1、2023年辽宁省丹东市中考一模数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 6的相反数是（）A. 6B. C. 6D. 2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 右图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 4. 某学校准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学代表学校参加市里举办的“古诗词大赛”，四名同学平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下：，；，；，；，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 函数中，自变量x取值范围是（ ）A. B. 且C.
2、 D. 且6. 将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 7. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：成 绩454647484950人 数124251这此测试成绩的中位数和众数分别为（ ）A. 47, 49B. 48, 49C. 47.5, 49D. 48, 508. 如图，已知矩形，以B为圆心，以小于长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G，连接，则的周长为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 139. 已知菱形边长为6，对角线和交于点O，以O为圆心
3、，以长为半径的圆恰好经过菱形各边中点E，F，G，H，则阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 10. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且满足，结合图象分析下列结论：；方程有两个不相等的实数根；点在抛物线上，则；一次函数满足，则一次函数的图象与抛物线总有公共点其中正确的结论有（ ）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个第二部分主观题（共120分）请用0.5 mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11. 火星围绕太阳公转的轨道半径长约为，数据230000000用科学记数法表示为_12. 因式分解：_13. 若关于x的一元二次方程x
4、22xa0有实数根，则a的取值范围是_14. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为_15. 不等式组的解集为_16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则当气体的体积为时，气压是_17. 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为：，将绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的点处，B点的对应点为点，则点的坐标为_18. 如图，已知在矩形中，点M，N分别在边和上，沿着折叠矩形，使点A的对应点始终落在边上，点D的对应点为点，
5、连接，则下列结论正确的有_（填序号）若点是边的中点，则；折痕长度的取值范围为；当时，点M是边的一个四等分点；连接，当时，是等腰直角三角形三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）19. 先化简，再求值：，其中20. 某校团委要组织班级歌咏比赛，为了将一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为A，B，C，D四首备选歌曲让学生选择（每个学生只选择一首），经过抽样调查后，将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图1，图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，抽取的人数为 人，图1中的 ；（2）求出图1中D所在扇形的圆心角度数，并补全图2中的条形统计图；（3
6、）已知该校共有名学生，据抽样调查结果，估计全校选择歌曲代号为D的学生人数（4）现从甲，乙，丙，丁四名学生中，任选两人担任“歌咏比赛宣传员”，求甲被选到的概率四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 八年（1）班学生周末乘汽车到抗美援朝纪念馆参观，纪念馆距离学校60 km一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达纪念馆已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度22. 如图，是的直径，C是上的一点，点D是的中点，过点D作交延长线于点E，所在直线交的延长线于点F，连接（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的长五、解答题（本题12分
7、）23. 如图，大楼高，远处有另一大楼，某测绘小组在B处测得D点的仰角为，在A处测得D点的仰角为，求大楼的高及两楼之间的距离（参考数据：，）六、解答题（本题12分）24. 草莓是深受大家喜爱一种水果，某超市每天调运一批成本价为每千克元的草莓，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售，每天销售草莓的数量y（千克）与每千克的售价x（元）之间的函数关系如图所示：（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）该超市将草莓的每千克售价定为多少元时，每天销售草莓的利润可达到元；（3）当草莓的每千克售价定为多少元时，该超市每天获利最大？最大利润是多少元？七、解答题（本题12分）25. 已知正方形和等腰直角三角形
8、，连接，点G，H，I分别为线段，的中点，连接，（1）如图1，当点B，A，F在一条直线上时，请直接写出线段与关系；（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，判断线段与的关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若， ，的面积分别为，请直接写出与大小关系；直接写出值八、解答题（本题14分）26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴，垂足为D，直线交直线于点E，过点P作直线轴，垂足为F，直线与直线的交点为G，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的表达式；（2）若且，当时，请求出点P的坐标；（3）若，作直线，在直线上有一动点Q，连接，当时，请直接写出满足条件的的
