1、2020 年山东省济南市历下区中考数学三模试卷（年山东省济南市历下区中考数学三模试卷（B 卷）卷） 一、选择题 164 的平方根是（ ） A8 B4 C8 D32 2如图，一个几何体由 5 个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（ ） A B C D 3 中国人民解放军海军山东舰是中国首艘自主建造的国产航母， 该舰的满载排水量为 67500 吨，数字 67500 用科学记数法表示为（ ） A67.5104 B6.75104 C0.675105 D6.75105 4如图，DECF，145，230，则BDF 等于（ ） A15 B25 C30 D35 5若 mn，则下列不等式正确的是（
2、） Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n Dm2n2 6窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕 刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案，下列表示我国古代窗棂样式结构图案 中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 7若点 A（x1，1）、B（x2，2）、C（x3，3）在反比例函数 y的图象上，则 x1、 x2、x3的大小关系是（ ） Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx3x1x2 Dx2x1x3 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 与A1B1C1是中心对称图形则对称中心的坐 标是（ ） A（1，1） B（1，0） C（1，1
3、） D（1，2） 9 如图， 统计图反映了我国 2020 年 4 月 14 日至 20 日新型冠状病毒肺炎全国国内新增确诊 和新增境外输入确诊人数趋势，根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ） A统计图中，新增境外输入确诊人数大于国内新增确诊人数的天数有 3 天 B4 月 15 日，我国新增境外输入确诊人数比国内新增确诊人数的 1.9 倍还多 C4 月 14 日至 20 日，我国新增境外输入确诊人数的中位数是 17 例 D4 月 14 日至 20 日，我国国内新增确诊人数的平均数是 15 例 10在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），我们把点 P（1y，x1）叫做点 P 的友好 点，已
4、知点 A1的友好点为 A2，点 A2的友好点为 A3，点 A3的友好点为 A4，这样依次 得到点 A1，A2，A3，A4，若点 A1的坐标为（2，1），则点 A2020的坐标为（ ） A（2，1） B（0，1） C（0，1） D（2，1） 11如图，大楼高 30m，远处有一塔 BC，某人爬到楼顶 D 测得塔顶的仰角为 30，且测得 D、B 相距 30m，则塔高 BC 为（ ）m A40 B45 C30+ D30 12如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象，小明结合图象得到如下结论：对称轴 为直线 x1；b24ac0；方程 ax2+bx+c0 的解是 x13，x21；不等式 ax2+b
5、x+c3 的解为2x0其中正确结论的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13分解因式：a29 14已知方程 5x2+kx60 的一个根是 2，则 k 的值为 15如图，以正五边形 ABCDE 的边 CD 为边作等边CDF，使点 F 在其内部，连结 FE， 则DFE 16若分式的值是 2，则 x 17甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系式；折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y（千米）与 x（小时）之间的函
6、数关系，则货车出发 小 时与轿车相遇 18如图，矩形纸片 ABCD，点 O 是 BD 的中点，点 E 是 BC 上的点，沿 DE 折叠后，点 C 恰好与点 O 重合，若 CD3，则折痕 DE 的长为 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算：32+（2）02cos45 20解不等式组：，并写出它的最小整数解 21已知：ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线与 AD，BC 分别相交于 点 E，F，求证：OEOF 22历下区某中学积极响应国家号召，落实垃圾“分类回收，科学处理“的政策，准备购买 A、B 两种型号的垃圾分
