1、 2022 年山东省济南市历下区中考数学一模试卷年山东省济南市历下区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 题，共题，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的 19 的相反数是（ ） A9 B9 C D 2 第七次人口普查显示， 济南市历下区常住人口约为 820000 人， 将数据 820000 用科学记数法表示为 （ ） A8.2104 B82104 C8.2105 D0.82106 3如图是由 8 个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A B C
2、D 4如图，ABCD，且被直线 l 所截，若154，则2 的度数是（ ） A154 B126 C116 D54 52022 年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ） A B C D 6下列运算正确的是（ ） A （2a3）24a6 Ba2a3a6 C3a+a23a3 D （ab）2a2b2 7ABC 的顶点分别位于正方形网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点 C（1，1） ，将ABC先沿x轴方向向右平移3个单位长度， 再沿y轴方向向下平移2个单位长度， 得到ABC，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A （6，6） B （0，2） C （0，6） D （6，
3、2） 8 一个不透明袋子中装有红球两个， 绿球一个， 除颜色外无其他差别， 随机摸出一个小球后， 放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是（ ） A B C D 9当 a0 时，函数 yax+1 与函数 y在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 10如图，甲、乙两楼的距离 AC30m，甲楼高 AB20m，自甲楼楼顶的 B 处看乙楼楼顶的 D 处，仰角为28， 则乙楼的高 CD 为 （ ） m （结果精确到 1m， 参考数据： sin280.47， cos280.88， tan280.53） A34 B36 C46 D56 11如图，在ABC 中，ACB
4、C8，C90，以 A 点为圆心，AC 长为半径作圆弧交 AB 于 E，连接CE，再分别以 C、E 为圆心，大于CE 的长度为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 与点 D，连接 DE，则下列说法中错误的是（ ） ADECD BBDEBAC CABAC+DE DBD4 12已知抛物线 P：yx2+4ax3（a0） ，将抛物线 P 绕原点旋转 180得到抛物线 P，当 1x3 时，在抛物线 P上任取一点 M，设点 M 的纵坐标为 t，若 t3，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24
5、分 ）分 ） 13因式分解：x24 14如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 15如果分式与的值相等，则 x 16如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 17A、B 两地相距 80km，甲、乙两人沿同一条路从 A 地到 B 地l1，l2分别表示甲、乙两人离开 A 地的距离 s（m）与时间 t（h）之同的关系当甲车出发 1 小时时，两车相距 km 18如图，将矩形 ABCD 对折，使点 A 点与 D 重合，点 B 与 C 重合，折痕为 EF；展开 后再次折叠，使点 A 与点 D 重合于 EF 上的点 P 处，折痕分别为
6、 BM、CN，若 AB10，BC16，则 tanPCN 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分请写出文字说明、证明过程或演算步骤）分请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算：|3|+（2020）02sin30+（）1 20 （6 分）求不等式组的整数解 21 （6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线 AC 的三等分点，连接 BE，DF证明：BEDF 22 （8 分）2021 年 12 月 9 日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八
7、年级各随机抽取了 10 名学生进行科普知识竞赛（百分制） ，测试成绩整理、描述和分析如下： （成绩得分用 x 表示，共分成四组： A80 x85；B85x90；C90 x95；D.95x100 其中，七年级 10 名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82 八年级 10 名学生的成绩在 C 组中的数据是：94，90，92 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 b 52 八年级 92 c 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中 年级成绩更稳定； （2）直接写出上述 a、b、c 的值：a