9、最小值以及此时点P的坐标2023年辽宁省丹东市中考一模数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 6的相反数是（）A. 6B. C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】根据相反数的意义，即可解答【详解】解：的相反数是6，故选：C【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则逐一判断正误【详解】A ，故选项A不正确；B ，故选项B不正确；C ，故选项C不正确；D ，故选项D正确故选：D【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，
10、积的乘方，同底数幂的除法法则，根据运算法则准确计算3. 右图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据从上面向下看得到的图形是俯视图，可得答案【详解】从上面向下看是4列，第1，2，3列有1个小正方形，第4列有2个小正方形，如图所示： 故选：C【点睛】本题考查了简单小立方体堆砌立体图形的三视图，解题时注意从上面向下看，得到的图形是俯视图4. 某学校准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学代表学校参加市里举办的“古诗词大赛”，四名同学平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下：，；，；，；，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同
11、学参赛，那么应该选择的同学是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】先找出乙、丁的平均成绩好且相等，再比较它的方差即可得出答案【详解】由图表可知，乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，由于，故乙的方差大，波动大，则选一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，应选丁故选：D【点睛】本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立5. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）A. B. 且C. D. 且【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解【详解】解：根据题意得，x-20且
12、x30，解得且故选：B【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数6. 将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质和三角板的性质求解即可【详解】解：如图所示，故选：C【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案7. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：成 绩45
13、4647484950人 数124251这此测试成绩的中位数和众数分别为（ ）A. 47, 49B. 48, 49C. 47.5, 49D. 48, 50【答案】B【解析】【详解】试题解析：测试的人数是15人，处于第8位的是48，所以中位数是48.49的次数最多，众数是49.故选B.8. 如图，已知矩形，以B为圆心，以小于长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G，连接，则的周长为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到平分，然后利用矩形的性质和平行线的性质得到，最后利用勾股定理求解即可【详
14、解】由题意可得，平分，矩形，的周长为故选：C【点睛】此题考查了矩形性质，尺规作角平分线，勾股定理等知识，解题的关键是得到平分9. 已知菱形边长为6，对角线和交于点O，以O为圆心，以长为半径圆恰好经过菱形各边中点E，F，G，H，则阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接，首先根据题意证明出是等边三角形，然后利用阴影部分的面积代入求解即可【详解】如图所示，连接，四边形是菱形，即，以O为圆心，以长为半径的圆恰好经过菱形各边中点E，F，G，H，是等边三角形，菱形和圆都是轴对称图形，四个位置的阴影面积都相等，阴影部分的面积故选：A【点睛】此题考查了菱形的性质，求阴影面
15、积，直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明出是等边三角形10. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且满足，结合图象分析下列结论：；方程有两个不相等的实数根；点在抛物线上，则；一次函数满足，则一次函数的图象与抛物线总有公共点其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴可得a与b的数量关系，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断，由时的x的值可判断，根据二次函数的对称性求出对称轴即可判断，由直线和抛物线都经过点可判断【详解】图象开口向下，对称轴为，图象与y轴交于负半轴，故正确；对称轴为，由图象可得
16、，当时，有两个对应的x的值，方程有两个不相等的实数根，故正确；满足，当时，抛物线经过点，点在抛物线上，抛物线的对称轴为，整理得，故正确；一次函数满足，当时，一次函数经过点，抛物线经过点，一次函数与抛物线有公共点，故正确综上所述，正确的结论有，共4个故选：D【点睛】本题主要考查函数图像的性质，函数图像与参数的关系，通过函数图像解不等式，函数图像与图像的关联，能够通过图像的性质列不等式是解题关键第二部分主观题（共120分）请用0.5 mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11. 火星围绕太阳公转的轨道半径长约为，数据230000000用科学记数
17、法表示为_【答案】【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查科学记数法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数解题关键是正确确定a的值以及n的值12. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答【详解】故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法13. 若关于x的一元二次方程x22xa0有实数根，则a的取值范围是_【答案】a1【解析】【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足=b2-4ac0据
