1、2023年山东省济南市历下区中考二模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 4的算术平方根是（ ）A. 16B. 2C. -2D. 2. 如图所示三棱柱的主视图是（ ）A. B. C. D. 3. 根据国家统计局在2023年1月的数据显示，2022年我国的科学研究与试验发展经费投入达亿元，首次突破3万亿大关，亿用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ）A. B. C. D. 5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A 菱形B. 矩形C. 圆D. 等边三角形6. 已知，则下列不等
2、式成立的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D则下列结论中不一定成立的是（ ）A. B. C. D. 9. 已知A，B两地相距1500米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地，乙骑自行车比甲晚5分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地，甲、乙离A地的距离y（米）与甲行走时间x（分）的函数图象如图所示，则
3、甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（ ）A. 分钟B. 7分钟C. 分钟D. 8分钟10. 二次函数分别交x轴、y轴于P，Q两点，点C坐标是（2，1）若在线段上存在A，B两点使得为等腰直角三角形，且，则b的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：_12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是_13. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形是_边形14. 设n为正整数，且，则n的值为_15. 如图，已知扇形的半径，将扇形绕点A顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的
4、面积是_16. 利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法如图1，点I、点G是矩形对角线上的两点，四边形和四边形是两个全等的正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若矩形的周长是40，面积是88，则_三、解答题（本大题共10题，共86分）17. 计算：18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解19. 已知如图，在菱形中，E、F分别是上的点，且求证：20. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位
5、：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】4433555777766666688889910101010111213【数据整理】将收集30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A，B，C，D，E，其中表示阅读时间）；统计量平均数众数中位数阅读时间（h）【数据分析】请根据以上信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）填空：_，_；（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为_；（4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数21. 如图，在河流的右岸
6、边有一高楼，左岸边有一坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡，点E、点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14（测角器的高度忽略不计，结果精确到01米，参考数据：，）（1）求点D到地面的垂直高度的长；（2）求楼的高度22. 如图，在中，以为直径作交于点D，且点D为中点，过点D作的切线交的延长线于点E（1）求证：；（2）若，求的长23. 2023年春节科幻电影流浪地球2火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书
7、的进价比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书的数量与购买450元乙图书的数量相同（1）求甲、乙两种图书每本进价分别是多少元？（2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书数量比乙种图书的数量至少多6本，怎样购买，才能使购书总费用W最少？并求出最少费用24. 如图，矩形的边在平面直角坐标系中的轴上，矩形对角线交于点，过点M的反比例函数与矩形的边交于点，直线交x轴于点F（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，当最小时，求出点P的坐标；（3）若点Q为平面内任意一点，若以点B，E，F，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标25. 如图1，和都是等腰
8、直角三角形，将BDE绕点B逆时针旋转（），连接，取中点F，连接，（1）如图1，当点D落在边上，点E落在边上时，线段和线段的位置关系是_，数量关系是_；（2）如图2，当点D落在内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作交线段于点M，过点A作交线段于点N小明：延长至点G，使，延长至点H使，连接、小智：延长至点P，使，连接，请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若，在旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接，请直接写出的长26. 如图1，已知抛物线经过点和点，与轴交于点C，顶点是G，连接（1）求抛物
9、线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线，使其顶点M在直线上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标2023年山东省济南市历下区中考二模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 4的算术平方根是（ ）A. 16B. 2C. -2D. 【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根定义求出即可【详解】解：2的平方等于4，4的算术平方根是2，故选：B【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，主要考查
10、学生的计算能力，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，规定：0的算术平方根是02. 如图所示三棱柱的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的主视图是矩形，主视图内部有竖着的实线，进行选择即可【详解】解：三棱柱的主视图为：故选：C【点睛】本题考查简单几何体的三视图在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉掌握简单几何体的三视图是解题的关键3. 根据国家统计局在2023年1月的数据显示，2022年我国的科学研究与试验发展经费投入达亿元，首次突破3万亿大关，亿用科学记数法可以表示
11、为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数【详解】解：30870亿故选：B【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键4. 如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质可知的度数，再根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，进而即可得解【详解】解: ，直角三
12、角板的直角顶点在直线上， 故选：【点睛】本题考查的是平行线的性质以及直角定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. 菱形B. 矩形C. 圆D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【详解】解：A、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意故选：D【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形概念如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这
13、样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果一个图形绕某一点旋转180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心6. 已知，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的三个基本性质进行判断即可【详解】解：A、由及不等式的基本性质3得：，故选项错误，不符合题意；B、由及不等式的基本性质1与2得：，故选项错误，不符合题意；C、由及不等式的基本性质2得：，故选项正确，符合题意；D、由及不等式的基本性质1得：，故选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了不等式的三个基本性质，注意运用不等式基本性质3时，不等号的方向要改变7.
