1、 5.1分式【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B0。【题型1 分式的概念】【例1】（2021秋信都区校级月考）在代数式3x+12、5a、6x2y、35+y、2+b3、2ab2c35中，分式有（）A1个B2个C3个D4个【变式1-1】（2021秋新化县校级期中）在下列各式中，分式的个数是（）个a22，1a+b，ax-1，x2x，m2，x+yxA3B4C5D2【变式1-2】（2020秋莱州市期中）在式子1a、2xy、3a2b3c4、56+x、x7+y8、9x+10y中，分式有 个【变式1-3】（2021
2、春秦淮区期末）下列各式：2020x；a；-x-3x；x2+y；1+yx-y；2m2m；3x2，是分式的有 ，是整式的有 （只填序号）【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2020秋夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：（1） x+22x-3（2）6(x+3)|x|-12（3）x+6x2+1【变式2-1】（2021春温州期末）要使分式a2-4a2-4a+4有意义，实数a必须满足（）Aa2Ba2Ca2Da2且a2【变式2-2】（2020春卫辉市期中）使代数式x+3x-3x2-9x+4有意义的x的取值范围是 【变式2-3】（2020秋赛罕区校级期中）要使式子x-11+11+x有意义，则x的取值
3、范围为 【题型3 分式的值为零】【例3】当x取何值时，下列分式的值为零？（1）x2-4x+2（2）x2+2x-3|x|-1（3）x2-1x2-3x+2（4）5-|x|x2+4x-5【变式3-1】（2021春碑林区校级期中）若|x|-1x2-2x+1=0，则x 【变式3-2】（2021春白云区校级月考）若a、b是实数，且分式(a-2)2+|b2-16|b+4=0，则3a+b的值是（）A10B10或2C2D非上述答案【变式3-3】（2021春江阴市校级月考）当x1时，分式2x-1有意义；如果分式x2-1x+1的值为0，那么x的值是当x满足 时，分式x2+2x+1x-2的值为负数【知识点2 分式的基
4、本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C0）。【题型4 分式的基本性质】【例4】（2021秋河北月考）若分式2xyx2+中的x和y都扩大3倍，且分式的值不变，则可以是（）A2ByCy2D3y【变式4-1】（2021春米易县期末）下列式子从左到右变形正确的是（）Aab=a+2b+2Bab=ambmCa2-b2a-b=a-bDab=abb2【变式4-2】（2021春碑林区校级期末）已知|a-3|a2-6a+9=13-a，则a的取值范围是 【变式4-3】（2020春和平区期中）如果分式2x3x2+5y2的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值是 【
5、知识点3 分式的约分和通分】定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。【题型5 分式的约分与通分】【例5】（2020秋聊城期中）约分：（1）24a12x3y218a6x3；（2）ma+mb-mca+b-c；（3）a2-4ab+4b2a2-4b2【变式5-1】（2021春玄武区校级期中）分式1x2-4，x-1x，1x+2的最简公分母是 【变式5-2】（20
6、20秋丹江口市期中）通分：（1）1x2-2x+1，1x2-1；（2）aa2-b2，ba2+2ab+b2；（3）x+2yx2-y2，x-y2x2-4xy+2y2；（4）a-2ba2-4ab+4b2，a+ba2+2ab+b2【变式5-3】（2021秋岱岳区校级月考）已知分式13x2-3，2x-1，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且ba=3，试求这两个分式的值【题型6 运用分式的基本性质求值】【例6】（2021春兰州期末）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则xk（
7、ab），yk（bc），zk（ca），x+y+zk（ab+bc+ca）k00，x+y+z0依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz，其中x+y+z0，求x+y-zx+y+z的值【变式6-1】（2020秋沂源县期中）若1x+1y=2，则2x-xy+2y3x+5xy+3y= 【变式6-2】（2021奉化区）若ab=cd=ef=34，则a+c+eb+d+f=34；若x-2yy=23，则xy= 【变式6-3】（2020秋武陵区校级期中）阅读下列解题过程，并完成问题：若ab=-2，求a2-2ab-3b2a2-6ab-7b2的值解：因为ab=-2，所以a2b所以a2-2ab-3b2a2-
8、6ab-7b2=(-2b)2-2(-2b)b-3b2(-2b)2-6(-2b)b-7b2=5b29b2=59（1）解题过程中，由5b29b2得59，是对分式进行了 约分；（2） 已知ab=12，求a2-2ab-3b2a2-6ab-7b2的值；（3） 已知x3=y4=z60，求x+y-zx-y+z的值 5.1分式【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B0。【题型1 分式的概念】【例1】（2021秋信都区校级月考）在代数式3x+12、5a、6x2y、35+y、2+b3、2ab2c35中，分式有（）A1个B2
9、个C3个D4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式【解答】解：3x+12、6x2y、2+b3、2ab2c35的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式5a、35+y中分母中含有字母，因此是分式故选：B【变式1-1】（2021秋新化县校级期中）在下列各式中，分式的个数是（）个a22，1a+b，ax-1，x2x，m2，x+yxA3B4C5D2【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式【解答】解：a22，m2的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式1a+b，ax-1，x2x，x+y
10、x的分母中含有字母，因此是分式，分式共有4个故选：B【变式1-2】（2020秋莱州市期中）在式子1a、2xy、3a2b3c4、56+x、x7+y8、9x+10y中，分式有3个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式【解答】解：式子1a、56+x、9x+10y的分母中含有字母，属于分式，其他的分母中不含有字母，不是分式故答案是：3【变式1-3】（2021春秦淮区期末）下列各式：2020x；a；-x-3x；x2+y；1+yx-y；2m2m；3x2，是分式的有 、，是整式的有 、（只填序号）【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母