7、类回收箱共 20 只，放在校园各个合适位置，以方便师生进行垃 圾分类投放学校共支付费用 4240 元，A、B 型号价格信息如表： 型号 价格 A 型 200 元/只 B 型 240 元/只 （1）请问学校购买 A 型和 B 型垃圾回收箱各是多少只？ （2）若学校都购买 A 型垃圾回收箱，能节省费用多少元？ 23如图，在ABC 中，ABC60，O 是ABC 的外接圆，过点 A 作O 的切线， 交 CO 的延长线于点 E，CE 交O 于点 D （1）求ACD 的度数； （2）若 AC2，求 DE 的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分面积 24 为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头， 各地教
8、有部门在推迟各级学校开学时间的同时 提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，历下区某校为学生提 供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论为了了解学生的需 求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查， 并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）本次接受问卷调查的学生共有 人，在扇形统计图中“在线听课“所占的百 分比为 ，在扇形统计图中“在线讨论”所对应扇形圆心角为 度 （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有 800 名学生，请你估计该校学生对“在线听课“和“在线答疑“感兴趣 的共有
9、多少人？ （4）若九年级（1）班对“在线讨论“感兴趣的同学有 3 名男生和 2 名女生，班主任想 从中随机挑选 2 名同学参加学校组织的疫情话题讨论活动，请用树状图法或列表法求出 “至少 1 名女生”被选中参加话题讨论的概率 25如图，正比例函数 ykx 与反比例函数 y（m0）的图象交于 A、B 两点，点 A 的 坐标为（1，2），点 C 为反比例函数图象第一象限上的一动点，连接 OC、AC、BC （1）求正比例函数与反比例函数的表达式； （2）作 ADy 轴于点 D，CEx 轴于点 E，且 OAOC 时，求直线 BC 的函数表达式； （3）当AOC 是以 OA 为直角边的直角三角形时，求点
10、 C 的坐标 26直线 mn，点 A、B 分别在直线 m，n 上（点 A 在点 B 的右侧），点 P 在直线 m 上， APAB，连接 BP，将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到 BC，连接 AC 交直线 n 于 点 E，连接 PC，且ABE 为等边三角形 （1） 如图， 当点 P 在 A 的右侧时， 请直接写出ABP 与EBC 的数量关系是 ， AP 与 EC 的数量关系是 （2）如图，当点 P 在 A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由 （3）如图，当点 P 在 A 的左侧时，若PBC 的面积为，求线段 AC 的长 27如图，抛物线 yax
11、2+bx+3 过 A（2，0）、B （6，0）两点，交 y 轴于点 C，对称轴 交 x 轴于点 E，点 D 是其顶点，点 H 为 x 轴上一动点，连接 CD、CH、DH （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点 H 与点 B 重合时，求CDH 的面积； （3）当 DHCD 时，求点 H 的坐标 参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 164 的平方根是（ ） A8 B4 C8 D32 【分析】直接根据平方根的定义即可求解 解：（8）264， 64 的平方根是8， 故选：A 2如图，一个几何体由 5 个
12、大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图， 解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个 小正方形， 故选：D 3 中国人民解放军海军山东舰是中国首艘自主建造的国产航母， 该舰的满载排水量为 67500 吨，数字 67500 用科学记数法表示为（ ） A67.5104 B6.75104 C0.675105 D6.75105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
13、同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：675006.75104 故选：B 4如图，DECF，145，230，则BDF 等于（ ） A15 B25 C30 D35 【分析】先根据平行线的性质求出CFD 的度数，再由三角形外角的性质可得出结论 解：DECF，230， CFD230 145， BDF1CFD453015 故选：A 5若 mn，则下列不等式正确的是（ ） Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n Dm2n2 【分析】根据不等式的性质判断即可 解：mn， m+2n+2，m2n2，2m2n， 故选：C 6窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑
