1、2020 年江西省赣州市南康区中考数学模拟试卷（年江西省赣州市南康区中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项） 1下列各数中，是无理数的是（ ） A B C D3.14159 2据统计，截至北京时间 2020 年 4 月 7 日 10 时 30 分，全球新冠肺炎确诊病例超过 135 万例，请将数据 “135 万”用科学记数法表示为（ ） A135104 B13.5105 C1.35106 D0.135107 3如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ） A B C D
2、 4 在一次体检中， 甲、 乙、 丙、 丁四位同学的平均体重为 52.5kg， 而甲、 乙、 丙三位同学的平均体重为 52.3kg 下 列说法正确的是（ ） A四位同学体重的中位数一定是其中一位同学的体重 B丁同学的体重一定高于其他三位同学的体重 C丁同学的体重为 53.1kg D四位同学体重的众数一定是 52.5kg 5如图，正五边形 ABCDE 中，以 BC 为一边，在五边形内部作等边BCF，连接 AF，则AFB 的度数是 （ ） A72 B66 C65 D60 6图 1 是边长为 9cm 的正方形纸片，四个角都切去边长为 acm 的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸 盒如图 2，下列说
3、法错误的是（ ） A0a4.5 B该无盖的长方体纸盒的表面积是（814a2 ）cm2 C当 a3 时，图 2 为无盖的正方体纸盒 D该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7分解因式：a39a 8设 x1，x2是方程 x24x60 的两个实数根，则 x12+x22的值为 9已知关于 x 的分式方程+1 的解为非负数，则 a 的取值范围是 10我国古代名著九章算术中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海今凫雁 俱起，问何日相逢？” （凫：野鸭）设野鸭与大雁分别从北海和南海同
4、时起飞，经过 x 天相遇，可列方程 为 11如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， 点 C 在第一象限，将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE 的中点，DE 与 BC 交于点 F若 y（k0）图象经过点 C，且 SBEF1，则 k 的值为 12已知在ABC 中，C90，AC6，BC8，点 D 是边 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，连接 DE，当 BDE 为等腰三角形时，BE 的长为 三解答题（共三解答题（共 84 分）分） 13 （1）计算： （ab）22a（ab）+（a
5、+2b） （a2b） ； （2）解不等式1，并把解集在数轴上表示出来 14如图，已知：在ABC 中，BAC90，延长 BA 到点 D，使 ADAB，点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点求证：DFBE 15如图，四边形 ABCD 是菱形，BE 是 AD 边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图 1 中，BDAB，作BCD 的边 BC 上的中线 DF； （2）在图 2 中，BDAB，作ABD 的边 AB 上的高 DF 16现有五张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字3，2，1，2，3，把这五张卡片背面朝 上洗匀后放在桌面上 （1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数
6、字为正数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点 Q 的横坐标，再从剩下的卡片中随机抽取一张，其上的 数字作为点 Q 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点 Q 在第二象限内的概率 17如图 1 是某工厂生产的多功能儿童滑板车示意图，已知前后车轮半径相同，车杆 AB 的长为 100cm，点 D 是 AB 的中点， 前支撑板 DE50cm， 支撑点 E 在水平线 BC 上， B53（参考数据： sin530.80， cos530.60，tan531.33） （1）求支撑点 E 与前轮轴心 B 之间的距离 BE 的长； （2）根据需要，滑板车可变形为如图 2 所示的自行车，前支撑板
7、DE 变形为座板后与水平面 BC 平行， 后支撑板 EC60cm，求变形后两轴心之间的距离 BC 的长 18【收集数据】 江西中考体育自选项目中有一项是女子 1 分钟仰卧起坐 某学校为了解该项目的训练情况， 在九（1） 、 （2）两个班各随机抽取了 12 位女生进行测试，得到测试成绩如下（单位：个） ： 九（1）班：42，56，57，35，54，51，49，55，56，47，40，46 九（2）班：32，53，46，38，51，48，40，53，49，56，57，53 【整理数据】分组整理，描述这两组数据如表： 组别频数 32x37 37x42 42x47 47x52 52x57 九（1）班