18、此可得=b2-4ac=4-4a0，求解即可【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以=b2-4ac=4-4a0，解之得a1故答案为a1【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根14. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为_【答案】4【解析】【详解】首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案解：设黄球的个数为x个，根据题意得：=2/3解得：x=4黄球的个数为
19、415. 不等式组的解集为_【答案】【解析】【分析】分别解两个不等式，得到解集，然后取解集的公共部分即可【详解】，解得，解集为：故答案为：【点睛】此题考查不等式组的解集，解题关键是分别解出两个不等式的解集，然后取解集的公共部分即可16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则当气体的体积为时，气压是_【答案】【解析】【分析】根据图像将函数解析式求解出来,然后直接代入点的坐标进行求解即可【详解】设反比例函数为，代入，得，解得，当时，故答案为：【点睛】此题考查实际问题与反比例函数，解题关键是将函数解析式解出来后直接代入点的坐标进行求解
20、17. 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为：，将绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的点处，B点的对应点为点，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】作轴交y轴于点D，首先根据题意得到，然后利用旋转的性质得到是等边三角形， 得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可【详解】如图所示，作轴交y轴于点D，将绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的点处，是等边三角形，将绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的点处，B点的对应点为点，点的坐标为故答案：【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点1
21、8. 如图，已知在矩形中，点M，N分别在边和上，沿着折叠矩形，使点A的对应点始终落在边上，点D的对应点为点，连接，则下列结论正确的有_（填序号）若点是边的中点，则；折痕长度的取值范围为；当时，点M是边的一个四等分点；连接，当时，是等腰直角三角形【答案】【解析】【分析】证明，可得，故符合题意；当与重合时，折痕，此时折痕最短，且，当与重合时，折痕最长，如图，连接，由矩形的性质可得：，证明，可得，可得；故符合题意；如图，连接，证明，可得，设，则，设，则，由，可得，则，证明，可得，即，则，解方程可得，故不符合题意；由折叠可得：，设，则，证明，可得是等腰直角三角形，故符合题意【详解】解：点是边的中点，矩
22、形，故符合题意；沿着折叠矩形，使点A的对应点始终落在边上，当与重合时，折痕，此时折痕最短，且，当与重合时，折痕最长，如图，连接，由勾股定理可得：，由折叠的性质可得：，由矩形的性质可得：，；故符合题意；如图，连接，矩形，即，设，则，设，则，由对折可得：，由，（舍去），故不符合题意；由折叠可得：，设，解得：，是等腰直角三角形，故符合题意故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，本题难度大，综合程度高，是压轴题三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）19. 先化简，再求值：，其中【答案
23、】，2【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后根据特殊角的三角函数计算x，再代值计算即可【详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键20. 某校团委要组织班级歌咏比赛，为了将一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为A，B，C，D四首备选歌曲让学生选择（每个学生只选择一首），经过抽样调查后，将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图1，图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，抽取的人数为 人，图1中的 ；（2）求出图1中D所在扇形的圆心角度数，并补全图2中的条形统计
24、图；（3）已知该校共有名学生，据抽样调查结果，估计全校选择歌曲代号为D的学生人数（4）现从甲，乙，丙，丁四名学生中，任选两人担任“歌咏比赛宣传员”，求甲被选到的概率【答案】（1）， （2）图1中D所在扇形的圆心角度数为，补全统计图见解析 （3） （4）【解析】【分析】（1）根据B的人数及其所占的百分比可以求得总人数，然后根据代号为A的学生人数和总人数即可求出占抽样总数的百分比；（2）根据各项人数之和等于总数可以求得选择C的人数，从而可以将图2补充完整，根据选D的人数和总人数即可求出D所占的百分比，进而可求出所占的扇形的圆心角度数；（3）根据D项目人数占总人数的比例可以估计全校选择曲目代号为D的
25、人数；（4）利用表格列举出所有的情况，再根据概率公式即可得出结果【小问1详解】由题意可得，本次抽样调查中，总人数为人，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：，故答案为：，；【小问2详解】由题意可得，选择C的人数有：（人），故补全的图如下图所示，D所在扇形圆心角度数为；【小问3详解】由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：人），答：估计全校选择曲目代号为D的学生有名；【小问4详解】甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）由表格可得，一共有12种等可能得情况，其中甲被选到的情况有6种，甲被选到的概率为