14、 如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先列表得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可【详解】解：列表如下：23246369由表可得：所有可能的结果数有4种，积为6的情况数有2种，旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是；故选A【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解随机事件的概率，熟悉列表法是解本题的关键8. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D则下
15、列结论中不一定成立是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由作法知，是的平分线，则有，从而由平行四边形的性质易得，即四边形为菱形，也得，但不一定成立，从而可确定结果【详解】解：由作法知，是的平分线，；四边形为平行四边形，即四边形为菱形，但不一定成立，即选项A、B、C正确，故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，尺规作图作角平分线等知识9. 已知A，B两地相距1500米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地，乙骑自行车比甲晚5分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地，甲、乙离A地的距离y（米）与甲行走时
16、间x（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（ ）A. 分钟B. 7分钟C. 分钟D. 8分钟【答案】C【解析】【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，然后即可列出相应的方程，求解即可【详解】解：由图象可得， 甲步行的速度为：（米/分）， 乙的速度为：（米/分）， 设甲出发后两人第一次相遇所需的时间是x分钟， ， 解得， 即甲出发后两人第一次相遇所需的时间是分钟， 故选：C【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，理解函数图象的意义是解本题的关键10. 二次函数分别交x轴、y轴于P，Q两点，点C的坐标是（2，1）若在线段上存在A，B两点
17、使得为等腰直角三角形，且，则b的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】可求出抛物线与两坐标轴的交点坐标，从而可求得直线的解析式，结合图形即可求解【详解】解：令，解得：（舍去）；令，得，即，；设直线的解析式为，则，解得：，；若点C在直线上，即，此时，当时，如图，由题意，且，则满足条件的等腰直角三角形有两个；当时，如图，此时点B与点P重合，点Q与点B重合，此时，满足条件的等腰直角三角形恰有一个；当时不存在；当时，如图，当时，此时满足条件的等腰直角三角形存在，综上，满足条件b的取值范围为或；故选：A【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，一次函数的图象与性质，等腰直
18、角三角形的性质等知识，注意数形结合与分类讨论二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】提取公因式x分解因式即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式x是解本题的关键12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是_【答案】【解析】【分析】根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，故答案为：【点睛】本题考查几何概率
19、的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键13. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形是_边形【答案】八【解析】【分析】根据任意多边形的外角和等于，多边形的每一个外角都等于，则多边形边数外角度数，代入数值计算即可【详解】解：多边形的每一个外角都等于，这个多边形的边数故答案为：八【点睛】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数，解答的关键是掌握多边形的外角和等于14. 设n为正整数，且，则n的值为_【答案】3【解析】【分析】由，结合二次根式即可确定n的值【详解】解：，故答案为3【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式等知识，准确确定n的值是解
20、题的关键15. 如图，已知扇形的半径，将扇形绕点A顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的面积是_【答案】【解析】【分析】连接，设交扇形的弧于点C，连接，交于点D，易得阴影部分面积=扇形面积-面积，从而问题求解【详解】解：如图，连接，设交扇形的弧于点C，连接，交于点D，旋转角为，与共线，即点在线段上，由旋转性质知：，是等边三角形，；在中，；故答案为：【点睛】本题考查了图形的旋转，30度角直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆的性质，求扇形面积等知识，把阴影部分面积转化为扇形面积与三角形面积之差是本题的关键与难点16. 利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法
