1、2023年山东省济南市历下区中考三模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 的绝对值是（）A. B. C. 4D. 2. 一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体可能是（）A. B. C. D. 3. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为数字用科学记数法表示是（）A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示位置摆放在直尺上，则的度数为（）A. B. C. D. 5. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是
2、（）A. B. C. D. 7. 从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“红心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丁两位同学的概率是（）A. B. C. D. 8. 在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是（）A. B. C. D. 9. 如图在中，分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，作直线，交于点D，点O为的中点，若，则（ ） A. B. C. 2.5D. 310. 一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取与时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”例如：，在实数范围内任取时， ；当时，所以是“对称函数”在平面内有一点，将点P向右平
3、移三个单位，再向下平移三个单位，得到点Q，当线段与“对称函数”有3个交点时，则n的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：_12. 李老师在墙上挂了一幅如图所示的图案，假设可以在图中随意钉钉子，那么这个钉子钉在阴影部分（边界忽略不计）的概率是_13. 计算：_14. 如图，若将绕点按顺时针方向旋转，得到，那么点B的对应点的坐标是_15. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是_16. 如图，在矩形中， ，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H给出下列判断：；当
4、时，的长度是 线段长度的最小值是 ；当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是_（写出所有正确判断的序号） 三、解答题（本大题共10题，满分86分）17. 计算：18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解19. 如图，平行四边形中，点，在对角线上，且求证：20. 在大数据时代下，提升初中生信息素养是一项实施国家信息化战略、参与国际市场人才竞争的基础性工程某校为了解本校学生信息素养情况，现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的比赛成绩（百分制），按以下六组进行整理（得分用x表示，没有70分以下的同学）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测
5、试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩部分数据为：D组：86，85，87，86，85，89，88；F组的数据为：95，98，99平均数中位数方差七年级83.58513.1八年级83.4b10.0请根据以上信息，完成下列问题：（1） ， ， ；（2）根据统计结果， 年级的成绩更整齐；（3）八年级组测试成绩中位数b是 ，E组所对应的圆心角为 ；（4）若7、8年级各有500人，测试成绩不低于95分，则认定该学生为一等奖请估计该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有多少人？21. 某校无人机兴趣小组为学校“五四青年节庆祝活动”提供空中摄像支持，提前在学校操场上试飞无人机如图1，为了测算无
6、人机飞行高度，兴趣小组进行了如下操作：无人机从C处垂直上升到D处，在此处测得操场两端A，B的俯角分别为，且A，B，C在同一水平线上，已知操场两端米 （1）求无人机飞行的高度（结果保留根号）；（2）如图2，无人机由点D沿水平方向飞行至点F，当时，求飞行的距离（结果精确到1米，）22. 如图，是的直径，点是上方半圆上的一点(不与、重合)，过点作的切线交射线于点，连接（1）求证：；（2）若，求长23. 某学校要为科技活动小组提供实验器材，计划购买、两种型号的放大镜若购买个型放大镜和个型放大镜需用元；若购买个型放大镜和个型放大镜需用元（1）求每个型放大镜和每个型放大镜各多少元；（2）学校计划购买型放大
7、镜和每个型放大镜共个，且型数量不少于型的，则购买、两种型号的放大镜各多少个，才能使总费用最少？24. 如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，菱形对角线交于点，过点的反比例函数与菱形的边交于点（1）求点的坐标和反比例函数的表达式；（2）如图2，连接，求出面积；（3）点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，请直接写出点的横坐标25. 在等腰中， ，点为线段的中点点为直线BC上一动点，连接，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 （1）如图1，当点与点重合时， ，线段与线段的数量关系为 ；（2）如图2，当点在线段上（不与点重合）移动时，请证明线段与线段的数量关系并求出的大小
8、；（3）如图3，点在直线上移动，作点关于直线的对称点，过点作直线交直线于点，请直接写出线段长度的最小值26. 如图1，抛物线C：过点，两点，将抛物线C绕点O旋转，得到新抛物线，抛物线交轴的负半轴于点D，作直线（1）求抛物线的表达式和点D的坐标（2）如图2，过点O作，交抛物线C于点E和F，交抛物线C于点和，求的面积；（3）M是抛物线上任意一点，作直线，交抛物线于另一点N，交抛物线C于点P和点Q，已知相邻两交点间的距离为，求点M的坐标2023年山东省济南市历下区中考三模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 的绝对值是（）A. B. C. 4D. 【答案】A【解析】【分
9、析】负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案【详解】解：故选：A【点睛】本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义2. 一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体可能是（）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据每个选项中的几何体的主视图和左视图，逐项判断即可【详解】A、该圆柱的主视图和左视图是全等的两个矩形，故选项A不符合题意；B、该长方体的主视图和左视图是全等的两个矩形，故选项B不符合题意；C、该三棱柱的主视图是一个矩形两个相邻的矩形，相邻的边是虚线，左视图是一个矩形，故选项C不符合题意；D、该三棱柱的主视图是一个矩形两个相邻的矩形，相邻的边是实线，左视图是一个矩形，故选项
