1、2023年广东省深圳市高考冲刺数学试卷（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A=x|x5，B=x|x2-6x-70，则AB=()A. x|x-1B. x|-1x5C. x|x-7D. x|-7x52. 若复数，其中是虚数单位，则复数的模为()A. B. C. D. 23. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=1，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为()A. 116B. 136C. 113D. 1334. 若，三角函数式的化简结果为()A. B. C. D. 5. 设随机变量N(,2)，且P(2)=p，则P(0b0，m0
2、，则bab+ma+mC. 函数f(x)=2x-3x-1的值域为(-,2)(2,+)D. 函数f(x)= x-1 x+1与函数g(x)= x2-1为同一个函数11. 关于函数f(x)=2sin(x+3)，下列说法正确的是()A. (23,0)是图象的一个对称中心B. -56,56是函数的一个单调递增区间C. x=-3是图象的一条对称轴D. 最大值是2，最小值是-212. 已知0x1x2x1ex2B. x2lnx1x1lnx2C. x1lnx1x2lnx2D. ex1+ex20恒成立，则实数a的范围是_14. 定义x表示不超过x的最大整数(xR)，如：-1,3=-2，0,8=0；定义x=x-x(1
3、)9991000+99921000+99931000+99941000= _ ；(2)当n为奇数时，9991000+99921000+99931000+999n1000= _ 15. 已知椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上异于左、右顶点的一点，PF1F2外接圆的圆心为M，O为坐标原点，则PMPO的最小值为 16. 设数列an的前n项和为Sn，若a1=3且2an=SnSn-1，则an的通项公式an=_四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)已知等差数列an满足a3=10，a5-2a2=6()求a
4、n；()数列bn满足bn=2n-1(n为奇数)12an-1(n为偶数)，Tn为数列bn的前n项和，求T2n18. (本小题12.0分)某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，按成绩分组：第1组75,80)，第2组80,85)，第3组85,90)，第4组90,95)，第5组95,100，得到的频率分布直方图如图所示(1)由频率分布直方图，估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01)；(2)该校高一年级共有1000名学生，若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人
5、数19. (本小题12.0分)(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击()当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里()问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船20. (本小题12.0分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图E、F分别是BB1，CD的中点()求证：平面AD1F平面ADE；()求直线EF与AD1F所成角的
6、正弦值21. (本小题12.0分)已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F(2,0) ()求抛物线的标准方程；()抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=ax2-xlnx(I)若f(x)在区间(0,+)内单调递增，求a的取值范围；()若a=e(e为自然对数的底数)，证明：当x0时，f(x)xex+1e答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A=x|x5，B=x|x2-6x-70=x|-1x7，则AB=x|-1x5故选：B利用交集的定义直接求解本题考查交集的求
7、法，考查交集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】试题分析：，故选A考点：1复数的运算；2、复数的模3.【答案】C【解析】解：连接AC，BD，交点为E，如图， AB=AD，CB=CD，则AC是公共边，ABCAED，CAB=CAD，由题意得AEBAED，AEB=AED=90，BE=DE，BDPE，BD平面PAC，又BD平面ABCD，平面PAC平面ABCD，过点P作PO平面ABCD，垂足为O，连接OB，PA=PC，OA=OC，OA，OB平面ABCD，POOA，POOB，由PA=PB，PO是公共边，POAPOB，OA=OB=OC，A，B，C三点在以AC为直径的
8、圆周上，ABC=90，AC= 12+22= 5，OA= 52，OP= PA2-OA2= 22-( 52)2= 112，SABCD=2SABC=21212=2，VP-ABCD=13SABCDPO=132 112= 113故选：C先证明BDAC，从而可证明平面PAC平面ABCD，则顶点P的射影在AC上，从而OA=OB=OC，则ABC是直角三角形，再求出底面积和高，能求出该四棱锥的体积本题考查四棱锥的体积、线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题4.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，。由三角函数的倍半公式，=，故选D。考点：本题主要考查倍角、半角的三角函数公式。点评
9、：简单题，利用三角函数倍半公式化简，要注意角的范围，准确确定正负号。5.【答案】D【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题由P(1)=12，可得曲线的对称轴是直线x=1，再利用对称性求解即可【解答】解：由题意，服从正态分布N(,2)，P(1)=12，曲线的对称轴是直线x=1，P(2)=P(0)=p，P(01)=P(1)-P(0)=12-p，故选D6.【答案】A【解析】试题分析：抛物线焦点，双曲线渐近线，即，所以F到渐近线的距离 考点：抛物线焦点坐标，双曲线的渐近线方程，点到线的距离公式7.【答案】C【解析】试题分析：，故选C考点：1.