14、的框架结构设计，窗棂上雕 刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案，下列表示我国古代窗棂样式结构图案 中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：A、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 7若点 A（x1，1）、B（x2，2）、C（x3，3）在反比例函数 y的图象上，则 x1、 x2、x3的大小关系是（ ） Ax1x2x3 Bx1
15、x3x2 Cx3x1x2 Dx2x1x3 【分析】把三个点的坐标分别代入 y中，这样可计算出 x1、x2、x3的值，从而可判 断它们的大小 解：把 A（x1，1）、B（x2，2）、C（x3，3）分别代入 y 得 1，2 ，3， 所以 x11，x2 ，x3， 所以 x1x3x2 故选：B 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 与A1B1C1是中心对称图形则对称中心的坐 标是（ ） A（1，1） B（1，0） C（1，1） D（1，2） 【分析】连结 AA1，CC1，两线交点即为对称中心 解：对称中心的坐标是（1，1）， 故选：C 9 如图， 统计图反映了我国 2020 年 4 月 14
16、日至 20 日新型冠状病毒肺炎全国国内新增确诊 和新增境外输入确诊人数趋势，根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ） A统计图中，新增境外输入确诊人数大于国内新增确诊人数的天数有 3 天 B4 月 15 日，我国新增境外输入确诊人数比国内新增确诊人数的 1.9 倍还多 C4 月 14 日至 20 日，我国新增境外输入确诊人数的中位数是 17 例 D4 月 14 日至 20 日，我国国内新增确诊人数的平均数是 15 例 【分析】根据折线统计图所反映的数据，逐个选项进行判断即可 解： 从统计图中科员看出， 新增境外输入确诊人数大于国内新增确诊人数的天数为 4 天， 不是 3 天，因此选项 A
17、不正确； 4 月 15 日，新增境外输入病例为 34 例，而国内新增确诊为 18 例，34181.88（倍）， 因此选项 B 不正确； 将 14 日20 日，新增境外输入确诊病例从小到大排列后，处在第 4 位是 17 例，中位数 是 17，因此选项 C 正确； （13+18+12+14+12+28+9）715.2，因此选项 D 不正确； 故选：C 10在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），我们把点 P（1y，x1）叫做点 P 的友好 点，已知点 A1的友好点为 A2，点 A2的友好点为 A3，点 A3的友好点为 A4，这样依次 得到点 A1，A2，A3，A4，若点 A1的坐标为（2，1），
18、则点 A2020的坐标为（ ） A（2，1） B（0，1） C（0，1） D（2，1） 【分析】根据友好点的定义及点 A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可 发现循环规律，据此可解 解：点 A1的坐标为（2，1）， 根据友好点的定义可得：A1（2，1），A2（0，1），A3（0，1），A4（2，1）， A5（2，1），A6（0，1）， 以此类推，每 4 个点为一个循环， 20204505， 点 A2020的坐标与 A4的坐标相同，为（2，1） 故选：D 11如图，大楼高 30m，远处有一塔 BC，某人爬到楼顶 D 测得塔顶的仰角为 30，且测得 D、B 相距 30m，则塔高 BC
19、 为（ ）m A40 B45 C30+ D30 【分析】 过点 D 作 DEBC 于点 E， 由直角三角形的性质求出 BE15m， 则可得出答案 解：过点 D 作 DEBC 于点 E， BDE30，BD30m， BEBD15m， AD30m， CE30m， BCCE+BE30+1545m 故选：B 12如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象，小明结合图象得到如下结论：对称轴 为直线 x1；b24ac0；方程 ax2+bx+c0 的解是 x13，x21；不等式 ax2+bx+c3 的解为2x0其中正确结论的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】利用抛物线与 x
20、轴的交点为对称点可对进行判断；利用抛物线与 x 轴有 2 个 交点可对进行判断；根据 x3 时，y0；x1 时，y0 可对进行判断；抛物线 的对称性得到点（0，3）关于直线 x1 的对称点为（2，0），然后利用函数图象可 对进行判断 解：抛物线经过点（3，0），（1，0）， 抛物线的对称轴为直线 x1，所以正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以正确； x3 时，y0；x1 时，y0， 方程 ax2+bx+c0 的解是 x13，x21，所以正确； 点（0，3）关于直线 x1 的对称点为（2，0）， 当2x0 时，y3， 即不等式 ax2+bx+c3 的解为2x0，所以正确