8、 ，b ，c ； （3）该校八年级共 1000 人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x90）的八年级学生人数是多少？ 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 F 是 AB 上方半圆上的一点（F 不与 A、B 重合） ，DE 是O 的切线，DEAF 交射线 AF 于点 E （1）求证：AD 平分BAF； （2）若 AE4，AB5，求 AD 长 24 （10 分）某商场计划购进 A、B 两种新型台灯共 80 盏，它们的进价与售价如表所示： 类型价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A 型 30 45 B 型 50 70 （1）若商场预计进货款为 2900 元，则这两种台灯
9、各购进多少盏？ （2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于 1500 元，则该商场需要至少购进多少盏 A 型台灯？ 25 （10 分）如图 1，点 A（1，a） 、点 B（0，1）在直线 y2x+b 上，反比例函数 y（x0）的图象经过点 A （1）求 a 和 k 的值； （2）将线段 AB 向右平移 m 个单位长度（m0） ，得到对应线段 CD，连接 AC、BD 如图 2， 当点 D 恰好落在反比例函数图象上时， 过点 C 作 CFx 轴于点 F， 交反比例函数图象于点 E，求线段 CE 的长度； 在线段 AB 运动过程中，连接 AD，若ACD 是直角三角形，求所有满足条件的 m 值 26 （
10、12 分）如图，在ABC 中，ABAC，E 是线段 BC 上一动点（不与 B、C 重合） ，连接 AE，将线段AE 绕点 A 逆时针旋转与BAC 相等的角度，得到线段 AF，连接 EF点 M 和点 N 分别是边 BC，EF 的中点 【问题发现】 （1）如图 1，若BAC60，当点 E 是 BC 边的中点时， ，直线 BE 与 MN 相交所成的锐角的度数为 度 【解决问题】 （2）如图 2，若BAC60，当点 E 是 BC 边上任意一点时（不与 B、C 重合） ，上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 【拓展探究】 （3）如图 3，若BAC90，AB6，在 E 点运动
11、的过程中，直接写出 GN 的最小值 27 （12 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+3 过 A（1，0） 、B（3，0）两点，交 y 轴于点 C （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ACM 的周长最小？若存在，求出ACM 周长的最小值；若不存在，请说明理由 （3）如图 2，连接 BC，抛物线上是否存在一点 P，使得BCPACB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2022 年山东省济南市历下区中考数学一模试卷年山东省济南市历下区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每
12、小题个小题，每小题 4 题，共题，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的 19 的相反数是（ ） A9 B9 C D 【分析】根据相反数的定义即可求解 【解答】解：9 的相反数是9， 故选：A 2 第七次人口普查显示， 济南市历下区常住人口约为 820000 人， 将数据 820000 用科学记数法表示为 （ ） A8.2104 B82104 C8.2105 D0.82106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n
13、的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：8200008.2105 故选：C 3如图是由 8 个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A B C D 【分析】将图形分成三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的 【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的 故选：A 4如图，ABCD，且被直线 l 所截，若154，则2 的度数是（ ） A154 B126 C116
14、 D54 【分析】由平行线的性质得到2 与3 的关系，再根据对顶角的性质得到1 与3 的关系，最后求出2 【解答】解：ABCD， 2+3180 3154， 21803 18054 126 故选：B 52022 年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意 故选：C 6下列运算正确的是（ ） A （2a3）24a6 Ba2a3a6 C3a+a23a3 D （ab）2a2b2 【分
