1、2023年江西省赣州市石城县中考一模数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 的倒数是（ ）A. B. 2023C. D. 2. 如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（ ）A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ）A. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件C. 掷一枚质地均匀骰子，掷出的点数一定是奇数D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，则甲组数据更稳定4. 如图，为的直径，弦于，则的面积为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，将ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t a
2、nC的值是（）A. 2B. C. 1D. 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；m为任意实数，则；若且，则其中正确的有（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 分解因式：=_8. 抛物线和抛物线关于原点对称，则抛物线解析式是_9. 已知，是一元二次方程的两根，且，则_10. 欧阳修的卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为_11.
3、 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_12. 两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，当是等腰三角形时，则的长为_三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算： （2）如图，已知平分，且，求证：14. 解不等式组：并在数轴表示它的解集15. 如图，AE平分，D为AE上一点，（1）求证：；（2）若D为AE中点，求CD长16. 为了促进青少年校园足球活动的开展，现决定从我市中学生足球比赛三支获奖足球队，队中，随机抽取两支球队分别到边远地区学校进行交流展示（1）本次活动中足球队被抽中是_事件；（2）请用列表或画树状图
4、的方法，求出同时抽到队和队的概率17. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：（1）在图1中作出的边上的高；（2）请在图2中线段上确定一点F，使得（3）请在图3中作出的切线四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B（1）求反比例函数的表达式；（2）设D为x轴正半轴上一点，当是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的解析式19. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶端的小挂锁打开
5、时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位图2是其示意图，经测量，钢条， （1）求车位锁的底盒长；（2）若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？通过计算说明理由（参考数据：，）20. 2022年3月12日是中国第44个植树节，山西省绿化委员会向全省各界发出“积极履行植树义务、携手共建美丽山西”的倡议为倡导青少年创绿、爱绿、护绿，增强环保意识，传播环保理念，某校准备购买一批树苗，开展“植树造林，织就美丽梦想”活动现有甲、乙两种树苗供选择，已知乙种树苗比甲种树苗每株
6、贵3元，且用100元钱购买甲种树苗的数量与用160元钱购买乙种树苗的数量刚好相等（1）求甲、乙两种树苗每株的价格（2）该校计划购买甲、乙两种树苗共1000株，经调查发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%，要使这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何购买两种树苗？最低费用是多少？五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，（1）求证：是的切线；（2）求证：是等腰三角形；（3）若，求的长及 的值22. 已知二次函数（1）有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有_（填序号）二次函数的
7、图象开口向上；二次函数的图象的对称轴是直线；二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）；函数值y随着x的增大而减小（2）当时，抛物线的顶点坐标为_；将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为_；（3）设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由六、（本大题共12分）23. 【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：如图1，在中，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的
8、延长线于点F，当时，试说明：；方法探究】社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到，（1）请接着完成剩下的说理过程：【方法运用】（2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间数量关系为_（用含k的式子表示，不需要证明）；（3）如图2，若，求出BD的长；【拓展提升】（4）如图3，若，连接AE，已知，且，则边EF的长_2023年江西省赣州市石城县中考一模数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 的倒数是（ ）A. B. 2023C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数
9、的积为1，则这两个数互为倒数，即可求解【详解】解：的倒数是，故选：D【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键2. 如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据从前面看到的图形是主视图，即可求解【详解】解：根据题意得：其主视图是 故选：C【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键3. 下列说法正确的是（ ）A. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数D. 若平均数相同