21、故选：A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13分解因式：a29 （a+3）（a3） 【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案 解：a29（a+3）（a3） 故答案为：（a+3）（a3） 14已知方程 5x2+kx60 的一个根是 2，则 k 的值为 7 【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值 解：把 2 代入方程有：54+2k60 解得：k7 故答案为：7 15如图，以正五边形 ABCDE 的边 CD 为边作等边CDF，使点 F 在其内部，连结 FE， 则DFE 66 【分析】根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可 解：因为CDF 是等边三角
22、形， 所以CDF60， 因为CDE（52）1805108， 所以EDF1086048， 因为 DEDF， 所以DFE（18048）266 故答案为：66 16若分式的值是 2，则 x 4 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 解：根据题意得：2， 去分母得：x62x10， 解得：x4， 经检验 x4 是分式方程的解 故答案为：4 17甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系式；折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y（千米）与 x
23、（小时）之间的函数关系，则货车出发 3.9 小时 与轿车相遇 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得 OA 段和 CD 对应的函数解析式，然后令 它们相等，求得 x 的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇 解：设 OA 段对应的函数解析式为 ykx， 将（5，300）代入，得：5k300， 解得 k60， 即 OA 段对应的函数解析式为 y60 x， 设 CD 段对应的函数解析式为 yax+b， ， 解得， 即 CD 段对应的函数解析式为 y110 x195， 令 110 x19560 x，得 x3.9， 即货车出发 3.9 小时与轿车相遇， 故答案为：3.9 18如图，矩形纸片 ABCD
24、，点 O 是 BD 的中点，点 E 是 BC 上的点，沿 DE 折叠后，点 C 恰好与点 O 重合，若 CD3，则折痕 DE 的长为 2 【分析】根据图形翻折变换的性质求出 OD，那么 BD2OD，在 RtDBC 中由勾股定理 求出 BC，在 RtBOE 中，设 OEx，利用勾股定理求出 x，然后根据 DEBEBC CE 即可得出结论 解：OED 是CED 翻折而成， ODCD3，OECE，DOEC90， EOBD， 又点 O 是 BD 的中点， BD2OD236，BEDE， 在 RtDBC 中，BD2CD2+BC2， 即 6232+BC2，解得 BC3 ， 在 RtBOE 中，设 OEx，则
25、 BE3x， BE2BO2+OE2，即（3x）232+x2，解得 x， DEBEBCCE32， 故答案为：2 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算：32+（2）02cos45 【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角 函数值计算即可求出值 解：原式9+112 9+11 7 20解不等式组：，并写出它的最小整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 解： 解不等式得：x4， 解不等式得：x1， 则不等式组的解集为 x1， 所
26、以不等式组的最小整数解为1 21已知：ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线与 AD，BC 分别相交于 点 E，F，求证：OEOF 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，即可得 OA OC，又由 OEAD，OFBC，易证得AEOCFO，由全等三角形的对应边相等， 可得 OEOF 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，ADBC， EAOFCO， OEAD，OFBC， AEOCFO90， 在AEO 和CFO 中， AEOCFO（AAS）， OEOF 22历下区某中学积极响应国家号召，落实垃圾“分类回收，科学处理“的政
27、策，准备购买 A、B 两种型号的垃圾分类回收箱共 20 只，放在校园各个合适位置，以方便师生进行垃 圾分类投放学校共支付费用 4240 元，A、B 型号价格信息如表： 型号 价格 A 型 200 元/只 B 型 240 元/只 （1）请问学校购买 A 型和 B 型垃圾回收箱各是多少只？ （2）若学校都购买 A 型垃圾回收箱，能节省费用多少元？ 【分析】（1）设学校购买 A 型垃圾回收箱 x 只，购买 B 型垃圾回收箱 y 只，根据学校购 买两种型号的垃圾回收箱共 20 只且共花费 4240 元，即可得出关于 x，y 的二元一次方程 组，解之即可得出结论； （2） 根据节省的总费用每只节省的费用