10、D符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键3. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为数字用科学记数法表示是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数【详解】解：用科学记数法表示为故选：B【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键4. 将一副三角板按如图
11、所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可.【详解】如图：，故选C【点睛】本题考查了一副三角板所对应的角度是、和三角形外角的性质.本题容易，解法很灵活.5. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【详解】解：A，B
12、，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合6. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可【详解】解：、，故本选项不符合题意；、，故本选项不符合题意；、，故本选项不符合题意；、，本选项符合题意故选：【点睛】
13、本题考查了单项式乘单项式法则，合并同类项法则，同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记各种法则及正确计算是解此题的关键7. 从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“红心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丁两位同学的概率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到甲、丁两位同学的结果数，然后根据概率公式求解【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲、丁两位同学的结果数为2，所以恰好抽到甲、丁两位同学的概率故选：A【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出
14、符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率8. 在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一次函数与二次函数图象的位置，逐项判断系数的符号即可得出正确选项【详解】A、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项A不符合题意；B、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项B不符合题意；C、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项C不符合题意；D、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项D符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握函数图象的位置与系数间的关
15、系是解题的关键9. 如图在中，分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，作直线，交于点D，点O为的中点，若，则（ ） A. B. C. 2.5D. 3【答案】C【解析】【分析】根据题意可得：是的垂直平分线，得出，求出，然后在直角三角形中，利用勾股定理设未知数求出，再根据直角三角形斜边中线的性质求解.【详解】解：根据题意可得：是的垂直平分线，设，则，在直角三角形中，解得，即，O为的中点，；故选：C.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质等知识，得出、求出是解题的关键.10. 一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值
16、范围内任取与时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”例如：，在实数范围内任取时， ；当时，所以是“对称函数”在平面内有一点，将点P向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到点Q，当线段与“对称函数”有3个交点时，则n的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先确定P、Q在直线上，然后利用分类讨论的方法结合图象解答，当直线经过点时，利用待定系数法解答即可；当直线与函数的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解【详解】解：点，点P在直线上，将直线向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到，点Q在直线上， P、Q在直线上，当直线经过点时，如图，函数的图象与直线
17、恰有3个交点，与线段有2个交点，；当直线与函数的图象的右半侧相切时，函数的图象与直线恰有3个交点，与线段有2个交点，即方程组有一解，方程有两个相等的实数根，解得，综上，函数的图象与线段有2个交点时，故选：B【点睛】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】利用平方差公式进行因式分解【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法
18、对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解12. 李老师在墙上挂了一幅如图所示的图案，假设可以在图中随意钉钉子，那么这个钉子钉在阴影部分（边界忽略不计）的概率是_【答案】#【解析】【分析】先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是，则这个点取在阴影部分的概率是故答案为：【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率13. 计算：_【
19、答案】1【解析】【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果【详解】解：原式故答案为：1【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键14. 如图，若将绕点按顺时针方向旋转，得到，那么点B的对应点的坐标是_【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质作出旋转后的图形，即可得出点B的对应点的坐标【详解】如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点B的对应点的坐标是，故答案是【点睛】本题主要考查了坐标与图形的旋转变换，熟练掌握旋转的性质，正确作出旋转后的图形是解题的关键15. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判