15、析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解：（2a3）24a6，故选项 A 正确； a2a3a5，故选项 B 错误； 3a+a2不能合并，故选项 C 错误； （ab）2a22ab+b2，故选项 D 错误； 故选：A 7ABC 的顶点分别位于正方形网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点 C（1，1） ，将ABC先沿x轴方向向右平移3个单位长度， 再沿y轴方向向下平移2个单位长度， 得到ABC，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A （6，6） B （0，2） C （0，6） D （6，2） 【分析】根据坐标系写出点 A 的坐标，根据坐标平移规律解答
16、即可 【解答】解：由平面直角坐标系可知，点 A 的坐标为（3，4） ， 沿 x 轴方向向右平移 3 个单位长度，得到（0，4） ， 再沿 y 轴方向向下平移 2 个单位长度得到（0，2） ， 则点 A 的对应点 A的坐标（0，2） ， 故选：B 8 一个不透明袋子中装有红球两个， 绿球一个， 除颜色外无其他差别， 随机摸出一个小球后， 放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是（ ） A B C D 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率 【解答】解：红色小球用数字 1、2 表示，绿色小球分别用 3 表示，
17、列表得： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现 9 个等可能的结果，其中第一次摸到红球，第二次摸到绿球的结果有 2 个， 第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：D 9当 a0 时，函数 yax+1 与函数 y在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】分 a0 和 a0 两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象 【解答】解：当 a0 时，yax+1 过一、二、三象限，y过一、三象限； 当 a0 时，yax
18、+1 过一、二、四象限，y过二、四象限； 故选：C 10如图，甲、乙两楼的距离 AC30m，甲楼高 AB20m，自甲楼楼顶的 B 处看乙楼楼顶的 D 处，仰角为28， 则乙楼的高 CD 为 （ ） m （结果精确到 1m， 参考数据： sin280.47， cos280.88， tan280.53） A34 B36 C46 D56 【分析】过点 B 作 BECD，垂足为 E，可得四边形 ABEC 是矩形，从而得 ABEC20（m） ，ACEC30（m） ，然后在 RtBDE 中，利用锐角三角函数的定义求出 DE 的长，进行计算即可解答 【解答】解：过点 B 作 BECD，垂足为 E， 则四边形
19、 ABEC 是矩形， ABEC20（m） ，ACEC30（m） ， 在 RtBDE 中，DBE28， DEBEtan28300.5315.9（m） ， CDDE+CE15.9+2036（m） ， 乙楼的高 CD 为 36m， 故选：B 11如图，在ABC 中，ACBC8，C90，以 A 点为圆心，AC 长为半径作圆弧交 AB 于 E，连接CE，再分别以 C、E 为圆心，大于CE 的长度为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 与点 D，连接 DE，则下列说法中错误的是（ ） ADECD BBDEBAC CABAC+DE DBD4 【分析】由题意可得 ACAE，AP 为 CE 的垂直平
20、分线，得出 CDDE，根据相似三角形的判定可知BDEBAC，由等腰直角三角形的性质可得出 ABAC+DE，BD84，则可得出结论 【解答】解：ACBC8，C90， CAE45， 由题意可得 ACAE，AP 为 CE 的垂直平分线， CDDE， DCEDEC22.5， BDE45， BDE 为等腰直角三角形， DEB90，DEBE， 在BDE 和BAC 中，ABCEBD90，BDECAB45， BDEBAC， ABAE+BE， ABAC+DE 故 A，B，C 选项的说法正确， AB8，ACAE8， BE88， BD84， 故 D 选项说法错误 故选：D 12已知抛物线 P：yx2+4ax3（a0
21、） ，将抛物线 P 绕原点旋转 180得到抛物线 P，当 1x3 时，在抛物线 P上任取一点 M，设点 M 的纵坐标为 t，若 t3，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】设抛物线 P上任意一点（x，y） ，则点（x，y）原点旋转 180后对应的点为（x，y） ，由此求出抛物线 P的解析式为 yx2+4ax+3，再分三种情况讨论：当 2a1 时，2+4a3，此时 a；当 2a3 时，6+12a3，此时 a 不存在；当 12a3 时，4a2+33 此时 a 不存在 【解答】解：设抛物线 P上任意一点（x，y） ， 则点（x，y）原点旋转 180后对应的点为（x，y） ， yx24a
22、x3， 抛物线 P的解析式为 yx2+4ax+3， yx2+4ax+3（x2a）2+4a2+3， 当 x2a 时，y 有最大值 4a2+3， 1x3， 当 2a1 时，即 a，x1 时 y 有最大值， 2+4a3， a， 此时 a； 当 2a3 时，即 a，x3 时 y 有最大值， 6+12a3， a， 此时 a 不存在； 当 12a3 时，即a，x2a 时 y 有最大值， 4a2+33 a0， 此时 a 不存在； 综上所述：0a， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13因式分解：x24 （x+2） （x