28、购买 B 型垃圾回收箱的数量， 即可求出结论 解：（1）设学校购买 A 型垃圾回收箱 x 只，购买 B 型垃圾回收箱 y 只， 依题意，得：， 解得： 答：学校购买 A 型垃圾回收箱 14 只，购买 B 型垃圾回收箱 6 只 （2）（240200）6240（元） 答：能节省费用 240 元 23如图，在ABC 中，ABC60，O 是ABC 的外接圆，过点 A 作O 的切线， 交 CO 的延长线于点 E，CE 交O 于点 D （1）求ACD 的度数； （2）若 AC2，求 DE 的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分面积 【分析】（1）连接 AD，根据圆周角定理得到CAD90，ADCAB
29、C60， 根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）连接 OA，根据余弦的定义求出 CD，根据切线的性质得到OAE90，根据直角 三角形的性质计算即可； （3）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案 解：（1）连接 AD， CD 是O 的直径， CAD90， 由圆周角定理得，ADCABC60， ACD906030； （2）连接 OA， 在 RtACD 中，CD4， AE 是O 的切线， OAE90， 由圆周角定理得，AOD2ACD60， E30， OE2OA4， DEOEOD2； （3）在 RtOAE 中，AEOE cosE2， 阴影部分的面积222 24 为了遏制新型冠状病毒疫情
30、的蔓延势头， 各地教有部门在推迟各级学校开学时间的同时 提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，历下区某校为学生提 供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论为了了解学生的需 求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查， 并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）本次接受问卷调查的学生共有 100 人，在扇形统计图中“在线听课“所占的百 分比为 40% ，在扇形统计图中“在线讨论”所对应扇形圆心角为 54 度 （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有 800 名学生，请你估计该校学生
31、对“在线听课“和“在线答疑“感兴趣 的共有多少人？ （4）若九年级（1）班对“在线讨论“感兴趣的同学有 3 名男生和 2 名女生，班主任想 从中随机挑选 2 名同学参加学校组织的疫情话题讨论活动，请用树状图法或列表法求出 “至少 1 名女生”被选中参加话题讨论的概率 【分析】（1）由在线阅读人数及其所占百分比求出总人数，用在线听课人数除以总人数 可得其对应百分比，用 360乘以在线讨论人数所占比例可得其对应圆心角度数； （2）根据四种方式的人数之和等于总人数求出在线答疑人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中在线听课和在线答疑人数所占比例可得答案； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树
32、状图求得所有等可能的结果与选出的至少有 1 名女生的情况数，再利用概率公式即可求得答案 解：（1）本次接受问卷调查的学生共有 2525%100（人）， 在扇形统计图中“在线听课“所占的百分比为100%40%， 在扇形统计图中“在线讨论“所对应扇形圆心角为 36054， 故答案为：100、40%、54； （2）在线答疑对应的人数为 100（25+40+15）20（人）， 补全条形图如下： （3） 估计该校学生对 “在线听课 “和 “在线答疑 “感兴趣的共有 800480 （人） ； （4）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数， 其中 “至少 1 名女生” 被选中参加话题讨论的有 14 种结
33、果， 所以“至少 1 名女生”被选中参加话题讨论的概率为 25如图，正比例函数 ykx 与反比例函数 y（m0）的图象交于 A、B 两点，点 A 的 坐标为（1，2），点 C 为反比例函数图象第一象限上的一动点，连接 OC、AC、BC （1）求正比例函数与反比例函数的表达式； （2）作 ADy 轴于点 D，CEx 轴于点 E，且 OAOC 时，求直线 BC 的函数表达式； （3）当AOC 是以 OA 为直角边的直角三角形时，求点 C 的坐标 【分析】（1）将点 A 的坐标分别代入 ykx 和 y，即可求解； （2）点 B（1，2），反比例函数的图象关于直线 yx 对称且 OAOC，则点 A、C