26、【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，列表法求概率，在解题时要注意灵活应用条形图列出式子得出结论是本题的关键四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 八年（1）班学生周末乘汽车到抗美援朝纪念馆参观，纪念馆距离学校60 km一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达纪念馆已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度【答案】【解析】【分析】设慢车的速度为，则快车的速度为，列方程即可【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得，解得：经检验：是原方程的解且符合题意；答：慢车的速度为【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，
27、准确分析条件列方程是解题的关键22. 如图，是的直径，C是上的一点，点D是的中点，过点D作交延长线于点E，所在直线交的延长线于点F，连接（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的长【答案】（1）是切线，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等可得，从而利用角平分线和平行证明，然后利用平行线的性质求出，即可解答；（2）连接，首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可【小问1详解】证明：连接，如图所示，D为中点，是的半径，是的切线；【小问2详解】如图所示，连接，又，即，解得【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的性质和判定，
28、熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键五、解答题（本题12分）23. 如图，大楼高，远处有另一大楼，某测绘小组在B处测得D点的仰角为，在A处测得D点的仰角为，求大楼的高及两楼之间的距离（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】根据题意得到矩形，设为，根据锐角三角函数列方程求解即可【详解】解：设，解得：，答：大楼高为，两楼之间的距离为【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是设未知数，然后根据锐角三角函数直接列方程求解六、解答题（本题12分）24. 草莓是深受大家喜爱的一种水果，某超市每天调运一批成本价为每千克元的草莓，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售，每天销售草莓的数量y（千克）
29、与每千克的售价x（元）之间的函数关系如图所示：（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）该超市将草莓的每千克售价定为多少元时，每天销售草莓的利润可达到元；（3）当草莓的每千克售价定为多少元时，该超市每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1） （2） （3）；【解析】【分析】（1）待定系数法直接求解即可；（2）直接根据题意列方程求解即可；（3）将利润用函数表达式表示出来，那么求利润的最大值即求二次函数的最大值【小问1详解】解：设函数解析式为：，代入，得，解得，y与x的函数关系式为：【小问2详解】解：利润为：，解得：或，答：每千克售价定为元时，每天销售草莓的利润可达到元【小问3详解】解：设利润
30、为，则，令，解得，对称轴为，时，（元）答：当草莓的每千克售价定为元时，该超市每天获最大利润是元【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题关键是根据题意列出表达式，将利润最大值转化为二次函数的最大值七、解答题（本题12分）25. 已知正方形和等腰直角三角形，连接，点G，H，I分别为线段，的中点，连接，（1）如图1，当点B，A，F在一条直线上时，请直接写出线段与的关系；（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，判断线段与的关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若， ，的面积分别为，请直接写出与大小关系；直接写出的值【答案】（1）且 （2）且，理由见详解 （3），【解析】【分析】（1）连接，延长交于，可证
31、，结合三角形中位线即可求解；（2）连接交于，与交于，可证，结合三角形中位线即可求解；（3）过作，交的延长线于，过作，可证，即可求解；可求，由即可求解【小问1详解】解：且，如图，连接，延长交于，四边形是正方形，是等腰直角三角形，在和中，()，点G，H，I分别为线段，的中点，；，；故且【小问2详解】解：且，如图，连接交于，与交于，由（1）得：，在和中，()，点G，H，I分别为线段，的中点，；，；故且【小问3详解】解：，如图，过作，交的延长线于，过作，在和中，（），又，由（2）得：，【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形中位线定理，面积转换，正方形的性质，旋转的性质，掌握相关的判定方法及性
32、质是解题的关键八、解答题（本题14分）26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴，垂足为D，直线交直线于点E，过点P作直线轴，垂足为F，直线与直线的交点为G，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的表达式；（2）若且，当时，请求出点P的坐标；（3）若，作直线，在直线上有一动点Q，连接，当时，请直接写出满足条件的的最小值以及此时点P的坐标【答案】（1） （2）或 （3），最小值【解析】【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，再求解即可；（2）先求解，为，设点P的横坐标为m且，则，根据，再建立方程求解即可；（3）如图，则在第一象限内的抛物线上，求解，过作
33、轴于，则，以为圆心，为半径画圆交直线于，则，则，可得当与相切时，最短，此时为切点，连接，设，可得，而，由，再建立方程求解即可【小问1详解】解：抛物线与x轴交于，两点，解得：，抛物线为：；【小问2详解】令，则，设为，解得：，为，设点P的横坐标为m且，则，当时，即，解得：，（不符合题意舍去），当时，即，解得：，（不符合题意，舍去），综上：或；【小问3详解】如图，则在第一象限内的抛物线上，过作轴于，则，以为圆心，为半径画圆交直线于，则，当与相切时，最短，此时为切点，连接，设，在上，即，而，由，即，解得：，（ 不符合题意，舍去），此时【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与纵坐标的交点坐标，一元二次方程的解法，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，确定取最短时Q的位置是解本题的关键.