8、1 1 2 a 5 九（2）班 1 2 1 3 5 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 49 56 b 48.2 九（2）班 48 c 50 58.5 （1）a ，b ，c （2）若规定成绩在 42 个及以上为良好，请估计全校 480 名女生中测试成绩良好的学生有多少人？ （3）你认为哪个班的女生 1 分钟仰卧起坐整体训练的水平较好，请根据以上统计数据，说明你的理由 19如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 O 作 ODAB，交 BC 的延长线于 D，交 AC 于点 E， F 是 DE 的中点，连接 CF （1）
9、求证：CF 是O 的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 20南康是中部家具产业基地，某家具厂接到订单要生产如图所示的正三棱柱家具配件 6000 个，每个配件 由 3 个矩形侧面和 2 个等边三角形底面组成仓库现有甲、乙两种规格的木板共 2600 张，其中甲种木板 刚好可以裁出 4 个侧面，乙种木板可以裁出 3 个底面和 2 个侧面 （裁剪后边角料不再利用，拼接材料忽 略不计） （1）若裁出的侧面和底面恰好全部用完，间两种木板各有多少张？ （2）仓库的这些木板是否能满足这批订单的需要？如果能，请求出还可剩余甲、乙木板各多少张；如果 不能，那么至少还需要甲、乙木板各多少张才能生产出这批订单
10、21如图，在平面直角坐标系中， RtOBC 的边 OB 在 x 轴上， 点 O 与原点重合，直角顶点 C 在第一象限， 且 B（25，0） ，OC20 （1）直接写出点 C 的坐标 ； （2）点 M 是边 OC 上的一个动点，过点 M 作 MNOB 交 BC 于点 N，设 M 点的横坐标为 m（m0） 用 m 的代数式求 MN 的长； 在边 OB 上是否存在点 Q，使得MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时点 M 的坐标；若不 存在，请说明理由 22 在矩形 ABCD 中， AB3， AD4， 将该矩形绕点 A 顺时针旋转 （0360） ， 得到矩形 AMNK （1）如图，当点 M 在
11、BD 上时，连接 DN求证：DMNMDA； （2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻使得 KAKD？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理 由； （3）当 90时，求边 CD 扫过部分的面积 23如图，直线 l1：yb 与 y 轴正半轴交于点 A；直线 l2：yxb 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：yx2+bx 的顶点为 C，与 x 轴的右交点为 D （1）若 AB8，则 b ，此时抛物线 L 的对称轴与直线 l2的交点坐标为 ； （2）当顶点 C 在直线 l1下方时，求顶点 C 与直线 l1距离的最大值 h； （3）已知 m0，过点 P（m，0）作 x 轴的垂线分别交直线 l1，直线
12、l2和抛物线 L 于点 M，N，Q，且点 Q 是 MN 的中点，求此时 PD 的长； （4）已知抛物线 L 与直线 l2围成了一个封闭图形，在这个封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数 的点称为“美点” 当 b2020 时， “美点”个数有 个； 当 b2020.5 时， “美点”个数有 个 2020 年江西省赣州市南康区中考数学模拟试卷（年江西省赣州市南康区中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1下列各数中，是无理数的是（ ） A B C D3.14159 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要
13、同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数 【解答】解：A.，是整数，属于有理数； B.，是无理数； C.是分数，属于有理数； D.3.14159 是有限小数，属于有理数 故选：B 2据统计，截至北京时间 2020 年 4 月 7 日 10 时 30 分，全球新冠肺炎确诊病例超过 135 万例，请将数据 “135 万”用科学记数法表示为（ ） A135104 B13.5105 C1.35106 D0.135107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a
