1、2022 年辽宁省丹东市中考数学试卷年辽宁省丹东市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分 ）分 ） 1 （3 分）7 的绝对值是（ ） A7 B7 C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B（a2）3a5 C（ab）3a3b3 Da8a2a4 3 （3 分）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 4 （3 分）四张不透明的卡片，正面标有数字分别是2，3，10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片
2、正面的数字是10 的概率是（ ） A B C D1 5 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 且 x0 Dx3 且 x0 6 （3 分）如图，直线 l1l2，直线 l3与 l1，l2分别交于 A，B 两点，过点 A 作 ACl2，垂足为 C，若152，则2 的度数是（ ） A32 B38 C48 D52 7 （3 分）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.2 环，方差分别是 s甲20.12，s乙20.59，s丙20.33，s丁20.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 8 （3
3、 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接 AC，OC，若 AB6，A30，则的长为（ ） A6 B2 C D 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（5，0） ，与 y 轴交于点 C，其对称轴为直线 x2，结合图象分析如下结论：abc0；b+3a0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；若一次函数 ykx+b（k0）的图象经过点 A，则点 E（k，b）在第四象限；点 M 是抛物线的顶点，若 CMAM，则 a其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3
4、分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）美丽的丹东山清水秀，水资源丰富2021 年水资源总量约为 12600000000 立方米，数据 12600000000用科学记数法表示为 12（3 分）因式分解：2a2+4a+2 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m0 没有实数根，则 m 的取值范围是 14 （3 分）某书店与一所中学建立帮扶关系，连续 6 个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200，300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是 本 15 （3 分）不等式组的解集为 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB4，BC8，分别
5、以 A，C 为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 P 和点 Q，直线 PQ 与 AC 交于点 D，则 AD 的长为 17 （3 分）如图，四边形 OABC 是平行四边形，点 O 是坐标原点，点 C 在 y 轴上，点 B 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，若平行四边形 OABC 的面积是 7，则 k 18 （3 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的菱形，ABC60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别是线段 AB，AC 上的动点（不与端点重合） ，且 BEAF，BF 与 CE 交于点 P，延长 BF 交边 AD（或边
6、CD）于点G，连接 OP，OG，则下列结论：ABFBCE；当 BE2 时，BOG 的面积与四边形 OCDG 面积之比为 1：3；当 BE4 时，BE：CG2：1；线段 OP 的最小值为 22其中正确的是 （请填写序号） 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 14 分，共分，共 22 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值：，其中 xsin45 20 （14 分）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间 t（单位：h）划分为 A：t2，B：2t3，C：3t4，D：t4 四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅
7、不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 m ； （2）在扇形统计图中，求 B 组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； （3）已知该校有 960 名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到 3 小时及 3 小时以上的学生共有多少人？ （4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）为推动
8、家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资 12000 元购买一批篮球赠送给家乡的学校实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了 20 元，结果该公司出资 10000 元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？ 22 （12 分）如图，AB 是O 的直径，点 E 在O 上，连接 AE 和 BE，BC 平分ABE 交O 于点 C，过点 C 作CDBE，交 BE 的延长线于点 D，连接 CE （1）请判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 sinECD，CE5，求O 的半径 五、解答题（本题五、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分）如图，我国某海域有 A，B，C