34、 关于直线 yx 对称，过点 C（2，1），即可求解； （3）直线 AB 的表达式为：y2x，则 tanAOC2，则 tanANO，求出直线 AC 的表达式为：yx+，即可求解 解：（1）将点 A 的坐标分别代入 ykx 和 y并解得：k2，m2， 故正比例函数与反比例函数的表达式分别为：y2x，y； （2）反比例函数的图象关于原点成中心对称，故点 B（1，2）， 反比例函数的图象关于直线 yx 对称且 OAOC， 点 A、C 关于直线 yx 对称，过点 C（2，1）， 设直线 BC 的表达式为：ytx+s，则，解得， 故直线 BC 的表达式为：yx1； （3）如下图，延长 AC 交 x、y
35、轴于点 M、N， 直线 AB 的表达式为：y2x，则 tanAOC2， 当AOC 是以 OA 为直角边的直角三角形时，即OAC90， 则 tanANO， 故设直线 AC 的表达式为：yx+r， 将点 A 的坐标代入上式并解得：r， 故直线 AC 的表达式为：yx+， 联立并解得：x1（舍去）或 4， 故点 C（4，） 26直线 mn，点 A、B 分别在直线 m，n 上（点 A 在点 B 的右侧），点 P 在直线 m 上， APAB，连接 BP，将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到 BC，连接 AC 交直线 n 于 点 E，连接 PC，且ABE 为等边三角形 （1） 如图， 当点 P 在
36、 A 的右侧时， 请直接写出ABP 与EBC 的数量关系是 ABP EBC ，AP 与 EC 的数量关系是 APEC （2）如图，当点 P 在 A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由 （3）如图，当点 P 在 A 的左侧时，若PBC 的面积为，求线段 AC 的长 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到ABE60，ABBE，根据旋转的性质得 到CBP60，BCBP，根据全等三角形的性质得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到ABE60，ABBE，根据旋转的性质得到CBP 60，BCBP，根据全等三角形的性质得到结论； （3）过点 C 作 CDm 于 D
37、，根据旋转的性质得到PBC 是等边三角形，求得 PC3， 设 APCEt，则 ABAE3t，得到 AC2t，根据平行线的性质得到CADAEB 60，解直角三角形即可得到结论 解：（1）ABE 是等边三角形， ABE60，ABBE， 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到 BC， CBP60，BCBP， ABP60PBE，CBE60PBE， 即ABPEBC， ABPEBC（SAS）， APEC； 故答案为：ABPEBC，APEC； （2）存在，ABE 是等边三角形， ABE60，ABBE， 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到 BC， CBP60，BCBP， ABP60PBE，CB
38、E60PBE， 即ABPEBC， ABPEBC（SAS）， APEC； （3）过点 C 作 CDm 于 D， 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到 BC， PBC 是等边三角形， PC2， PC3， 设 APCEt，则 ABAE3t， AC2t， mn， CADAEB60， ADACt，CDADt， PD2+CD2PC2， （2t）2+3t29， t（负值舍去）， AC2t 27如图，抛物线 yax2+bx+3 过 A（2，0）、B （6，0）两点，交 y 轴于点 C，对称轴 交 x 轴于点 E，点 D 是其顶点，点 H 为 x 轴上一动点，连接 CD、CH、DH （1）求抛物线的函数
39、表达式； （2）当点 H 与点 B 重合时，求CDH 的面积； （3）当 DHCD 时，求点 H 的坐标 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）先求得直线 BC 的解析式，即可求得直线 BC 与对称轴的交点坐标，然后根据 SCDH SCDF+SBDF求得即可； （3）过 D 作 DMy 轴于 M，过 H 点作 HNDM 于 N，易证得DCMHDN，根据 相似三角形的性质得出，解得 DN2，即可求得 OHMN4 解：（1）抛物线 yax2+bx+3 过 A（2，0）、B （6，0）两点， ， 解得， 抛物线为 yx2+x+3； （2）当 x0 时，y3， 解 C（0，3）， 设直线 BC 的解析式为 ykx+c， 把 B（6，0）、C（0，3）代入得，解得， 直线 BC 的解析式为 y+3， 设对称轴 DE 交 BC 于点 F，则 F（2，2）， D（2，4）， DF2， SCDH 6； （3） 如图， 过 D 作 DMy 轴于 M， 过 H 点作 HNDM 于 N， 则CMDDNH90， DHCD， MCD+MDCMDC+NDH90， MCDNDH， DCMHDN， ， D（2，4），C（0，3）， DM2，MC1，HN4， ，解得 DN2， OHMN4， H（4，0）