20、别式的意义得到，再解不等式，然后在a的取值范围找出最大的整数即可【详解】解：根据题意得，解得，所以a的最大整数解为1故答案为：1【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根16. 如图，在矩形中， ，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H给出下列判断：；当时，的长度是 线段长度的最小值是 ；当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是_（写出所有正确判断的序号） 【答案】【解析】【分析】利用正切函数的定义即可判断正确；利用同角的余角相等推出
21、，可判断正确；推出点D、G、F三点共线，证明，可判断正确；当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，由于F是线段上的一点，不存在D、G、E三点共线，可判断不正确；证明是等边三角形，可判断【详解】解：连接， 矩形中，故正确；由折叠的性质知是的垂直平分线，故正确；由折叠的性质知，点D、G、F三点共线，连接， 在和中，故正确；，点A、G、B都在以E为圆心，3为半径的圆上，当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，但F是线段上的一点，D、G、E三点不可能共线，故不正确；当点G落在矩形的对角线上时， 由折叠性质知，E是的中点，由知，是等边三角形，的长度是3；由于F是线段上的一点，则点G不会落在矩形的
22、对角线上，故不正确；综上，说法正确，故答案为：【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件三、解答题（本大题共10题，满分86分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】分别根据算术平方根、零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则计算出各数即可【详解】计算： 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知算术平方根、零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值等知识是解题的关键18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解【答案】0，1，2【解析】【分析】分别求出每一个
23、不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案【详解】解：解不等式得，解不等式得，原不等式组的解集是x的非负整数解是，1，2【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19. 如图，平行四边形中，点，在对角线上，且求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质和证明，可得，再利用等角的补角相等可得，由平行线的判定即可得征【详解】证明：四边形是平行四边形，在和中，【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判
24、定和性质，等角的补角相等，平行线的判定和性质掌握平行四边形的性质是解题的关键20. 在大数据时代下，提升初中生的信息素养是一项实施国家信息化战略、参与国际市场人才竞争的基础性工程某校为了解本校学生信息素养情况，现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的比赛成绩（百分制），按以下六组进行整理（得分用x表示，没有70分以下的同学）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩部分数据为：D组：86，85，87，86，85，89，88；F组的数据为：95，98，99平均数中位数方差七年级83.58513.1八年级83
25、.4b10.0请根据以上信息，完成下列问题：（1） ， ， ；（2）根据统计结果， 年级的成绩更整齐；（3）八年级组测试成绩的中位数b是 ，E组所对应的圆心角为 ；（4）若7、8年级各有500人，测试成绩不低于95分，则认定该学生为一等奖请估计该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有多少人？【答案】（1）20；4；15 （2）八 （3）86.5；72 （4）100人【解析】【分析】（1）根据八年级D等级的学生人数为7人，占总调查人数的，求出n的值即可；用调查的总人数减去其他4项的人数即可得出a的值；求出八年级F等级的人数所占百分比即可；（2）根据方差进行判断即可；（3）根据中位数定义进行判断
26、即可；用乘以E组的百分比，求出结果即可；（4）分别求出七、八两个年级信息素养一等奖的学生人数相加即可【小问1详解】解：（人），故答案为：20；4；15【小问2详解】解：，八年级的成绩更整齐；故答案为：八【小问3详解】解：将八年级学生的成绩从小到大进行排序，排在第10的是86，第11的是87，则中位数，E组所对应的圆心角为：故答案为：86.5；72【小问4详解】解：（人），答：可以估算该校七、八两个年级信息素养一等奖的学生共有100人【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联，求中位数，用样本估计总体，解题的关键是数形结合，理解条形统计图和扇形统计图的特点21. 某校无人机兴趣小组为
27、学校“五四青年节庆祝活动”提供空中摄像支持，提前在学校操场上试飞无人机如图1，为了测算无人机飞行高度，兴趣小组进行了如下操作：无人机从C处垂直上升到D处，在此处测得操场两端A，B的俯角分别为，且A，B，C在同一水平线上，已知操场两端米 （1）求无人机飞行的高度（结果保留根号）；（2）如图2，无人机由点D沿水平方向飞行至点F，当时，求飞行的距离（结果精确到1米，）【答案】（1）米 （2）205 米【解析】【分析】（1）根据题意，得到，得到米，根据计算即可（2）过点A作交于点H，证明四边形是矩形，解， 即可【小问1详解】解：，米，在中，解得：米，答：无人机飞行的高度为米【小问2详解】解：过点A作交
28、于点H，四边形是矩形，米， ，在中，（米）， 在中，（米）， （米），答：无人机飞行的距离约为205 米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键22. 如图，是的直径，点是上方半圆上的一点(不与、重合)，过点作的切线交射线于点，连接（1）求证：；（2）若，求长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质可得，再证明，可得，从而得证；（2）连接，由是的直径，得到，证明，根据相似三角形的性质可求得长【小问1详解】证明：连接，切于点，；【小问2详解】解：连接，是的直径，在中，解得：，长为【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理及推