9、三个港口，B 港口在 C 港口正西方向 33.2nmile（nmile 是单位“海里”的符号）处，A 港口在 B 港口北偏西 50方向且距离 B 港口 40nmile 处，在 A 港口北偏东 53方向且位于 C 港口正北方向的点 D 处有一艘货船，求货船与 A 港口之间的距离 （参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19，sin530.80，cos530.60，tan531.33） 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源某景区研发一款纪念品，每件成本为 30 元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低
10、于成本且不高于 54 元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量 y（件）与销售单价 x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价 x（元/件） 35 40 45 每天销售数量 y（件） 90 80 70 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为 1200 元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25 （12 分）已知矩形 ABCD，点 E 为直线 BD 上的一个动点（点 E 不与点 B 重合） ，连接 AE，以 AE 为一边构造矩形 AEFG（A
11、，E，F，G 按逆时针方向排列） ，连接 DG （1）如图 1，当1 时，请直接写出线段 BE 与线段 DG 的数量关系与位置关系； （2）如图 2，当2 时，请猜想线段 BE 与线段 DG 的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，EG，分别取线段 BG，EG 的中点 M，N，连接 MN，MD，ND，若AB，AEB45，请直接写出MND 的面积 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图 1，抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0） ，B（6，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P是第一象限内抛物线上的
12、一个动点，过点 P 作 PDx 轴，垂足为 D，PD 交直线 BC 于点 E，设点 P 的横坐标为m （1）求抛物线的表达式； （2）设线段 PE 的长度为 h，请用含有 m 的代数式表示 h； （3）如图 2，过点 P 作 PFCE，垂足为 F，当 CFEF 时，请求出 m 的值； （4）如图 3，连接 CP，当四边形 OCPD 是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点 Q，使原点 O 关于直线 CQ 的对称点 O恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点 Q 的坐标 2022 年辽宁省丹东市中考数学试卷年辽宁省丹东市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本
13、题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分 ）分 ） 1 （3 分）7 的绝对值是（ ） A7 B7 C D 【分析】根据绝对值的性质解答，当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a 【解答】解：|7|7 故选：A 【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母 a 表示有理数，则数 a 绝对值要由字母 a 本身的取值来确定： 当 a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身 a； 当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a； 当 a 是零时，a 的绝对值是零 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B（a2）3a5 C（ab）3a3
14、b3 Da8a2a4 【分析】根据同底数幂的乘法运算、同底数幂乘方运算、积的乘方、幂的除法运算法则，对选项进行逐一计算即可 【解答】解：a2a3a5，A 选项错误； （a2）3a6，B 选项错误； （ab）3a3b3，C 选项正确； a8a2a6，D 选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了同底数幂的基本运算，解题关键在于要注意指数在计算过程中是相加还是相乘 3 （3 分）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看，是一列两个小正方形 故选：B 【点评】本题考
15、查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 4 （3 分）四张不透明的卡片，正面标有数字分别是2，3，10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是10 的概率是（ ） A B C D1 【分析】用10 的个数除以总数即可求得概率 【解答】解：由题意可知， 共有 4 张标有数字2，3，10，6 的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为10 的有 1 种， 所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是10 的概率是， 故选：A 【点评】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提 5 （3 分）在函