23、2） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：x24（x+2） （x2） 故答案为： （x+2） （x2） 14如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可 【解答】解：游戏板的面积为 339，其中黑色区域为 3， 小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是， 故答案是： 15如果分式与的值相等，则 x 9 【分析】根据题意得出分式方程，求出方程的解再代入（x1） （x+3）进行检验即可 【解答】解：根据题意得：， 方程两边都乘以（x1） （x+3）得：2x+63x3，
24、解这个方程得：2x3x36， x9， x9， 检验：把 x9 代入（x1） （x+3）0， 即 x9 是原方程的解， 故答案为：9 16如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 720 【分析】根据正多边形的内角和公式即可得到结论 【解答】解：正六边形的内角和（62）180720， 故答案为：720 17A、B 两地相距 80km，甲、乙两人沿同一条路从 A 地到 B 地l1，l2分别表示甲、乙两人离开 A 地的距离 s（m）与时间 t（h）之同的关系当甲车出发 1 小时时，两车相距 km 【分析】根据图象可以求得甲、乙的速度，再根据题意求得结论 【解答】解：甲的速度是（802
25、0）（31.5）40（km/h） ， 甲走完全程所用时间为 80402（小时） ， 乙比甲先出发 1 小时， 乙的速度是 403（km/h） ， 由图象知，当甲车出发 1 小时时，两车相距：20+40（21.5）2（km） ， 故答案为： 18如图，将矩形 ABCD 对折，使点 A 点与 D 重合，点 B 与 C 重合，折痕为 EF；展开 后再次折叠，使点 A 与点 D 重合于 EF 上的点 P 处，折痕分别为 BM、CN，若 AB10，BC16，则 tanPCN 【分析】由矩形 ABCD 两次折叠可知：ABBPEFPCCD10，BECEBCDFAFAD8，BEPCEP90，DNPN，DCPN
26、90，设 PNx，则 DNx，然后利用勾股定理求出 x 的值，再根据锐角三角函数即可解决问题 【解答】解：由矩形 ABCD 两次折叠可知： ABBPEFPCCD10， BECEBCDFAFAD8， BEPCEP90， DNPN， DCPN90， PE6， PFEFPE1064， 设 PNx，则 DNx， FNDFDN8x， 在 RtPFN 中，根据勾股定理，得： PF2+FN2PN2， 42+（8x）2x2， 解得 x5， PN5， tanPCN 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分请写出文字说明、证明过程或演算步骤）分请写出文字说明、证明过
27、程或演算步骤） 19 （6 分）计算：|3|+（2020）02sin30+（）1 【分析】首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解：|3|+（2020）02sin30+（）1 3+12+3 6 20 （6 分）求不等式组的整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【解答】解：， 解不等式 2（x+1）3x，得：x2， 解不等式2，得：x1， 则不等式组的解集为1x2， 则不等式组的整数解为1、0、1 21 （6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 是
28、对角线 AC 的三等分点，连接 BE，DF证明：BEDF 【分析】根据平行四边形的性质得出 ABCD，ABCD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可 【解答】证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ABCD， BACDCA， E，F 是对角线 AC 的三等分点， AECF， 在ABE 与CDF 中， ， ABECDF（SAS） ， BEDF 22 （8 分）2021 年 12 月 9 日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航 天知识某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了 10 名学生进行科普知识竞赛（百分制） ，测试成绩整理、
29、描述和分析如下： （成绩得分用 x 表示，共分成四组： A80 x85；B85x90；C90 x95；D.95x100 其中，七年级 10 名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82 八年级 10 名学生的成绩在 C 组中的数据是：94，90，92 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 b 52 八年级 92 c 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中 八 年级成绩更稳定； （2）直接写出上述 a、b、c 的值：a 40 ，b 96 ，c 93 ； （3）该校八年级共 1000 人参