10、的甲、乙两组数据，则甲组数据更稳定【答案】A【解析】【分析】根据抽样调查和全面调查的特点和适用情况判断选项A；根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念判断选项B；根据事件可能性大小分析判断选项C；根据方差的概念判断选项D【详解】解：A. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式，该说法正确，符合题意；B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故该选项说法错误，不符合题意；C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是奇数，故该选项说法错误，不符合题意；D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，则乙组数据更稳定，故该选项说法错误，不符合题意故选：A【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调
11、查、事件可能性大小以及方差等知识，熟练掌握相关知识是解题关键4. 如图，为的直径，弦于，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理结合已知条件求得AB =6，再利用三角形的面积公式求ACB的面积即可.【详解】CD为O的直径，弦ABCD，AE=3，AB=2AE=6，ACB的面积为ABCE=62=6，故选C【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟知垂径定理的内容是解决问题的关键.5. 如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t anC的值是（）A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义
12、可求解【详解】如图：在RtACD中，tanC故选B【点睛】本题考查了锐角三角比的意义将角转化到直角三角形中是解答的关键6. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；m为任意实数，则；若且，则其中正确的有（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与y轴的交点位置得到，所以，根据二次函数的性质可得当时，函数最大值，则当时，再根据抛物线的对称性和抛物线与x轴的交点坐标判断即可得到结论；【详解】抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，即，故正确；抛物线与y轴的交点在x轴上方，故错误；抛物线对称轴为直线，函数最大值，当时，即，故错误；抛
13、物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，当时，故错误；，而，即，故正确；综上所述，正确的有故答案选C【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 分解因式：=_【答案】【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键8. 抛物线和抛物线关于原点对称，则抛物线解析式是_【答案】【解析】【分析】设是则抛物线图象上的一点，则根据题意可知点在抛物线的函数图象上，由此可得到，即抛
14、物线解析式是【详解】解：设是则抛物线图象上的一点，则关于原点对称的点的坐标为，抛物线和抛物线关于原点对称，点在抛物线的函数图象上，抛物线解析式是，故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键9. 已知，是一元二次方程的两根，且，则_【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，则【详解】解：，是一元二次方程两根，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则10. 欧阳修的卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔
15、入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为_【答案】【解析】【分析】分别求出铜钱和中间正方形孔对的面积，然后利用几何概率计算详解】解：S正方形1，S圆，P故答案为：【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是：能分别求出满足基本事件和总的基本事件的“几何度量”，最后代入公式求解11. 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_【答案】9【解析】【分析】根据平行的性质可知，进而可证得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论
16、【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到，的面积记为，解得故答案为：9【点睛】本题考查了平移性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似12. 两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，当是等腰三角形时，则的长为_【答案】或或【解析】【分析】解答时，分BE=PE，PB=PE和BP=BE三种情况求解即可【详解】解：当BE=PE时，B=C=DEF=DFE=45，BPE=45，BEP=90，QEC=45，EQC=90，PE=BE=BPsin45=，EQ=CQ=ECsin45=， BC=10，AC=BCsin45=，AQ=AC-QC
17、=当PB=PE时，根据前面计算，得到BH=PH=3，BH=HE=3，B=C=DEF=DFE=45，EQC=45，CEQ=90，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，CQ=， BC=10，AC=BCsin45=，AQ=AC-QC=当BP=BE时，B=C=DEF=DFE=45，BPE=BEP=QEC=EQC，PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=， BC=10，AC=BCsin45=，AQ=AC-QC=，综上所述AQ的长为或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活