16、数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 且 x0 Dx3 且 x0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为 0 列出不等式组，解不等式组得到答案 【解答】解：由题意得：x+30 且 x0， 解得：x3 且 x0， 故选：D 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为 0 是解题的关键 6 （3 分）如图，直线 l1l2，直线 l3与 l1，l2分别交于 A，B 两点，过点 A 作 ACl2，垂足为 C，若152，则2 的度数是（ ） A32 B38 C48 D52 【分析】根据平行线的性质求出ABC，根据三角形内
17、角和定理求出即可 【解答】解：直线 l1l2，152， ABC152， ACl2， ACB90， 2180ABCACB180529038， 故选：B 【点评】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补 7 （3 分）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.2 环，方差分别是 s甲20.12，s乙20.59，s丙20.33，s丁20.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳
18、定进行判断即可 【解答】解：s甲20.12，s乙20.59，s丙20.33，s丁20.46， s甲2s丙2s丁2s乙2， 成绩最稳定的是甲， 故选：A 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 8 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接 AC，OC，若 AB6，A30，则的长为（ ） A6 B2 C D 【分析】先根据圆周角定理求出BOC2A60，求出半径 OB，再根据弧长公式求出答案即可 【解答】解：
19、直径 AB6， 半径 OB3， 圆周角A30， 圆心角BOC2A60， 的长是， 故选：D 【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为 r，圆心角为 n的弧的长度是 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（5，0） ，与 y 轴交于点 C，其对称轴为直线 x2，结合图象分析如下结论：abc0；b+3a0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；若一次函数 ykx+b（k0）的图象经过点 A，则点 E（k，b）在第四象限；点 M 是抛物线的顶点，若 CMAM，则 a其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4
20、 个 【分析】正确，根据抛物线的位置判断即可； 正确，利用对称轴公式，可得 b4a，可得结论； 错误，应该是 x2 时，y 随 x 的增大而增大； 正确，判断出 k0，可得结论； 正确，设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x5）a（x2）29a，可得 M（2，9a） ，C（0，5a） ，过点M 作 MHy 轴于点 H，设对称轴交 x 轴于点 K利用相似三角形的性质，构建方程求出 a 即可 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 对称轴是直线 x2， 2， b4a0 抛物线交 y 轴的负半轴， c0， abc0，故正确， b4a，a0， b+3aa0，故正确， 观察图象可知，当 0 x2 时，y
21、 随 x 的增大而减小，故错误， 一次函数 ykx+b（k0）的图象经过点 A， b0， k0，此时 E（k，b）在第四象限，故正确 抛物线经过（1，0） ， （5，0） ， 可以假设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x5）a（x2）29a， M（2，9a），C（0，5a）， 过点 M 作 MHy 轴于点 H，设对称轴交 x 轴于点 K AMCM， AMCKMH90， CMHKMA， MHCMKA90， MHCMKA， ， ， a2， a0， a，故正确， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴
22、题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）美丽的丹东山清水秀，水资源丰富2021 年水资源总量约为 12600000000 立方米，数据 12600000000用科学记数法表示为 1.261010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值10 时，n 是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：126000000001.261010 故答案为：1.2610
23、10 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12（3 分）因式分解：2a2+4a+2 2（a+1）2 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式2（a2+2a+1） 2（a+1）2 故答案为：2（a+1）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m0 没有实数根，则 m 的取值范围是 m2.25 【分析】先表示出“” 再根据没有实数根，判别式小于
24、0 求解 【解答】解：根据题意得：94m0， 解得：m2.25， 故答案为：m2.25 【点评】本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键 14 （3 分）某书店与一所中学建立帮扶关系，连续 6 个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200，300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是 350 本 【分析】根据中位数的概念求解即可 【解答】解：将数据 200，300，400，200，500，550 按照从小到大的顺序排列为：200，200，300，400，500，550则其中位数为：350 故答案为：350 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小