14、时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：135 万13500001.35106， 故选：C 3如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ） A B C D 【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的视图，注意看不到的棱需要画成虚线 【解答】解：该几何体的主视图是一个矩形，矩形的右边有一条线段把矩形分成了一个梯形和三角形 故选：B 4 在一次体检中， 甲、 乙、 丙、 丁四位同学的平均体重为 52.5kg， 而甲、 乙、 丙三位同学的平均体重为 52.3kg
15、 下 列说法正确的是（ ） A四位同学体重的中位数一定是其中一位同学的体重 B丁同学的体重一定高于其他三位同学的体重 C丁同学的体重为 53.1kg D四位同学体重的众数一定是 52.5kg 【分析】根据中位数的概念判断 A，根据平均数的概念判断 B，根据平均数的计算公式求出丁同学的体 重，判断 C，根据众数的概念判断 D 【解答】解：A、四位同学体重的中位数一定是其中两位同学的体重的平均数，本选项说法错误； B、丁同学的体重一定高于其他三位同学的体重的平均数，但不一定高于其他三位同学的体重，本选项 说法错误； C、设丁同学的体重为 xkg， 由题意得，52.5， 解得，x53.1， 丁同学的
16、体重为 53.1kg，本选项说法正确； D、四位同学体重的众数不一定是 52.5kg，本选项说法错误； 故选：C 5如图，正五边形 ABCDE 中，以 BC 为一边，在五边形内部作等边BCF，连接 AF，则AFB 的度数是 （ ） A72 B66 C65 D60 【分析】 根据多边形的内角和公式列式求出ABC， 再根据等边三角形的每一个内角都是 60可得CBF 60，三条边都相等可得 BCBF，然后求出ABF，ABBF，最后根据等腰三角形两底角相等求解 即可 【解答】解：在正五边形 ABCDE 中，ABC（52）180108， BCF 是等边三角形， CBF60，BCBF， ABF108604
17、8， ABBC， ABBF， AFB（180ABF）（18048）66 故选：B 6图 1 是边长为 9cm 的正方形纸片，四个角都切去边长为 acm 的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸 盒如图 2，下列说法错误的是（ ） A0a4.5 B该无盖的长方体纸盒的表面积是（814a2 ）cm2 C当 a3 时，图 2 为无盖的正方体纸盒 D该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 【分析】根据图形的形状以及相关数据进行判断即可 【解答】解：A、原正方形纸片的边长为 9cm，四个角都切去边长为 acm 的小正方形，所以 0a4.5， 本选项正确； B、根据题意得出该无盖的长方体纸盒的表面积是 9
18、24a2（814a2）cm2，本选项正确； C、当 a3 时，92a3，所以图 2 为正方体，本选项正确； D、长方体的所有棱长之和为 8（92a）+4a7212a，不是定值，本选项错误； 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7分解因式：a39a a（a+3） （a3） 【分析】本题应先提出公因式 a，再运用平方差公式分解 【解答】解：a39aa（a232）a（a+3） （a3） 8设 x1，x2是方程 x24x60 的两个实数根，则 x12+x22的值为 28 【分析】 根据方程的系数结合根与系数的关系可得出 x1+x24， x1x26， 将其代入 x12+x22 （x1+
19、x2） 22x1x2 中，即可求出结论 【解答】解：x1，x2是方程 x24x60 的两个实数根， x1+x24，x1x26， x12+x22（x1+x2）22x1x2422（6）28 故答案为：28 9已知关于 x 的分式方程+1 的解为非负数，则 a 的取值范围是 a4 且 a7 【分析】首先解关于 x 的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于 0 列不等式求得 a 的范围 【解答】解：方程两边同时乘以（x3）得：a34x3 移项，合并同类项，得 xa4， 根据题意得：a40 且 a43， 解得：a4 且 a7， 故答案为 a4 且 a7 10我国古代名著九章算术中有一题“今
20、有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海今凫雁 俱起，问何日相逢？” （凫：野鸭）设野鸭与大雁分别从北海和南海同时起飞，经过 x 天相遇，可列方程 为 （+）x1 【分析】直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进而得出等式 【解答】解：设野鸭与大雁分别从北海和南海同时起飞，经过 x 天相遇，可列方程为： （+）x1 故答案为： （+）x1 11如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， 点 C 在第一象限，将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE 的中