21、如图1，点I、点G是矩形对角线上的两点，四边形和四边形是两个全等的正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若矩形的周长是40，面积是88，则_【答案】【解析】【分析】由矩形的周长是40，面积是88，可得，证明，可得，则，结合图1，图2，可得，设，而，可得，从而可得答案【详解】解：矩形的周长是40，面积是88，四边形和四边形是两个全等的正方形，结合图1，图2，可得，设，而，故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练的证明是解本题的关键三、解答题（本大题共10题，共86分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】分别计算出60度角的正弦值、绝对值、负整数与零指
22、数幂，最后相加减即可【详解】解：原式【点睛】本题是实数的运算，涉及知识点有特殊角的三角函数值，绝对值的计算，二次根式的运算，负整数与零指数幂的意义掌握这些知识是关键18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解【答案】解集为，非负整数解为：0，1，2【解析】【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分，由不等式组的解集即可写出所有非负整数解【详解】解：解得：，解得：，不等式组的解集为，其非负整数解为：0，1，2【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，正确求解不等式是解题的关键19. 已知如图，在菱形中，E、F分别是上的点，且求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】只需要利用证
23、明即可证明【详解】解：四边形是菱形，即，在和中，【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键20. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】4433555777766666688889910101010111213【数据整理】将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的
24、频数分布直方图（说明：A，B，C，D，E，其中表示阅读时间）；统计量平均数众数中位数阅读时间（h）【数据分析】请根据以上信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）填空：_，_；（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为_；（4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数【答案】（1）补全图形见解析 （2）众数是6小时；中位数为：小时 （3） （4）人【解析】【分析】（1）由统计数据可得：C，有8个；D，有6个，再补全图形即可；（2）根据众数的中位数的含义可得答案；（3）由A组所占的百分比乘以即可得到答案；（4）由样本中不少于9小时的学生人数
25、的占比乘以总人数3000即可【小问1详解】解：由统计数据可得：C，有8个；D，有6个，补全图形如下：【小问2详解】出现次数最多的数据是6小时，众数m是6小时；30个数据排在最中间是数据是第15个，第16个数据，都为7小时，中位数n为：（小时）【小问3详解】A组的圆心角为：；【小问4详解】该校有3000名学生，估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数有（人）【点睛】本题考查的是整理统计数据，频数分布直方图，中位数，众数的含义，扇形统计图某部分所对应的圆心角，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键21. 如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度（坡面的铅直高度与水
26、平宽度的比称为坡度）的山坡，点E、点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14（测角器的高度忽略不计，结果精确到01米，参考数据：，）（1）求点D到地面的垂直高度的长；（2）求楼的高度【答案】（1）米 （2）楼的高度为米【解析】【分析】（1）由坡度设米，则米，由勾股定理建立方程可求得结果；（2）过点D作于点G，则四边形是矩形，设米，则可表示出，在中由正切函数建立方程即可求解【小问1详解】解：，即，设米，则米，由勾股定理得：，即，解得：，米；答：点D到地面的垂直高度DE
27、的长米；【小问2详解】解：如图，过点D作于点G，四边形是矩形，；，；由（1）知，米，米， 设米，米，米，在中，即，解得：，即（米）答：楼的高度为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造适当的辅助线，利用勾股定理建立方程是本题的关键22. 如图，在中，以为直径作交于点D，且点D为中点，过点D作的切线交的延长线于点E（1）求证：；（2）若，求长【答案】（1）证明见解析 （2）6【解析】【分析】（1）如图，连接，证明是的中位线，可得，则，证明，可得，从而可得答案；（2）由，可得，证明，结合，可得，则，从而可得答案【小问1详解】证明：如图，连接，点D为中点，是的中位线，【小问2详解】，是的切线，【
28、点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键23. 2023年春节科幻电影流浪地球2火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书的数量与购买450元乙图书的数量相同（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？（2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，怎样购买，才能使购书总费用W最少？并求出最少费用【答案】（1）甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价为30元 （2）购进甲