25、）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 如果这组数据的个数是偶数， 则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 15 （3 分）不等式组的解集为 1.5x6 【分析】先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分 【解答】解：分别解这两个不等式得：， 所以不等式组的解集为：1.5x6， 故答案为：1.5x6 【点评】本题考查了不等式组的解法，熟练解一元一次不等式是解题的关键 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB4，BC8，分别以 A，C 为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 P 和点 Q，直线 PQ 与 AC 交于点 D，则 AD
26、的长为 2 【分析】利用勾股定理求出 AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出 AD 【解答】解：在 RtABC 中，B90，AB4，BC8， AC4， 由作图可知，PQ 垂直平分线段 AC， ADDCAC2， 故答案为：2 【点评】本题考查作图基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题 17 （3 分）如图，四边形 OABC 是平行四边形，点 O 是坐标原点，点 C 在 y 轴上，点 B 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，若平行四边形 OABC 的面积是 7，则 k 4 【分析】连接 OB，根据
27、反比例函数系数 k 的几何意义得到|k|+37，进而即可求得 k 的值 【解答】解：连接 OB， 四边形 OABC 是平行四边形， ABOC， ABx 轴， SAOD|k|，SBOD， SAOBSAOD+SBOD|k|+， S平行四边形OABC2SAOB|k|+3， 平行四边形 OABC 的面积是 7， |k|4， 在第四象限， k4， 故答案为：4 【点评】本题考查了反比例系数 k 的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|是解答此题的关键 18 （3 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的菱形，A
28、BC60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别是线段 AB，AC 上的动点（不与端点重合） ，且 BEAF，BF 与 CE 交于点 P，延长 BF 交边 AD（或边 CD）于点G，连接 OP，OG，则下列结论：ABFBCE；当 BE2 时，BOG 的面积与四边形 OCDG 面积之比为 1：3；当 BE4 时，BE：CG2：1；线段 OP 的最小值为 22其中正确的是 （请填写序号） 【分析】证明ABC 是等边三角形，进而得出三角形全等的三个条件； 可推出点 G 是 AD 的中点，可以得出 SCODSAOD2SDOG，根据点 O 是 BD 的中点，可以得到 SBOGSDOG，进一
29、步得出结果； 根据 ABCD 得出，从而得出 CG3，于是 BE：CG4：3； 可推出BPC120，从而得出点 P 在以等边三角形 BCH 的外接圆的上运动，当点 O、P、I 共线时，OP最小 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCADCD， ABC60， ABC 是等边三角形， BACABC60， 在ABF 和BCE 中， ， ABFBCE（SAS）， 故正确； 由知：ABC 是等边三角形， ACAB6， AFBE2， CFACAF4， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，OBOD，OAOC， AGFCBF，SBOGSDOG，SAODSCOD， ， ， AG3， AG， SAOD
30、2SDOG， SCOD2SCOG2 S四边形OCDGSDOG+SCOD3SDOG3SBOG， 故正确； 如图 1， 四边形 ABCD 是菱形， ABCD， ， ， CG3， BE：CG4：3， 故不正确； 如图 2， 由得：ABFBCE， BCEABF， BCE+CBFABF+CBFABC60， BPC120， 作等边三角形BCH，作BCH 的外接圆 I， 则点 P 在I 上运动， 点 O、P、I 共线时，OP 最小， 作 HMBC 于 M， HM3， PIIH， ACB+ICB60+3090， OI， OP最小OIPI2， 故不正确， 故答案为： 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判
31、定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件等知识，解决问题的关键熟练掌握“定弦对定角”等模型 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 14 分，共分，共 22 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值：，其中 xsin45 【分析】先化简，再把 x 的值化简代入求解 【解答】解：原式 ， 当 xsin45时， 原式 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键 20 （14 分）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间 t（单位：h）划分为 A
32、：t2，B：2t3，C：3t4，D：t4 四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 100 人，条形统计图中的 m 42 ； （2）在扇形统计图中，求 B 组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； （3）已知该校有 960 名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到 3 小时及 3 小时以上的学生共有多少人？ （4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）根据 D 组的人数和所