21、点，DE 与 BC 交于点 F若 y（k0）图象经过点 C，且 SBEF1，则 k 的值为 24 【分析】连接 OC，BD，根据折叠的性质得到 OAOE，得到 OE2OB，求得 OA2OB，设 OBBE x， 则 OA2x， 根据平行四边形的性质得到 CDAB3x， 根据相似三角形的性质得到 ，求得 SBDF3，SCDF9，于是得到结论 【解答】解：连接 OC，BD， 将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处， OAOE， 点 B 恰好为 OE 的中点， OE2OB， OA2OB， 设 OBBEx，则 OA2x， AB3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB3x
22、， CDAB， CDFBEF， ， SBEF1， SBDF3，SCDF9， SBCD12， SCDOSBDC12， k 的值2SCDO24 12已知在ABC 中，C90，AC6，BC8，点 D 是边 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，连接 DE，当 BDE 为等腰三角形时，BE 的长为 8 或 5 或 【分析】分三种情形分别求解即可解决问题 【解答】解：如图， 在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8， AB10， D 是 AB 的中点， BDAD5， 当 DBDE2时，点 E2与 C 重合，此时 BE28， 当 BDBE1时，BE15， 当 EDEB 时，过点 E 作 EHBD 于
23、 H，则 DHBH， cosB， ， BE， 综上所述，满足条件的 BE 的值为 8 或 5 或 三解答题三解答题 13 （1）计算： （ab）22a（ab）+（a+2b） （a2b） ； （2）解不等式1，并把解集在数轴上表示出来 【分析】 （1）根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以解答本题； （2）根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴表示出来即可 【解答】解： （1） （ab）22a（ab）+（a+2b） （a2b） a22ab+b22a2+2ab+a24b2 3b2； （2）1， 不等式两边同乘以 6，得 5x+22（2x1）6， 去括号，得 5x+2
24、4x+26， 移项及合并同类项，得 x2， 故原不等式的解集是 x2，在数轴上表示如下图所示： 14如图，已知：在ABC 中，BAC90，延长 BA 到点 D，使 ADAB，点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点求证：DFBE 【分析】证出 FE 是ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出 FEAB，FEAB，得出EFC BAC90，得出DAFEFC，ADFE，证明ADFFEC 得出 DFEC，即可得出结论 【解答】证明：BAC90， DAF90， 点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点， AFFC，BEEC，FE 是ABC 的中位线， FEAB，FEAB， EFCBAC90， DAFEF
25、C， ADAB， ADFE， 在ADF 和FEC 中， ADFFEC（SAS） ， DFEC， DFBE 15如图，四边形 ABCD 是菱形，BE 是 AD 边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图 1 中，BDAB，作BCD 的边 BC 上的中线 DF； （2）在图 2 中，BDAB，作ABD 的边 AB 上的高 DF 【分析】 （1）连接 AC 交 BD 于点 O，作直线 OE 交 BC 于 F，连接 DF，线段 DF 即为所求 （2）作直线 AC 交 BE 的延长线于 K，作直线 DK 交 BA 于点 F，线段 DF 即为所求 【解答】解： （1）如图 1 中，线段
26、DF 即为所求 （2）如图 2 中，线段 DF即为所求 16现有五张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字3，2，1，2，3，把这五张卡片背面朝 上洗匀后放在桌面上 （1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为正数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点 Q 的横坐标，再从剩下的卡片中随机抽取一张，其上的 数字作为点 Q 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点 Q 在第二象限内的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）通过画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，再找出点 Q 在第二象限的结果数，然后根据概率公 式求解 【解答】解： （1）随机抽取一张卡片