29、图书38本，乙种图书32本时，总费用W最少，为2670元【解析】【分析】（1）设乙种图书每本的进价为元，则甲种图书每本的进价为元，由题意：花675元购进甲图书的数量与花450元购进乙图书的数量相同列出分式方程，解方程即可；（2）设购进甲图书本，先列出W关于x的一次函数关系式，再由题意求出x的取值范围，最后根据一次函数的性质解答式即可【小问1详解】设乙种图书每本的进价为元，则甲种图书每本的进价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则，答：甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价为30元【小问2详解】设购进甲图书本，则购进乙图书本，由题意得：，甲种图书的数量比乙种图
30、书的数量至少多6本，解得：，随x的增大而增大，当时，W最大，最大值为：，：购进甲图书38本，乙种图书32本时，总费用W最少，为2670元【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式24. 如图，矩形的边在平面直角坐标系中的轴上，矩形对角线交于点，过点M的反比例函数与矩形的边交于点，直线交x轴于点F（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，当最小时，求出点P的坐标；（3）若点Q为平面内任意一点，若以点B，E，F，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标【答案
31、】（1）， （2） （3）或或【解析】【分析】（1）反比例函数过，利用待定系数法可得解析式，再求解E的坐标，结合，可得B的坐标；（2）如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，先求解，可得，设为，可得为，从而可得答案；（3）先求解的解析式为：，可得，而，分三种情况讨论：当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：【小问1详解】解：反比例函数过，反比例函数；在反比例函数图象上，即，【小问2详解】如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，矩形，设为，解得：，为，当时，解得：，【小问3详解】，同理可得的解析
32、式为：，当时，而，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：综上：或或【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键25. 如图1，和都是等腰直角三角形，将BDE绕点B逆时针旋转（），连接，取中点F，连接，（1）如图1，当点D落在边上，点E落在边上时，线段和线段的位置关系是_，数量关系是_；（2）如图2，当点D落在内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明
33、理由九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作交线段于点M，过点A作交线段于点N小明：延长至点G，使，延长至点H使，连接、小智：延长至点P，使，连接，请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若，在旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接，请直接写出的长【答案】（1）, （2）（1）的结论是否仍然成立，证明见解析 （3）为或【解析】【分析】（1）先证明，再利用直角三角形斜边上的中线可得，证明,在以为圆心，为半径的圆上，可得；（2）如图，延长至点P，使，连接，证明，可得，可得，证明，而，可得，可得，从而可得结论；（3）如图，当在线段上，证明，设，可得，而，由，再建立方程求解，如图
34、，当在线段的延长线上，同理可得：，可得，从而可得答案.【小问1详解】，为的中点，,在以为圆心，为半径的圆上，,.【小问2详解】（1）的结论是否仍然成立，选小智的思路，理由如下：如图，延长至点P，使，连接，的内角和为，而， ，,.【小问3详解】如图，当在线段上，设，而，由，解得：，（不符合题意舍去）；如图，当在线段的延长线上，同理可得：，解得：，（不符合题意舍去），；综上：为或.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，一元二次方程的解法，圆周角定理的应用，本题的综合程度高，清晰的分类讨论是解本题的关键.26
35、. 如图1，已知抛物线经过点和点，与轴交于点C，顶点是G，连接（1）求抛物线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线，使其顶点M在直线上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点G的坐标为 （2）点M的坐标为 （3）最短距离为，顶点坐标为【解析】【分析】（1）把A、B两点的坐标代入函数解析式中，解方程组即可求得函数解析式，配方即可求得顶点坐标；（2）求出点C的坐标，则可求得的解析
36、式，设点M的坐标，则可得平移后抛物线的解析式，进而求得点D的坐标，则由面积关系可求得点M的坐标；（3）过点G作的垂线，交于H，交y轴于点F，当抛物线沿着直线的向上平移时，平移距离最短，先求出直线的解析式，过点G作轴于点E，由点G的坐标及相似三角形的性质易得点F的坐标，从而可求得的解析式，设抛物线的顶点坐标，根据抛物线与直线恰有一个公共点时可求得平移后的抛物线顶点坐标，则可求得此时平移的距离【小问1详解】解：把A、B两点的坐标代入函数解析式中，得：，解得：，即解析式为，配方得：，即顶点G的坐标为；【小问2详解】解：对于，令，设的解析式为，则有，解得：，即的解析式为；设点M的坐标为，则平移后抛物线
37、的解析式为，上式中令，得，点D的坐标为，由题意知，点D只能在y轴上点C的下方，即，解得：，则，点M的坐标为；【小问3详解】解：过点G作的垂线，交于H，交y轴于点F，如图，当抛物线沿着直线的向上平移时，平移距离最短，设直线的解析式为，则有，解得：，即直线的解析式为；过点G作轴于点E，由点G的坐标知，即，即，而，即点F在y轴负半轴上，点F的坐标为，设的解析式为，则有，解得：，即直线的解析式为；设平移后抛物线与直线恰有一个公共点时的顶点N坐标为，则平移后抛物线解析式为抛物线与直线恰有一个公共点，整理得：，解得：，此时平移后抛物线的顶点坐标为，而点G坐标为，抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，综合运用这些知识是解题的关键，较好的运算能力是解答本题的前提