33、占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以 C 所占的百分比，即可得出 m 的值； （2）用 360乘以 B 组所占的百分比，求出 B 组的圆心角度数，再用总人数乘以 B 所占的百分比，即可得出 B组的人数； （3）用该校的总人数乘以达到 3 小时及 3 小时以上的学生所占的百分比即可； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）这次抽样调查共抽取的人数有：2828%100（人） ， m10042%42， 故答案为：100，42； （2）B 组所在扇形圆心角的度数是：36020%72； B 组的人数有：10020
34、%20（人） ， 补全统计图如下： （3）根据题意得： 960（42%+28%）672（人） ， 答：估计该校一周累计劳动时间达到 3 小时及 3 小时以上的学生共有 672 人； （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为 8， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）为推动家乡学校篮球运动的发展，
35、某公司计划出资 12000 元购买一批篮球赠送给家乡的学校实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了 20 元，结果该公司出资 10000 元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？ 【分析】设每个篮球的原价是 x 元，则每个篮球的实际价格是（x20）元，根据“该公司出资 10000 元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答 【解答】解：设每个篮球的原价是 x 元，则每个篮球的实际价格是（x20）元， 根据题意，得 解得 x120 经检验 x120 是原方程的解 答：每个篮球的原价是 120 元 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键 22
36、 （12 分）如图，AB 是O 的直径，点 E 在O 上，连接 AE 和 BE，BC 平分ABE 交O 于点 C，过点 C 作CDBE，交 BE 的延长线于点 D，连接 CE （1）请判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 sinECD，CE5，求O 的半径 【分析】 （1）结论：CD 是O 的切线，证明 OCCD 即可； （2）设 OAOCr，设 AE 交 OC 于点 J证明四边形 CDEJ 是矩形，推出 CDEJ4，CJDE3，再利用勾股定理构建方程求解 【解答】解： （1）结论：CD 是O 的切线 理由：连接 OC OCOB， OCBOBC， BC 平分ABD， OBC
37、CBE， OCBCBE， OCBD， CDBD， CDOC， OC 是半径， CD 是O 的切线； （2）设 OAOCr，设 AE 交 OC 于点 J AB 是直径， AEB90， OCDC，CDDB， DDCJDEJ90， 四边形 CDEJ 是矩形， CJE90，CDEJ，CJDE， OCAE， AJEJ， sinECD，CE5， DE3，CD3， AJEJCD4，CJDE3， 在 RtAJO 中，r2（r3）2+42， r， O 的半径为 【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 五、解答题
38、（本题五、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分）如图，我国某海域有 A，B，C 三个港口，B 港口在 C 港口正西方向 33.2nmile（nmile 是单位“海里”的符号）处，A 港口在 B 港口北偏西 50方向且距离 B 港口 40nmile 处，在 A 港口北偏东 53方向且位于 C 港口正北方向的点 D 处有一艘货船，求货船与 A 港口之间的距离 （参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19，sin530.80，cos530.60，tan531.33） 【分析】过点 A 作 AECD，垂足为 E，过点 B 作 BFAE，垂足为 F，根据题意得：EFB
39、C33.2 海里，AGDC，从而可得ADC53，然后在 RtAEF 中，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长，从而求出 AE 的长，最后在 RtADE 中，利用锐角三角函数的定义求出 AD 的长，进行计算即可解答 【解答】解：过点 A 作 AECD，垂足为 E，过点 B 作 BFAE，垂足为 F， 由题意得： EFBC33.2 海里，AGDC， GADADC53， 在 RtABF 中，ABF50，AB40 海里， AFABsin50400.7730.8（海里）， AEAF+EF64（海里）， 在 RtADE 中，AD80（海里）， 货船与 A 港口之间的距离约为 80 海里 【点评】 本题考
40、查了解直角三角形的应用方向角问题， 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源某景区研发一款纪念品，每件成本为 30 元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于 54 元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量 y（件）与销售单价 x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价 x（元/件） 35 40 45 每天销售数量 y（件） 90 80 70 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为 1200 元，那么销售单价
41、应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）设每天的销售数量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间的关系式为 ykx+b，用待定系数法可得 y2x+160； （2）根据题意得（x30） （2x+160）1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于 54 元，可得销售单价应定为 50 元； （3）设每天获利 w 元，w（x30） （2x+160）2x2+220 x48002（x55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为 54 元时，每天获利最大，最大利润，1248 元 【解答】解： （1）设每天的销售数量 y（件）与销售单价 x（元/件