10、平面向量的基底表示；2.平面向量的数量积8.【答案】A【解析】解：f(x)对任意的x1x2都有f(x1)-f(x2)x1-x20成立，f(x)=ax,(x0)(a-3)x+4a,(x0)为R上的减函数，0a1a-304a1解得02 x2+41 x2+4=2，故f(x)=x2+5 x2+4最小值不是2，故A错误；对于B：ab0，m0，b+ma+m-ba=a(b+m)-b(a+m)a(a+m)=m(a-b)a(a+m)0，即b+ma+mba，故B正确；对于C：f(x)=2x-3x-1=2(x-1)-1x-1=2-1x-1，f(x)2，故函数f(x)=2x-3x-1的值域为(-,2)(2,+)，故C
11、正确；对于D：由f(x)= x-1 x+1可得函数f(x)= x-1 x+1的定义域为x|x1，由函数g(x)= x2-1可得x2-10，即x21，解得x1或x-1，故函数g(x)= x2-1的定义域为x|x1或x-1，两个函数的定义域不同，两个函数不是同一函数，故D错误，故选：BC根据题意，利用基本不等式，函数的基本性质，逐一分析选项，即可得出答案本题考查函数的基本性质、基本不等式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题11.【答案】AD【解析】解：当x=23时，f(23)=2sin(23+3)=2sin=0，则(23,0)是图象的一个对称中心，故A正确，-56,56的区间长度
12、为56-(-56)=53=T2，此时f(x)不可能单调，故B错误，当x=-3时，f(-3)=2sin(-3+3)=2sin0=0，则(-3,0)是图象的一个对称中心，x=-3不是对称轴，故C正确，当sin(x+3)=1时，函数取得最大值2，当sin(x+3)=-1时，函数取得最小值-2，故D正确，故选：AD根据三角函数的对称性，单调性以及最值性质分别进行判断即可本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质是解决本题的关键，是中档题12.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，比较函数值的大小，解题的关键是根据已知不等式特征，构造函数，属于中档题构造函数f(x)=
13、exx，利用导数得出单调性判定A；构造函数g(x)=lnxx，利用导数得出单调性判定B；构造函数h(x)=xlnx，对函数求导，然后结合导数判断h(x)的单调性即可判定C；由ex1+ex20，lnx2+lnx11时，f(x)0，函数单调递增，当0x1时，f(x)0，函数单调递减，因为0x1x2f(x2)，即ex1x1ex2x2，所以x2ex1x1ex2，故A正确；B选项，令g(x)=lnxx，则g(x)=1-lnxx2，当x(0,1),g(x)0，g(x)在(0,1)上单调递增，又0x1x21，g(x1)g(x2)，即lnx1x1lnx2x2，即x2lnx1x1lnx2，故B正确；选项C，令h
14、(x)=xlnx，则h (x)=1+lnx，当x(0,1),h(x)的正负不确定，故x1lnx1与x2lnx2的大小不确定，故C错误；当0x1x20，lnx2+lnx10，故D错误故选AB13.【答案】a0恒成立，整理可得：ax+1x，结合对勾函数的性质可知：在区间(0,3上，当x=1时，x+1x的最小值为2，综上可得：实数a的取值范围是a2故答案为：a2首先利用函数的奇偶性转化问题，然后结合恒成立的条件和对勾函数的性质整理计算即可求得最终结果本题考查转化的数学思想，偶函数的性质，恒成立问题的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题14.【答案】2；n-12+9991000【
15、解析】解：(1)由题意得，9991000=9991000-9991000=9991000，99921000=(1000-1)21000=10002-2000+11000=998+11000，99921000=998+11000-998=11000，99931000=(1000-1)31000=10003-310002+31000-11000=10002-3000+3-11000，99931000=10002-3000+3-11000-(10002-3000+3-1)=9991000 由二项式定理同理可得，99941000=11000，9991000+99921000+99931000+9994
