1、第二十四章圆 单元复习题一、选择题1已知的半径是，则中最长的弦长是（）ABCD2已知圆的半径为5cm，同一平面内一点到圆心的距离是6cm，则这点在（） A圆外B圆上C圆内D不能确定3如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（）ABCD4如图，AB是O的直径，弦CDAB交于点E. 若BE=10，CD=8，则O的半径为（）A3B4.2C5.8D65下列命题是真命题的是（） A相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等B两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等C线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D菱形的对角线互相平分且相等6如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一
2、点.若，则的度数是（）ABCD7如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（）A经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线B垂线段最短C过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直D过圆外一点所作的圆的两条切线长相等8如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（）ABCD9已知扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的弧长是（）A4B2CD10如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点E，连接并延长交于点，则图中阴影部分的面积为（）ABCD二、填空题11如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若A70，则C的度数是 .12如图，为的直径，P为延长线上的一
3、点，过P作的切线，A为切点，则的半径等于 .13若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 .14如图，边长为6的正方形内接于，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接，分别与交于点G，H，且，有以下结论：；周长的最小值为；随着点E位置的变化，四边形的面积始终为9.其中正确的是 .（填序号） 三、解答题15如图，的直径，、是圆上的两点，求，两点的距离 16如图，是的直径，弦于点E，若，求的长. 17如图，圆是的内切圆，其中，求其内切圆的半径18已知四边形ABCD内接于O，ADC120，求证：ABC是等边三角形19如图所示，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4）
4、，B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）请画出A1B1C1，使A1B1C1与ABC关于原点对称，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）将ABC绕点O逆时针旋转90，画出旋转后得到的A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积四、综合题20如图，交于点，是半径，且于点.（1）求证：；（2）若，求的半径.21如图，与等边的边、分别交于点、，是的直径，过点作于点 （1）求证：是的切线： （2）已知的半径为3，连接，当等边的边长为多少时，与相切？ 22如图，内接于O，交O于点D，交于点E，交O于点F，连接.（1）求证：；（2）若O的半径为3，求的长（结果保留）.
5、23如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D.点E是圆上一点，且，连接交于点F. （1）求证：（2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数. （3）探究线段、之间的数量关系，并证明. 答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】解：的半径是中最长的弦，即直径的长为；故答案为：C.【分析】根据直径是圆中最长的弦即可得出答案.2【答案】A【解析】【解答】解：56，这个点在圆外.故答案为：A.【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆内，据此判断即可得出答案.3【答案】B【解析】【解答】解：
6、如图，在优弧上取一点M，连接AM、CM，则，四边形ABCM是的内接四边形，故答案为：B.【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得AMC的度数，进而根据圆内接四边形的对角互补求出ABC的度数，最后根据邻补角定义即可算出CBD的度数.4【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接OC， 设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x， AB是O的直径，弦CDAB交于点E ，CE=CD=4， 在RtCEO中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2， 即（10-x）2+42=x2， 解得x=5.8. 故答案为：C. 【分析】如图，连接OC，设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，根据垂径定理
7、得CE=4，在RtCEO中，由勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而即可得出答案.5【答案】C【解析】【解答】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等，故A不符合题意；B、两边及两边所夹的角对应相等的两个三角形全等，故B不符合题意；C、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故C符合题意；D、菱形的对角线互相平分且垂直，且每一条对角线平分一组对角，故D不符合题意；故答案为：C【分析】利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可对A作出判断；利用全等三角形的判定定理，可对B作出判断；利用垂直平分线的性质，可对C作出判断；利用菱形的性质，可对D作出判断.6【答案】A【解析】【解答】解
8、：，为的内接四边形，为弧的中点，设，则，在中，解得：，故答案为：A.【分析】由邻补角的性质可得BAD=180-DAE=66，由圆内接四边形的性质可得BCD=180-BAD=114，根据题意可得DAC=DCA，设DAC=DCA=x，则BAC=66-x，BCA=114-x，根据等腰三角形的性质可得ABC=BCA=114-x，然后根据内角和定理进行计算.7【答案】A【解析】【解答】解：如图：连接，作以为直径的圆，两圆交于点Q，又是的半径，是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.故答案为：A.【分析】连接OQ，由题意可得PQO=90，然后根据切线的判定定理进行解答.8【答案】
9、D【解析】【解答】解：如图，优弧上找一点，连接，故答案为：D.【分析】优弧上找一点D，连接AD、DB，根据圆内接四边形的性质可得D=180-m，由圆周角定理可得AOB=2D，据此计算.9【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可得：此扇形的弧长，故答案为：C.【分析】直接根据弧长公式l=（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算.10【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接.，是等边三角形，故答案为：B.【分析】连接OD，由垂径定理可得EC=DE=，根据内角和定理可得B=60，推出OBD是等边三角形，得到DOB=60，由对顶角的性质可得COB=AOF=60，然后求出OE、OC的值，再根据S阴影=S扇
10、形OAF-AOF结合扇形、三角形的面积公式进行计算.11【答案】110【解析】【解答】解：四边形ABCD是O的内接四边形，C+A180，C18070110.故答案为：110.【分析】根据圆内接四边形的性质可得C+A180，据此计算.12【答案】3【解析】【解答】解：连接OA， 是的切线，在中，即，解得，故答案为：3. 【分析】连接OA，根据切线的性质得PAO=90，在RtPAO中，根据勾股定理建立方程可求出OA的长.13【答案】3【解析】【解答】解：设扇形的半径为，由题意可得：解得故答案为：3.【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式进行计算即可.14【答案】【解析】【解答】解：如图，连接 .