30、加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x90）的八年级学生人数是多少？ 【分析】 （1）根据方差的意义即可得出答案； （2）用 360乘以 D 所占的百分比，求出 a，再根据众数和中位数的定义即可得出答案； （3）用该校八年级的人数乘以成绩优秀（x90）的八年级学生人数所占的百分比即可 【解答】解： （1）七年级成绩的方差为 52，八年级成绩的方差为 50.4， 八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 八年级成绩更平衡，更稳定； 故答案为：八； （2）八年级学生成绩落在 C 组人数所占百分比为 310100%30%， a%1（20%+10%+30%）40%，即 a40； 将七年级
31、成绩出现最多的是 96， 所以其众数 b96， 八年级 A、B 组人数共有 10（10%+20%）3（人） ， 八年级成绩的第 5、6 个数据分别为 92、94， 所以八年级成绩的中位数 c93， 故答案为：40、96、93； （3）根据题意得： 1000（120%10%）700（人） ， 答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀（x90）的八年级学生人数是 700 人 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 F 是 AB 上方半圆上的一点（F 不与 A、B 重合） ，DE 是O 的切线，DEAF 交射线 AF 于点 E （1）求证：AD 平分BAF； （2）若 AE4，AB5，求 AD 长
32、 【分析】 （1）连接 OD，根据切线的性质得到 DEOD，证明 ODAF，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到OADDAF，根据角平分线的定义证明结论； （2）连接 BD，证明AEDADB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可 【解答】 （1）证明：连接 OD， DE 与O 相切于点 D， DEOD， DEAF， ODAF， ODADAF， ODOA， ODAOAD， OADDAF， AD 平分BAF； （2）解：连接 BD， AB 是O 的直径， ADB90， AEDADB， EADDAB， AEDADB， ，即， 解得：AD2 24 （10 分）某商场计划购进 A、B
33、 两种新型台灯共 80 盏，它们的进价与售价如表所示： 类型价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A 型 30 45 B 型 50 70 （1）若商场预计进货款为 2900 元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于 1500 元，则该商场需要至少购进多少盏 A 型台灯？ 【分析】 （1）设购进 A 型台灯 x 盏，B 型台灯 y 盏，可得：，即可解得购进 A 型台灯55 盏，B 型台灯 25 盏； （2） 设购进 A 型台灯 a 盏，B 型台灯 （80a） 盏， 根据题意得（4530）a+（7050） （80a） 1500，即可解得答案 【解答】解： （1）设购
34、进 A 型台灯 x 盏，B 型台灯 y 盏， 根据题意得：， 解得， 答：购进 A 型台灯 55 盏，B 型台灯 25 盏； （2）设购进 A 型台灯 a 盏，B 型台灯（80a）盏， 根据题意得： （4530）a+（7050） （80a）1500， 解得 a20， 答：该商场至少需要购进 20 盏 A 型台灯 25 （10 分）如图 1，点 A（1，a） 、点 B（0，1）在直线 y2x+b 上，反比例函数 y（x0）的图象经过点 A （1）求 a 和 k 的值； （2）将线段 AB 向右平移 m 个单位长度（m0） ，得到对应线段 CD，连接 AC、BD 如图 2， 当点 D 恰好落在反比
35、例函数图象上时， 过点 C 作 CFx 轴于点 F， 交反比例函数图象于点 E，求线段 CE 的长度； 在线段 AB 运动过程中，连接 AD，若ACD 是直角三角形，求所有满足条件的 m 值 【分析】 （1）将点 A（1，a） 、点 B（0，1）在直线 y2x+b 上和 y（x0）即可得出答案； （2）根据平移的性质知点 D 的纵坐标为 1，从而得出平移的距离，进而得出点 C 的坐标，可得答案； （3）由平移可得 C（1+m，3） ，D（m，1） ，则 ACm，CDAB，AD，再进行分类，利用勾股定理列方程解决问题 【解答】解： （1）点 A（1，a） 、点 B（0，1）在直线 y2x+b 上
36、， b1， y2x+1， a3， A（1，3） ， k133； （2）由（1）知，y， 当 y1 时，x3， D（3，1） ， BDAC3， C（3，3） ， 当 x3 时，y1， EF1，CF3， CE2； 由平移知，C（1+m，3） ，D（m，1） ， ACm，CDAB，AD， 当ADC90时， （m1）2+4+5m2， 解得 m5， 当DAC90时，m2+（m1）2+45， 解得 m10（舍） ，m21， 当ACD90时，m2+5（m1）2+4， 解得 m0（舍） ， 综上：m5 或 1 26 （12 分）如图，在ABC 中，ABAC，E 是线段 BC 上一动点（不与 B、C 重合） ，