29、论，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是连接过切点的半径23. 某学校要为科技活动小组提供实验器材，计划购买、两种型号的放大镜若购买个型放大镜和个型放大镜需用元；若购买个型放大镜和个型放大镜需用元（1）求每个型放大镜和每个型放大镜各多少元；（2）学校计划购买型放大镜和每个型放大镜共个，且型数量不少于型的，则购买、两种型号的放大镜各多少个，才能使总费用最少？【答案】（1）每个型放大镜元，每个型放大镜元 （2）最省钱的购买方案为：购买个型放大镜，个型放大镜【解析】【分析】（1）设每个型放大镜元，每个B型放大镜y元，根据购买个型放大镜和个型放大镜需用元；若购买个型放大镜和个型放大镜需
30、用元，可得关于，的二元一次方程组，求出结果即可；（2）设购买个型放大镜，则购买个型放大镜，设总费用元，根据型数量不少于型的，求出的取值范围，利用总价单价数量，可得，根据一次函数的性质，求出的最小值即可【小问1详解】解：设每个型放大镜元，每个B型放大镜y元，根据题意得：，解得：， 答：每个型放大镜元，每个型放大镜元；【小问2详解】设购买个型放大镜，则购买个型放大镜，设总费用元，依题意得：，解得：， 根据题意得：，随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 答：最省钱的购买方案为：购买个型放大镜，个型放大镜【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，读懂题意，根据等量关系列出方程组和一次函数
31、是解答本题的关键24. 如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，菱形对角线交于点，过点的反比例函数与菱形的边交于点（1）求点的坐标和反比例函数的表达式；（2）如图2，连接，求出的面积；（3）点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，请直接写出点的横坐标【答案】（1）； （2） （3）或或或【解析】【分析】（1）设与轴交于点，如图，证明，可得，可确定点的坐标，再由点在反比例函图像上，即可得出结论；（2）证明，可得，如图，过点作于点，过点作于点，设，可得，再证明，由可得关于的一元二次方程，解方程后可确定，再利用可得结论；（3）设，分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行讨论即可【小问1详
32、解】解：设与轴交于点，如图，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，菱形对角线交于点，在和中，点在反比例函数图像上，反比例函数的表达式为：，点的坐标为，反比例函数的表达式为；【小问2详解】菱形中，又，如图，过点作于点，过点作于点，设，即，化简得，解得：或（不符合题意，舍去），的面积为；【小问3详解】点为图像上的一动点，轴于点，在中，设，当点在点的左侧时，当时，即，化简得，解得：或，当时，即，化简得，方程没有实数根；当点在点的右侧时，当时，即，化简得，解得：或（不符合题意，舍去），当时，即，化简得，解得：或（不符合题意，舍去），综上所述，符合条件的点的横坐标为或或或【点睛】本题是菱形与反比例函数的综合
33、题，考查了菱形的性质，用待定系数法确定反比例函数关系式，函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，用割补法求三角形的面积，运用了分类讨论的思想掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键25. 在等腰中， ，点为线段的中点点为直线BC上一动点，连接，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 （1）如图1，当点与点重合时， ，线段与线段的数量关系为 ；（2）如图2，当点在线段上（不与点重合）移动时，请证明线段与线段的数量关系并求出的大小；（3）如图3，点在直线上移动，作点关于直线的对称点，过点作直线交直线于点，请直接写出线段长度的最小值【答案
34、】（1）； （2）， （3）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质和旋转的性质即可得出结论；（2）如图，连接，证明，可得，设与交于点，利用三角形外角的性质可得的大小；（3）如图，连接，证明，可得，则的最小值即点与点重合时，即可得出结论【小问1详解】解：等腰中， ，点为线段的中点，当点与点重合时，则，点为线段的中点，线段绕点逆时针旋转得到线段，即点落上，故答案为：；【小问2详解】如图，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，是等边三角形，点为线段的中点，点为线段的中点，在和中，点为线段的中点，设与交于点， 【小问3详解】如图，连接，是等边三角形，点为线段的中点，点是点关于直线的对称点，由（2
35、）知：，点在线段的垂直平分线上运动，的最小值即点与点重合时，是等边三角形，此时点与点重合，的最小值为 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键26. 如图1，抛物线C：过点，两点，将抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线，抛物线交轴的负半轴于点D，作直线（1）求抛物线的表达式和点D的坐标（2）如图2，过点O作，交抛物线C于点E和F，交抛物线C于点和，求的面积；（3）M是抛物线上任意一点，作直线，交抛物线于另一点N，交抛物线C于点P和点Q，已知相邻两交点间的距离为，求点M的
36、坐标【答案】（1）， （2）3 （3）点M的坐标为或或或【解析】【分析】（1）待定系数法求求抛物线的表达式，再根据中心对称的性质求点D的坐标；（2）先根据平行线的性质求出直线的解析式，再求出点的坐标，然后根据即可；（3）分两种情况讨论，根据中心对称的性质，抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线，求出抛物线的解析式，再根据题意求出点的坐标，代入抛物线C的表达式解一元二次方程即可【小问1详解】解：抛物线C：过点，两点，解得：抛物线C的表达式为： ，抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线点A与点D关于原点对称点D的坐标是；【小问2详解】设直线的解析式为：将代入得，解得：， 直线的解析式为：，直线的解析式为，联立， 解得 抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线，；【小问3详解】如图抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线设抛物线C上任意一点，关于点O的对称点为，把点代入抛物线C得：得到物线的解析式为， ，设则，代入抛物线C的表达式为：，得，解得点M坐标为或，如图抛物线C绕点O旋转，得到新的抛物线， ， ，设，则，代入抛物线C的表达式为：，得，解得点M的坐标为和，综上所述，点M的坐标为或或或【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，一次函数的应用，中心对称的性质，待定系数法等知识解答本题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题