16、1000=9991000+11000+9991000+11000=2；(2)由(1)可归纳出当n是奇数时，999n1000=9991000，当n是偶数时，999n1000=11000，当n为奇数时，则有n-12个偶数，n+12个奇数，9991000+99921000+99931000+999n1000=n-12+9991000，故答案：(1)2；(2)n-12+9991000(1)利用新定义求出9991000，利用二项展开式求99921000、99931000的值，根据规律求出99941000的值，代入所求的式子求解；(2)由(1)归纳出规律，利用此规律求出所求的式子的值本题考查由新定义求函数
17、值，归纳推理，以及二项式定理的应用，解题的关键是根据前几项的规律发现所求项的各项的值，属于中档题15.【答案】92【解析】解：椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上异于左、右顶点的一点，a=3，b= 5，c=2，且|PF1|+|PF2|=2a=6，PMPO=12PM(PF1+PF2)=12(PMPF1+PMPF2)，设线段PF1的中点G，则MGPF1，PMPF1=PF1(12PF1+GM)=12PF12，同理可得PMPF2=12PF22，PMPO=14(PF12+PF22)14(|PF1|+|PF2|)22=92，当且仅当|PF1|=|PF2|=3时，等号成立，PM
18、PO的最小值为92故答案为：92根据向量的加法法则和向量垂直的表示，结合均值不等式，即可求解本题考查向量的数量积的运算，椭圆的几何性质，基本不等式的应用，化归转化思想，属中档题16.【答案】3(n=1)18(5-3n)(8-3n)(n2)【解析】解：数列an的前n项和为Sn，2an=SnSn-1，当n2时，2(Sn-Sn-1)=SnSn-1，所以：1Sn-1-1Sn=12，整理得：1Sn-1Sn-1=-12(常数)，所以：数列1Sn是以1S1=13为首项，-12为公差的等差数列则：1Sn=13-12(n-1)=5-3n6，则：Sn=65-3n，则：an=Sn-Sn-1=65-3n-68-3n=
19、18(5-3n)(8-3n)当n=1时，不符合通项，故：an=3(n=1)18(5-3n)(8-3n)(n2)故答案为：3(n=1)18(5-3n)(8-3n)(n2)直接利用递推关系式求出数列1Sn的通项公式，进一步求出数列an的通项公式本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17.【答案】解：()在等差数列中，设公差为d，a3=10，a5-2a2=6a1+2d=10(a1+4d)-2(a1+d)=6，解得a1=2d=4，an=2+4(n-1)=4n-2()2n-1,n为奇数2n-3,n为偶数，T2n=(b1+b3+b2n-1)+(b2+
20、b4+b2n) =(1+22+22n-2)+1+5+(4n-3) =1-4n1-4+n(4n-2)2 =2n2-n+4n-13【解析】()根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求an；()利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列bn的前n项和Tn本题主要考查数列的通项公式和前n项和的计算，要求熟练掌握特殊数列的求和公式，考查学生的计算求解能力18.【答案】解：(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为m，n，因为前2组的频率之和为0.40.5，所以85m90，由0.4+0.06(m-85)=0.5，得m=86.67n=77.550.01+82.550.07+
21、87.550.06+92.550.04+97.550.02=87.25，所以，这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67，87.25(2)因为样本中90分及以上的频率为(0.04+0.02)5=0.3，所以该校高一年级1000名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数为0.31000=300人【解析】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为m，n，前2组的频率之和为0.40.5，从而85m90，由0.4+0.06(m-85)=0.5，能求出这50名学生数学成绩的中位数由频率分布直方图的性质能求出平均数(2)样本中90分及以上的频率，以该校高一