11、， .四边形 为正方形， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ， ， ， 的周长为 ，当 最小时， 周长的最小. ，当 最小时， 最小，此时 .如图，过点O作 于点M，作 于点N， ， ， 的周长的最小值为 ，故错误； ， . . ， ，故正确.综上可知正确.故答案为：.【分析】连接OC、OB，根据正方形的性质可得BOC=90，OB=OC，OBG=OCH=45，由同角的余角相等可得BOG=COH，利用ASA证明BOGCOH，据此判断；根据全等三角形的性质可得BG=CH，则BH+BG=BH+CH=BC=6，GBH的周长为6+HG，由勾股定理可得HG=，故当OH、OG最小时，HG最小，此时OHBC
12、，OGAB，过点O作OMBC于点M，作ONAB于点N，则OM=PN=3，利用勾股定理可得HG，据此判断；根据全等三角形的性质可得SBOG=SCOH，推出SBOC=S正方形ABCD，据此判断.15【答案】解： ， ， 的直径 ， ，【解析】【分析】先利用圆周角的性质可得，再利用含30角的直角三角形的性质可得。16【答案】解：如图，连接是的直径，弦于点E，又， ，在中， 【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，将数据代入求出即可。17【答案】解：过B作BDAC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x， 其内切圆的半径为r，根据勾股定理，即，
13、解方程得，BD=，圆是的内切圆，OEAC，OFAB，OGBC，OE=OF=OG=r，SABC=，【解析】【分析】 过B作BDAC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x， 根据勾股定理求出x值，即得AD，利用勾股定理求出BD，根据ABC的面积=ACBD=（AB+BC+AC）r，即可求解.18【答案】证明：四边形ABCD内接于O， ABC+ADC180，ABC180ADC18012060， ，ABAC，又ABC60，ABC是等边三角形【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补得ABC=60，根据等弧所对的弦相等得AB=AC，进而根据有一个角是60的等腰三角形是等
14、边三角形即可得出答案.19【答案】解：（1）如图所示，A1B1C1为所求；A1（-1，-4）B1（-4，-2）C1（-3，-5） （2）如图所示，A2B2C2为所求；OB=线段OB旋转到OB2扫过图形的面积为=【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点坐标的特征求出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点坐标即可；（2）根据旋转的性质可得点A、B、C的对应点，再连接，然后利用扇形面积公式求解即可。20【答案】（1）证明：，是半径，.，即（2）解：如图，连结，.，解得.答：的半径为5.【解析】【分析】（1）由垂径定理可得AF=BF，CF=DF，然后根据线段的和差关系进行证明； （2）连接OC，则
15、CF=DF=4，然后在RtCOF中，根据勾股定理计算即可.21【答案】（1）证明： 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，又 为 的半径， 是 的切线（2）解： 都是 的切线， ， 是等边三角形， ， ， ， ，由（1）得 是等边三角形， ，在 中， ，则 ， ， ，当等边 的边长为9时， 与 相切【解析】【分析】（1）先证明，再结合OD是的半径，可得DF是的切线；（2）根据切线的性质可得，再利用“AAS”证出，可得，再结合，证出 是等边三角形，最后求出即可。22【答案】（1）证明：，四边形为平行四边形，.（2）解：连接，如图，由（1）得，的长.【解析】【分析】（1）由题意
16、可得四边形ABED为平行四边形，则B=D，由圆周角定理可得AFC=B，ACF=D，则AFC=ACF，据此证明；（2）连接AO、CO，由（1）得AFC=ACF，结合内角和定理可得AFC的度数，由圆周角定理可得AOC=2AFC，然后利用弧长公式进行计算.23【答案】（1）证明：连接PE， ABC是等边三角形，ABBC，AACB60，PEBACB60，APEB， ，PBDPBE，BPBP，ABPEBP（AAS），ABEB，EBBC；（2）解：当点P运动时，BFD的度数不会变化， ，DEPEBP，BFDEBPDEB，BFDDEPDEBPEB60，BFD的度数为60；（3）解： ，理由如下： 延长 交于
17、点J， ， ， ， 是等边三角形， ，在 和 中， ， ， ，连接 ， 四边形 是圆的内接四边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即 ，在 和 中， ， ， ， ，即 .【解析】【分析】（1）连接PE，由等边三角形的性质可得ABBC，AACB60，由圆周角定理可得PEBACB60，PBDPBE，利用AAS证明ABPEBP，得到ABEB，据此证明；（2）由圆周角定理可得DEPEBP，由外角的性质可得BFDEBPDEB，则BFDDEPDEB=PEB，据此解答；（3）延长CE、BP交于点J，由圆内接四边形的性质可得ABC+CED=180，结合邻补角的性质可得JEF=ABC=60，推出JEF是等边三角形，EF=JE，根据对顶角的性质结合内角和定理可得JCP=PBA，连接PD，由圆内接四边形的性质可得PCB+PDB=180，结合邻补角的性质可得ADP=PCB=60，推出ADP是等边三角形，的搭配AD=AP，结合线段的和差关系可得PC=DB，利用AAS证明JPCFDB，得到BF=JC，据此证明.