37、连接 AE，将线段AE 绕点 A 逆时针旋转与BAC 相等的角度，得到线段 AF，连接 EF点 M 和点 N 分别是边 BC，EF 的中点 【问题发现】 （1）如图 1，若BAC60，当点 E 是 BC 边的中点时， ，直线 BE 与 MN 相交所成的锐角的度数为 30 度 【解决问题】 （2）如图 2，若BAC60，当点 E 是 BC 边上任意一点时（不与 B、C 重合） ，上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 【拓展探究】 （3）如图 3，若BAC90，AB6，在 E 点运动的过程中，直接写出 GN 的最小值 【分析】 （1）设 AB2a，证ABC 是等边三角
38、形，得 ABBC2a，AEBC，BEa，则 AEa，再证AEF 是等边三角形，得AEF60，EFAEa，则NEC30，然后由等边三角形的性质得 ANEF，MNEFa，即可得出结论； （2）连接 AM、AN，证ABC 为等边三角形，则 AMBC，再证MANBAE，得，AMNABE60，则NMCAMCAMN30； （3）连接 AM、AN，同（2）得 AMBC，MANBAE，则AMNB45，NMC45，再求出 MG，当 GNMN 时，GN 最小，此时MNG 是等腰直角三角形，即可解决问题 【解答】解： （1）设 AB2a， ABAC，BAC60， ABC 是等边三角形， ABBC2a， 点 E 是
39、BC 边的中点，点 M 是 BC 边的中点， E 与 M 重合，AEBC，BEa， AEa， 由旋转的性质得：EAFBAC60，AEAF， AEF 是等边三角形， AEF60，EFAEa， NECAECAEF906030， 点 N 是 EF 的中点， ANEF，MNEFa， ， 故答案为：，30； （2）上述两个结论均成立，理由如下： 如图 2，连接 AM、AN， ABAC，BAC60， ABC 为等边三角形， M 是 BC 中点， AMBC， BMA90， 在 RtABM 中，B60， BAM90B30， 同理可得EAN30，sinAEF， MANBAE， MANBAE， ，AMNABE60
40、， NMCAMCAMN906030， 综上所述，直线 BE 和 MN 相交所成的锐角的度数为 30； （3）如图 3，连接 AM、AN， ABAC，BAC90， ABC 是等腰直角三角形， B45，BCAB6， 同（2）得：AMBC，MANBAE， AMNB45， NMCAMCAMN45， M 是 BC 的中点， CMBC3， 2， MGCMCG， 当 GNMN 时，GN 最小， 此时MNG 是等腰直角三角形，则 GNMG1， 即 GN 的最小值为 1 27 （12 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+3 过 A（1，0） 、B（3，0）两点，交 y 轴于点 C （1）求抛物线的函数解析式；
41、 （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ACM 的周长最小？若存在，求出ACM 周长的最小值；若不存在，请说明理由 （3）如图 2，连接 BC，抛物线上是否存在一点 P，使得BCPACB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由于抛物线 yax2+bx+3 过 A（1，0） 、B（3，0）两点，那么可以得到方程 ax2+bx+30的两根为 x1 或 x3，然后利用根与系数即可确定 a、b 的值 （2） 点 B 是点 A 关于抛物线对称轴的对称点， 在抛物线的对称轴上有一点 M， 要使 MA+MC 的值最小，则点 M 就是 BC 与抛物线对称轴的交点，利用待定系数
42、法求出直线 BC 的解析式，把抛物线对称轴 x2代入即可得到点 M 的坐标； （3） 过点 B 作 BEAB 交 CP 与 E， 证明ABCEBC （ASA） ， 根据全等三角形的性质得 BEAB2，求得 E 的坐标，由点 E、C 的坐标可得直线 CP 的解析式，联立 yx24x+3 即可求得 P 点的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 过 A（1，0） 、B（3，0）两点， 方程 ax2+bx+30 的两根为 x1 或 x3， 1+3，13， a1，b4， 二次函数解析式是 yx24x+3； （2）二次函数解析式是 yx24x+3， 抛物线的对称轴为直线 x2，C（0，3）
43、 点 A、B 关于对称轴对称， 点 M 为 BC 与对称轴的交点时，MA+MCBC 的值最小 设直线 BC 的解析式为 ykx+t（k0） ， 则， 解得： 直线 BC 的解析式为 yx+3 抛物线的对称轴为直线 x2 当 x2 时，y1 抛物线对称轴上存在点 M（2，1）符合题意， A（1，0） 、B（3，0） ，C（0，3） AC，BC3， AC+BC+3， 在抛物线的对称轴上存在点 M，使ACM 的周长最小，ACM 周长的最小值为+3； （3）抛物线上存在一点 P，使得BCPACB B（3，0） ，C（0，3） OBOC3， OBC45， OBCEBC45， BCBC，BCPACB ABCEBC（ASA） ， BEAB2， E（3，2） ， 设直线 CP 的解析式为 ymx+n， ，解得， 直线 CP 的解析式为 yx+3， 联立 yx24x+3 得，或（舍去） ， 抛物线上存在一点 P，使得BCPACBP 点的坐标为（，）