18、运用特殊角的三角函数值是解题的关键三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算： （2）如图，已知平分，且，求证：【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数和负整数指数幂的运算法则解答；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而可得结论【详解】解：（1）；（2）证明：平分，【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂、角平分线的定义、等腰三角形的性质以及平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键14. 解不等式组：并在数轴表示它的解集【答案】2x1，在数轴上表示见解析.【解析】【分析】分别解出每个不
19、等式后再求不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可.【详解】不等式的解集为x2 不等式的解集为x1 原不等式组的解集为2x1 ，解集在数轴上表示为.【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟悉解一元一次不等式组的解法，并会在数轴上表示不等式组得解集.15. 如图，AE平分，D为AE上一点，（1）求证：；（2）若D为AE中点，求CD的长【答案】（1）证明见详解；（2）CD的长为2【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明；（2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得【详解】解：（1）证明AE平分，在与中，；（2）D为AE中点，CD
20、的长为2【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键16. 为了促进青少年校园足球活动的开展，现决定从我市中学生足球比赛三支获奖足球队，队中，随机抽取两支球队分别到边远地区学校进行交流展示（1）本次活动中足球队被抽中是_事件；（2）请用列表或画树状图的方法，求出同时抽到队和队的概率【答案】（1）随机 （2），表格见解析【解析】【分析】（1）根据随机事件的定义可得；（2）列表得出所有等可能结果，共有6种等可能结果，其中抽到队和队的有2种结果，再利用概率公式求解即可【小问1详解】解：根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不
21、发生的事件，称为随机事件，故本次活动中足球队被抽中是随机事件故答案为：随机【小问2详解】列表如下：由表可知，共有6种等可能的结果；其中抽到队和队的有2种结果，抽到队和队概率为【点睛】此题考查的是用列表法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比17. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：（1）在图1中作出的边上的高；（2）请在图2中线段上确定一点F，使得（3）请在图3中作出的切线【答
22、案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析【解析】【分析】（1）延长交于点D，连接即可；（2）取点C下面一个格点N，点B上面一个格点H，连接交于点F，利用矩形的性质证明点F是的中点，再利用三角形中线的性质即可结论；（3）根据全等三角形的性质确定点D即可【小问1详解】解：如图，线段即所求，证明如下：延长交于点D，为的直径，为的高；【小问2详解】解：如图，即所求；证明如下： 取点C下面一个格点N，点B上面一个格点H，连接交于点F，四边形是矩形，即点F是的中点，是的中线，；小问3详解】解：如图，线段即所求证明如下：取格点G、M，连接、，在和中，即，又为的半径，为的切线【点睛】本题考查无
23、刻度的直尺作图、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段定理、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质、切线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B（1）求反比例函数的表达式；（2）设D为x轴正半轴上一点，当是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的解析式【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据一次函数 的图象经过，求出点A的坐标，再代入即可解答；（2）过点A作AEx轴于点E，先求出点B的坐标，再根据ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，
24、利用待定系数法即可求出直线AD的解析式即可【小问1详解】解：一次函数 的图象经过，将代入中得：，反比例函数的表达式为：；【小问2详解】解：如图，过点A作AEx轴于点E；在中，令得：，解得：，AEx轴于点E，是以BD为底的等腰三角形，且D为x轴正半轴上一点，设直线AD的函数表达式为y= mx + n，将，代入表达式中得： ，解得： ，直线AD的函数表达式为【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握待定系数法和等腰三角形性质等相关知识是解题关键19. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当
25、位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位图2是其示意图，经测量，钢条，（1）求车位锁的底盒长；（2）若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？通过计算说明理由（参考数据：，）【答案】（1）的长为； （2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案（2）根据锐角三角函数的定义求出的长度即可判断【小问1详解】解：过点作于点，如下图：，在中，(cm)，；【小问2详解】解：在中，(cm)，当车位锁上锁时，这辆
26、汽车不能进入该车位【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型20. 2022年3月12日是中国第44个植树节，山西省绿化委员会向全省各界发出“积极履行植树义务、携手共建美丽山西”的倡议为倡导青少年创绿、爱绿、护绿，增强环保意识，传播环保理念，某校准备购买一批树苗，开展“植树造林，织就美丽梦想”活动现有甲、乙两种树苗供选择，已知乙种树苗比甲种树苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种树苗的数量与用160元钱购买乙种树苗的数量刚好相等（1）求甲、乙两种树苗每株的价格（2）该校计划购买甲、乙两种树苗共1000株，经调查发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95