27、，抽取的卡片上的数字为正数的概率为； （2）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中点 Q 在第二象限的结果数为 6， 所以点 Q 在第二象限的概率为： 17如图 1 是某工厂生产的多功能儿童滑板车示意图，已知前后车轮半径相同，车杆 AB 的长为 100cm，点 D 是 AB 的中点， 前支撑板 DE50cm， 支撑点 E 在水平线 BC 上， B53（参考数据： sin530.80， cos530.60，tan531.33） （1）求支撑点 E 与前轮轴心 B 之间的距离 BE 的长； （2）根据需要，滑板车可变形为如图 2 所示的自行车，前支撑板 DE 变形为座板后与水平面 BC
28、平行， 后支撑板 EC60cm，求变形后两轴心之间的距离 BC 的长 【分析】 （1）如图 1，过点 D 作 DFBE 于点 F，由题意知 BDDE50cm，根据三角函数的定义即可 得到结论； （2）如图 2，过点 D 作 DMBC 于 M，过点 E 作 ENBC 于点 N，由题意知四边形 DENM 是矩形，求 得 MNDE50cm，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）如图 1，过点 D 作 DFBE 于点 F， 由题意知 BDDE50cm， BFBDcosABC5030（cm） ， BE2BF60cm； （2）如图 2，过点 D 作 DMBC 于 M，过点 E 作 ENBC 于点
29、N， 由题意知四边形 DENM 是矩形， MNDE50cm， 在 RtDBM 中，BMBDcosABC5030（cm） ，ENDMBDsinABC5040（cm） ， 在 RtCEN 中，CE60cm， 由勾股定理可得 CN20cm， 则 BC30+50+20（80+20） （cm） ， 答：BC 的长度为（80+20）cm 18【收集数据】 江西中考体育自选项目中有一项是女子 1 分钟仰卧起坐 某学校为了解该项目的训练情况， 在九（1） 、 （2）两个班各随机抽取了 12 位女生进行测试，得到测试成绩如下（单位：个） ： 九（1）班：42，56，57，35，54，51，49，55，56，47
30、，40，46 九（2）班：32，53，46，38，51，48，40，53，49，56，57，53 【整理数据】分组整理，描述这两组数据如表： 组别频数 32x37 37x42 42x47 47x52 52x57 九（1）班 1 1 2 a 5 九（2）班 1 2 1 3 5 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 49 56 b 48.2 九（2）班 48 c 50 58.5 （1）a 3 ，b 50 ，c 53 （2）若规定成绩在 42 个及以上为良好，请估计全校 480 名女生中测试成绩良好的学生有多少人？ （3）你认为哪个
31、班的女生 1 分钟仰卧起坐整体训练的水平较好，请根据以上统计数据，说明你的理由 【分析】 （1） 根据九（1） 班被调查的人数为 12 人可得 a 的值， 根据中位数、众数的概念可得 b、c 的值； （2）用总人数乘以样本中两个班成绩良好的人数和占被调查人数的比例即可得； （3）从平均数和方差的意义分析求解可得 【解答】解： （1）a12（1+1+2+5）3， 将九（1）班成绩重新排列为：35，40，42，46，47，49，51，54，55，56，56，57， 其中位数 b50， 九（2）班成绩的众数 c53， 故答案为：3，50，53； （2）估计全校 480 名女生中测试成绩良好的学生有
32、480380（人） ； （3）由表可知，九（1）班成绩的平均数大于九（2）班，方差小于九（2）班， 所以九（1）的仰卧起坐的成绩比九（2）班好，且成绩稳定 19如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 O 作 ODAB，交 BC 的延长线于 D，交 AC 于点 E， F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证：CF 是O 的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 【分析】 （1）根据圆周角定理得到ACBACD90，根据直角三角形的性质得到 CFEFDF， 求得AEOFECFCE，根据等腰三角形的性质得到OCAOAC，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到OAECDE22.5，