22、年级1000名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数本题考查中位数、平均数、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19.【答案】解： 如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距 海里； 因为所以设 追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15方向才能最快追上走私船【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出 ，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出 ，即可求解20.【答案】(1)证明：设棱长为
23、2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，DA=(2,0,0)，DE=(2,2,1)，AD1=(-2,0,2)，AF=(-2,1,0)，设平面ADE的法向量n=(x,y,z)，则nDA=2x=0nDE=2x+2y+z=0，取y=1，得n=(0,1,-2)，设平面AD1F的法向量m=(a,b,c)，mAD1=-2a+2c=0mAF=-2a+b=0，取a=1，得m=(1,2,1)，nm=0+2-2=0，平面AD1F平面ADE()解：设直线EF与平面AD1F所成角的为，EF=(-2,-1,-1)，平面A
24、D1F的法向量m=(1,2,1)，sin=|cos|=|-2-2-1 6 6|=56直线EF与AD1F所成角的正弦值56【解析】(1)设棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系，利用微量法能证明平面AD1F平面ADE()由EF=(-2,-1,-1)，平面AD1F的法向量m=(1,2,1)，利用向量法能求出直线EF与AD1F所成角的正弦值本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21.【答案】解：()抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F(2,0)，p2=2，解得：p=4，故抛物线C的标准方程为：y2=8x；()点A的横坐标为2，故
25、A点的坐标为(2,4)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由已知设PA：m(y-4)=x-2，即：x=my-4m+2，代入抛物线的方程得：y2=8(my-4m+2)，即y2-8my+32m-16=0，则：y1+4=8m，故：y1=8m-4，设PB：-m(y-4)=x-2，即：x=-my+4m+2同理可得：y2=-8m-4，直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=16m-16m=-1，所以：直线AB的斜率为定值【解析】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键()根据已知中抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F(2,0)
26、，求出p值，可求抛物线的标准方程；()设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值22.【答案】解：()f(x)在区间(0,+)内单调递增，f(x)=2ax-1-lnx0在(0,+)上恒成立，2alnx+1x在(0,+)上恒成立，设g(x)=lnx+1x，g(x)=-lnxx2，令g(x)=0，解得x=1，当x(0,1)时，g(x)0，函数g(x)单调递增，当x(1,+)时，g(x)0，函数g(x)单调递减，g(x)max=g(1)=1，2a1，a12，故a的取值范围为12,+)，证明()当a=e时，要证f(x)xex+1e，即证ex2-
27、xlnx0，则需要证ex-lnxex-ex，设h(x)=lnx+1ex，h(x)=1x-1ex2=ex-1ex2，x0，当x(0,1e)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，h(x)min=h(1e)=0，h(x)0，即lnx+1ex0，再设(x)=ex-ex，(x)=e-ex，当x(0,1)时，(x)0，函数(x)单调递增，当x(1,+)时，(x)0时，lnx+1exex-ex，故原不等式得以证明【解析】()先求导，再分离参数，构造函数，利用到导数求出函数的最值即可得到a的取值范围，()当x0时，f(x)ex-ex，分别构造函数h(x)=lnx+1ex，(x)=ex-ex，利用导数求出函数的最值即可证明本题考查了应用导数来研究函数的单调性，极值以及证明不等式恒成立的问题，是较难的题目