27、%，要使这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何购买两种树苗？最低费用是多少？【答案】（1）甲种树苗每株的价格为5元，则乙种树苗每株的价格为8元 （2）购买甲种树苗600株，乙种树苗400株费用最低，最低费用是6200元【解析】【分析】（1）设甲种树苗每株的价格为x元，则乙种树苗每株的价格为（x+3）元，根据“用100元钱购买甲种树苗的数量与用160元钱购买乙种树苗的数量刚好相等”列出方程，即可求解；（2）设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买（1000-b）株，购买的总费用为W元，根据条件列出不等式和W与b的函数关系式，由一次函数的性质就可以得出结论【小问1详解】解：设甲种树苗
28、每株的价格为x元，则乙种树苗每株的价格为（x+3）元，根据题意得：，解得：x=5，经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，x+3=8，答：甲种树苗每株的价格为5元，则乙种树苗每株的价格为8元；【小问2详解】解：设甲种树苗购买b株，则乙种树苗购买（1000-b）株，购买的总费用为W元，由题意得：90%b+95%（1000-b）100092%，解得：b600，W=5b+8（1000-b）=-3b+8000，k=-30，W随b的增大而减小，b=600时，W最小，最小值为6200，答：购买甲种树苗600株，乙种树苗400株费用最低，最低费用是6200元【点睛】本题考查了分式方程解实际问题，一元一次不等
29、式解实际问题，一次函数的的实际应，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，（1）求证：是的切线；（2）求证：是等腰三角形；（3）若，求的长及 的值【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）3，【解析】【分析】（1）连接，点是的中点，是的中点，即有，即可得到根据为的直径，有，即，则有，可知是的切线；（2）根据点是的中点，是的中点，可知，根据四边形内接于，可知，即有，结论得证；（3）先证得，则有，可解得，；在中，由勾股定理可得，解得，由即可获得答案【小问1详解】证明：连接
30、，如下图，是的中点，是的中点，为的直径，即，是的切线；【小问2详解】证明：点是的中点，即，四边形内接于，是等腰三角形；【小问3详解】，即，；在中，由勾股定理可得，即，解得，【点睛】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，证得是圆的切线是解答本题的关键22. 已知二次函数（1）有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有_（填序号）二次函数的图象开口向上；二次函数的图象的对称轴是直线；二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）；函数值y随着x的增大而减小（2）当时，抛物线的顶点坐标为_；将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为_；（3）
31、设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）（1，2）； （3）存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，m的值为1或【解析】【分析】（1）根据二次函数图形的性质判断；（2）代值计算即可；根据翻折的后的顶点坐标直接解出函数解析式；（3）根据正方形的性质找到点的坐标之间的关系，列方程求解即可【小问1详解】当时，抛物线的开口向上，故不一定正确；抛物线的对称轴为直线，故正确；在
32、中，时时，即抛物线经过定点（0，3）和（2，3），故正确；二次函数的值在对称轴两侧的增减性恰好相反，故不正确；故答案为：；【小问2详解】当时，抛物线的顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，2）；将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为（1，2），抛物线表达式为，故答案为：；【小问3详解】存在实数m，使得以点为顶点的四边形为正方形，理由如下：如图：在中，令得，E（0，3），抛物线的对称轴为直线，F（2，3），在中，令得，P（1，3m），P，Q关于直线对称，Q（1，3+m），由对称性知EF，PQ互相平分，且，以点为顶点的四边形为正方形，只需，解得或，m的值为1或【点睛】此题考查二次函数的几何综
33、合，解题关键是找到特殊点的坐标代值计算，解题技巧是根据正方形的推论出边长的关系，转化成点的坐标直接计算六、（本大题共12分）23. 【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：如图1，在中，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：；【方法探究】社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到，（1）请接着完成剩下的说理过程：【方法运用】（2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为_（用含k的式子表示，不需要证明）；（3）如图2，若，求出BD的长；【拓展提
34、升】（4）如图3，若，连接AE，已知，且，则边EF的长_【答案】（1）见解析；（2）；（3）8；（4）【解析】【分析】（1）当BD：DE=1时，DE=BD，再根据BDA=EDM，BD=ED，可证ABDMED，得出AB=ME，又BAD=DAC，则FMD=DAC，AF= MF，即可证出结论；（2）当BD：DE=k时，同(1)可得，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）根据(2)的结论代入数值计算即可；（4）延长AD、EF交点为G，由(1) (2)可知GE= 18，过点A作AHGE，在中，则，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，当时，在中，解得，成立；当时，因，所以不成立.【详解】（1）证明：当时，在与中，又AD平分，；（2）；理由：当时，又，即：，又AD平分，；（3）由（2）得，设，则，；（4）如图，延长AD、EF交点为G，由(1) (2)可知：，GE=18，过点A作AHGE，在中，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，当时，在中，解得，成立；当时，同理可得：，不成立.综上所述，【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（4）中要进行分类求解.