33、根据等腰三角形的性质得到CADADC 45，于是得到结论 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ACBACD90， 点 F 是 ED 的中点， CFEFDF， AEOFECFCE， OAOC， OCAOAC， ODAB， OAC+AEO90， OCA+FCE90，即 OCFC， CF 与O 相切； （2）解：连接 AD，ODAB，ACBD， AOEACD90， AEODEC， OAECDE22.5， AOBO， ADBD， ADOBDO22.5， ADB45， CADADC45， ACCD 20南康是中部家具产业基地，某家具厂接到订单要生产如图所示的正三棱柱家具配件 6000 个，每个配
34、件 由 3 个矩形侧面和 2 个等边三角形底面组成仓库现有甲、乙两种规格的木板共 2600 张，其中甲种木板 刚好可以裁出 4 个侧面，乙种木板可以裁出 3 个底面和 2 个侧面 （裁剪后边角料不再利用，拼接材料忽 略不计） （1）若裁出的侧面和底面恰好全部用完，间两种木板各有多少张？ （2）仓库的这些木板是否能满足这批订单的需要？如果能，请求出还可剩余甲、乙木板各多少张；如果 不能，那么至少还需要甲、乙木板各多少张才能生产出这批订单 【分析】 （1）设甲种规格的纸板有 x 张，乙种规格的纸板有 y 张，根据两种纸板共 2600 张且 3 个侧面和 2 个底面做一个巧克力包装盒，即可得出关于
35、x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）通过计算，甲、乙两种纸板的数量小于 60003 张，故不能满足订单，设还需要 a 张甲种木板，b 张乙种木板即可得出关于 a，b 的二元一次方程组，解之即可得出结论 【解答】解： （1）设甲种规格的纸板有 x 个，乙种规格的纸板有 y 个， 依题意，得：， 解得：x1000 2600010001600（张） 答：甲种规格的纸板有 1000 张，乙种规格的纸板有 1600 张 （2）10004+160027200（张） ， 720060003， 故不能满足订单， 设还需要 a 张甲种木板，b 张乙种木板 ， 解得 故还需要 1500 张甲种木板
36、，2400 张乙种木板 21如图，在平面直角坐标系中， RtOBC 的边 OB 在 x 轴上， 点 O 与原点重合，直角顶点 C 在第一象限， 且 B（25，0） ，OC20 （1）直接写出点 C 的坐标 （16，12） ； （2）点 M 是边 OC 上的一个动点，过点 M 作 MNOB 交 BC 于点 N，设 M 点的横坐标为 m（m0） 用 m 的代数式求 MN 的长； 在边 OB 上是否存在点 Q，使得MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时点 M 的坐标；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）作 CHOB 于 H，由勾股定理得出 BC15，由面积法求出 CH12，再由勾股定理求出
37、 OH，即可得出答案； （2）作 MDOB 于 D，由三角函数定义求出 OMm，得出 CM20m，证MNCOBC， 得出，即可得出答案； 分三种情况，当QMN90，MNMQ 时；当MNQ90，MNQN 时；当MQN90， MQNQ 时；分别求出点 M 的坐标即可 【解答】解： （1）作 CHOB 于 H，如图 1 所示： B（25，0） ， OB25， 在 RtOBC 中，OCB90， BC15， RtOBC 的面积OBCHOCBC， CH12， CHOB， OH16， 点 C 的坐标为（16，12） ； 故答案为： （16，12） ； （2）作 MDOB 于 D，如图 2 所示： 则 ODm
38、，cosMOD， 即， 解得：OMm， CMOCOM20m， MNOB， MNCOBC， ，即， 解得：MN25m； 存在，理由如下： 当QMN90，MNMQ 时，如图 3 所示： tanMOQ， 即， MQm， 由得：MN25m，m25m， 解得：m， MQm， 点 Q 的坐标为（，0） ，点 M 的坐标为（，） ； 当MNQ90，MNQN 时，如图 4 所示： 作 MDOB 于 D，则四边形 MNQD 是正方形， DQMN， OQOD+DQ+， 点 Q 的坐标为（，0） ，点 M 的坐标为（，） ； 当MQN90，MQNQ 时，如图 5 所示： 作 MDOB 于 D， 则 MNMQ，MDQ
39、 是等腰直角三角形， MDQD，MQMDm，MNMQm， 由得：MN25m， 25mm， 解得：m， OD，QDMDm， OQOD+QD， 点 Q 的坐标为（，0） ，点 M 的坐标为（，） ； 综上所述， 在边 OB 上存在点 Q， 使得MNQ 为等腰直角三角形， 点 M 的坐标为 （，） 或 （， ） 22 在矩形 ABCD 中， AB3， AD4， 将该矩形绕点 A 顺时针旋转 （0360） ， 得到矩形 AMNK （1）如图，当点 M 在 BD 上时，连接 DN求证：DMNMDA； （2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻使得 KAKD？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理 由；
