(x-50)10，根据日销售量(售价-进价)=利润可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；（3）根据日销售量售价=日销售额可得y与x的关系式，由二次函数的性质可得y的最大值，据此判断小强的说法是否正确，令W=8000，求出x的值，进而判断小红的说法.