42、）之间的关系式为 ykx+b， 把（35，90），（40，80）代入得： ， 解得， y2x+160； （2）根据题意得： （x30） （2x+160）1200， 解得 x150，x260， 规定销售单价不低于成本且不高于 54 元， x50， 答：销售单价应定为 50 元； （3）设每天获利 w 元， w（x30） （2x+160）2x2+220 x48002（x55）2+1250， 20，对称轴是直线 x55， 而 x54， x54 时，w 取最大值，最大值是2（5455）2+12501248（元） ， 答：当销售单价为 54 元时，每天获利最大，最大利润，1248 元 【点评】本题考查一
43、次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25 （12 分）已知矩形 ABCD，点 E 为直线 BD 上的一个动点（点 E 不与点 B 重合） ，连接 AE，以 AE 为一边构造矩形 AEFG（A，E，F，G 按逆时针方向排列） ，连接 DG （1）如图 1，当1 时，请直接写出线段 BE 与线段 DG 的数量关系与位置关系； （2）如图 2，当2 时，请猜想线段 BE 与线段 DG 的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，EG，分别取线段 BG，EG 的
44、中点 M，N，连接 MN，MD，ND，若AB，AEB45，请直接写出MND 的面积 【分析】 （1）证明BAEDAG，进一步得出结论； （2）证明 BAEDAG，进一步得出结论； （3）解斜三角形 ABE，求得 BE3，根据（2）可得 DG6，从而得出三角形 BEG 的面积，可证得MNDMNG，MNG 与BEG 的面积比等于 1：4，进而求得结果 【解答】解： （1）由题意得：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， ABAD，AEAG，BADEAG90， BADDAEEAGDAE， BAEDAG， BAEDAG（SAS）， BEDG，ABEADG， ADG+ADBABE+ADB90，
45、 BDG90， BEDG； （2）BE，BEDG，理由如下： 由（1）得：BAEDAG， 2， BAEDAG， ，ABEADG， ADG+ADBABE+ADB90， BDG90， BEDG； （3）如图， 作 AHBD 于 H， tanABD， 设 AH2x，BHx， 在 RtABH 中， x2+（2x）2（）2， BH1，AH2， 在 RtAEH 中， tanABE， ， EHAH2， BEBH+EH3， BD5， DEBDBE532， 由（2）得：，DGBE， DG2BE6， SBEG9， 在 RtBDG 和 RtDEG 中，点 M 是 BG 的中点，点 N 是 CE 的中点， DMGM，
46、 NMNM， DMNGMN（SSS）， MN 是BEG 的中位线， MNBE， BEGMNG， （）2， SMNGSMNGSBEG 【点评】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图 1，抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0） ，B（6，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴，垂足为 D，PD 交直线 BC 于点 E，设点 P 的横坐标为m （1）求抛物线的表达式； （2）
47、设线段 PE 的长度为 h，请用含有 m 的代数式表示 h； （3）如图 2，过点 P 作 PFCE，垂足为 F，当 CFEF 时，请求出 m 的值； （4）如图 3，连接 CP，当四边形 OCPD 是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点 Q，使原点 O 关于直线 CQ 的对称点 O恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点 Q 的坐标 【分析】 （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线 BC 的解析式为 yx+3，设点 P 的横坐标为 m，则 P（m，m2+m+3） ，E（m，m+3） ，即可得出 hm2+m； （3）如图，过点 E、F 分别作 EHy 轴于
48、点 H，FGy 轴于点 G，可证得BOCPFE，得出，可求得 EF（m2+m） ，再由CEHCBO，可得，求得 CEm，结合 CFEF，可得EFCEm，建立方程求解即可得出答案； （4）设 Q（2，t） ，分两种情况：当点 O恰好落在该矩形对角线 OD 所在的直线上时，当点 O恰好落在该矩形对角线 CD 上时，当点 O恰好落在该矩形对角线 DC 延长线上时，分别求出点 Q 的坐标即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0） ，B（6，0）两点， ， 解得：， 抛物线的表达式为 yx2+x+3； （2）抛物线 yx2+x+3 与 y 轴交于点 C， C（
49、0，3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b，把 B（6，0） 、C（0，3）代入， 得：， 解得：， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设点 P 的横坐标为 m，则 P（m，m2+m+3） ，E（m，m+3） ， hm2+m+3（m+3）m2+m， 点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点， 0m6， hm2+m（0m6）； （3）如图，过点 E、F 分别作 EHy 轴于点 H，FGy 轴于点 G， P（m，m2+m+3），E（m，m+3）， PEm2+m， PFCE， EPF+PEF90， PDx 轴， EBD+BED90， 又PEFBED， EPFEBD， BOCPFE90， BO
50、CPFE， ， 在 RtBOC 中，BC3， EFPE（m2+m）（m2+m）， EHy 轴，PDx 轴， EHOEDODOH90， 四边形 ODEH 是矩形， EHODm， EHx 轴， CEHCBO， ，即， CEm， CFEF， EFCEm， m（m2+m）， 解得：m0 或 m1， 0m6， m1； （4）抛物线 yx2+x+3， 抛物线对称轴为直线 x2， 点 Q 在抛物线的对称轴上， 设 Q（2，t） ，设抛物线对称轴交 x 轴于点 H，交 CP 边于点 G， 则 GQ3t，CG2，CGQ90， 当点 O恰好落在该矩形对角线 OD 所在的直线上时，如图， 则 CQ 垂直平分 OO，