40、 （3）当 90时，求边 CD 扫过部分的面积 【分析】 （1）由旋转的性质可得 AMAB，AMNABCDAB90，MNBCAD，由 SAS 可 证DMNMDA； （2）当 KAKD 时，点 K 在 AD 的垂直平分线上，分两种情况讨论，可证ADK 是等边三角形，可得 DAK60，即可得到旋转角 的度数 （3）边 CD 扫过的（阴影部分）面积就是两个扇形的面积之差，利用扇形的面积公式即可求得 【解答】解： （1）由旋转可得，AMAB，AMNABCDAB90，MNBCADAK， AMBABM， 又ABM+MDA90AMB+DMN， MDADMN， 又DMMD， DMNMDA（SAS） ， （2）
41、如图，当 KAKD 时，点 K 在 AD 的垂直平分线上， 分两种情况讨论： 当点 K 在 AD 右侧时， KAKDAK， ADK 是等边三角形， DAK60， 旋转角 60； 当点 K 在 AD 左侧时，同理可得ADK 是等边三角形， DAG60， 旋转角 36060300 （3）如图 3， AB3，ADBC4， AC5， S扇形ACN，S扇形ADK4， S阴影S扇形ACNS扇形ADK4 23如图，直线 l1：yb 与 y 轴正半轴交于点 A；直线 l2：yxb 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：yx2+bx 的顶点为 C，与 x 轴的右交点为 D （1）若 AB8，则 b 4 ，此时抛物线
42、 L 的对称轴与直线 l2的交点坐标为 （2，2） ； （2）当顶点 C 在直线 l1下方时，求顶点 C 与直线 l1距离的最大值 h； （3）已知 m0，过点 P（m，0）作 x 轴的垂线分别交直线 l1，直线 l2和抛物线 L 于点 M，N，Q，且点 Q 是 MN 的中点，求此时 PD 的长； （4）已知抛物线 L 与直线 l2围成了一个封闭图形，在这个封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数 的点称为“美点” 当 b2020 时， “美点”个数有 4042 个； 当 b2020.5 时， “美点”个数有 1011 个 【分析】 （1）当 x0 时，yxbb，所以 B （0，b） ，而 AB
43、8，而 A（0，b） ，则 b（b） 8，b4所以 L：yx2+4x，对称轴 x2，当 x2 时，yx42，于是 L 的对称轴与直线 l2 的交点为（2，2 ） ； （2）y（x） 2+ ，顶点 C（，）因为点 C 在直线 l1下方，则 C 与直线 l1的距离 b （b2）2+11，所以点 C 与直线 l1距离的最大值为 1； （3）由题意得 M（m，b） ，N（m，mb） ，Q（m，m2+bm） ，且 Q 是 MN 的中点，由中点公式可知： b+mb2（m2+bm） ，可求出 m 的值，进而求出 PD 的长度； （4）在抛物线 L 和直线 l2所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的
44、点称为“美点” ，分别 直接写出 b2020 和 b2020.5 时“美点”的个数 【解答】解： （1）当 x0 时，yxbb， B （0，b） ， AB8，而 A（0，b） ， b（b）8， b4 L：yx2+4x， L 的对称轴 x2， 当 x2 时，yx42， L 的对称轴与直线 l2的交点为（2，2 ） ； 故答案为：4， （2，2） ； （2）y（x）2+， L 的顶点 C（，） ， 点 C 在直线 l1下方， 则 C 与直线 l1的距离 b（b2）2+11， 点 C 与直线 l1距离的最大值为 1； （3）由题意得：M（m，b） ，N（m，mb） ，Q（m，m2+bm） ， Q 为
45、 MN 中点， b+mb2（m2+bm） ， 解得：m0 或 m， 又m0， mmb， 点 D 为抛物线 L：yx2+bx 与 x 轴的右交点， D 点的坐标为（0，b） ， PD； （4）当 b2020 时，抛物线解析式 L：yx2+2020 x， 直线 l2解析式：yx2020， 联立上述两个解析式可得：x12020，x21， 可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值，且1 和 2020 之间（包括1 和 2020）共有 2022 个 整数； 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， 线段和抛物线上各有 2022 个整数点， 总计 4044 个点， 这两段图象交点有 2 个点重复重复， 美点”的个数：404424042（个） ； 故答案为：4042； 当 b2020.5 时， 抛物线解析式 L：yx2+2020.5x， 直线 l2解析式：yx2020.5， 联立上述两个解析式可得：x12020.5，x21， 当 x 取整数时，在一次函数 yx2020.5 上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为 0， 在二次函数 yx2+2020.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数， 可知1 到 2020.5 之间有 1011 个偶数，因此“美点”共有 1011 个 故答案为：1011