11、则是分式，如果不含有字母则不是分式【解答】解：a；x2+y；3x2的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式2020x；-x-3x；1+yx-y；2m2m分母中含有字母，因此是分式故答案是：、，、【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2020秋夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：（1）x+22x-3（2）6(x+3)|x|-12（3）x+6x2+1【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案【解答】解：（1）要使x+22x-3有意义，得2x30解得x32，当x32时，x+22
12、x-3有意义；（2）要使6(x+3)|x|-12有意义，得|x|120解得x12，当x12时，6(x+3)|x|-12有意义；（3）要使x+6x2+1有意义，得x2+10x为任意实数，x+6x2+1有意义【变式2-1】（2021春温州期末）要使分式a2-4a2-4a+4有意义，实数a必须满足（）Aa2Ba2Ca2Da2且a2【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案【解答】解：分式a2-4a2-4a+4有意义，a24a+4（a2）20a20解得a2故选：C【变式2-2】（2020春卫辉市期中）使代数式x+3x-3x2-9x+4有意义的x的取值范围是x3且x4【分析】根据分式的分母不等于零得到：
13、x30、x+40、且x290【解答】解：由题意，得x-30x+40x2-90解得x3且x4故答案是：x3且x4【变式2-3】（2020秋赛罕区校级期中）要使式子x-11+11+x有意义，则x的取值范围为x1且x2【分析】根据分式的分母为负数不能为0，可得答案【解答】解：1+x0，1+11+x0，x1，x2故答案为：x1且x2【题型3 分式的值为零】【例3】当x取何值时，下列分式的值为零？（1）x2-4x+2（2）x2+2x-3|x|-1（3）x2-1x2-3x+2（4）5-|x|x2+4x-5【分析】（1）由分式值为0的条件可知；x240且x+20，从而可解得x的值；（2）由分式值为0的条件可
14、知；x2+2x30且|x|10，从而可解得x的值；（3）由分式值为0的条件可知；x210且|x23x+20，从而可解得x的值；（4）由分式值为0的条件可知；5|x0且x2+4x50，从而可解得x的值【解答】解：（1）分式值为0，x240且x+20，解得x2；（2）分式值为0，x2+2x30且|x|10，解得：x3；（3）分式值为0，x210且|x23x+20，解得：x1；（4）分式值为0，5|x0且x2+4x50，x5，且（x+5）（x1）0x5【变式3-1】（2021春碑林区校级期中）若|x|-1x2-2x+1=0，则x1【分析】分式的值为零时：分子0，分母0【解答】解：根据题意，得|x|1
15、0且x22x+1（x1）20解得x1故答案是：1【变式3-2】（2021春白云区校级月考）若a、b是实数，且分式(a-2)2+|b2-16|b+4=0，则3a+b的值是（）A10B10或2C2D非上述答案【分析】根据分式为0的条件得b+40(a-2)2+|b2-16|=0，再根据绝对值的非负性以及平方的非负性，求得a2，b4，从而解决此题【解答】解：分式(a-2)2+|b2-16|b+4=0，b+40(a-2)2+|b2-16|=0b4又（a2）20，|b216|0，（a2）20，|b216|0a2，b43a+b32+410故选：A【变式3-3】（2021春江阴市校级月考）当x1时，分式2x-
16、1有意义；如果分式x2-1x+1的值为0，那么x的值是1当x满足x2且x1时，分式x2+2x+1x-2的值为负数【分析】依据分式有意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为负数的条件，即可得出结论【解答】解：由题可得，x10，解得x1，当x1时，分式2x-1有意义；由题可得，x2-1=0x+10，解得x1，如果分式x2-1x+1的值为0，那么x的值是1由题可得，x2+2x+10x-20，解得x2且x1，当x满足x2且x1时，分式x2+2x+1x-2的值为负数故答案为：1；1；x2且x1【知识点2 分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C0）。【题
17、型4 分式的基本性质】【例4】（2021秋河北月考）若分式2xyx2+中的x和y都扩大3倍，且分式的值不变，则可以是（）A2ByCy2D3y【分析】x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+也扩大到原来的9倍，所以可以是y2【解答】解：x和y都扩大3倍，2xy扩大到原来的：339倍，分式的值不变，x2+也扩大到原来的9倍，x扩大3倍，x2扩大到原来的9（329）倍，也要扩大到原来的9倍，y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（329）倍，可以是y2故选：C【变式4-1】（2021春米易县期末）下列式子从左到右变形正确的是（）Aab=a+2b+2B
18、ab=ambmCa2-b2a-b=a-bDab=abb2【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；D、分子分母都乘以b（b0），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D【变式4-2】（2021春碑林区校级期末）已知|a-3|a2-6a+9=13-a，则a的取
19、值范围是 a3【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案【解答】解：|a-3|a2-6a+9=|a-3|(a-3)2=13-a，a30解得a3故答案是：a3【变式4-3】（2020春和平区期中）如果分式2x3x2+5y2的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值是 3【分析】直接利用分式的性质将原式变形进而得出答案【解答】解：分式2x3x2+5y2的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，原式=32x3(3x)2+5(3y)2=132x3x2+5y2=3故答案为：3【知识点3 分式的约分和通分】定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分
20、子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。【题型5 分式的约分与通分】【例5】（2020秋聊城期中）约分：（1）24a12x3y218a6x3；（2）ma+mb-mca+b-c；（3）a2-4ab+4b2a2-4b2【分析】首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可【解答】解：（1）原式=6a6x34a6y26a6x33=43a6y2；（2）原式=m(a+b-c)a+b-c=m；（3）原式=(a-2b)2(a+2b)(a-2b)=
21、a-2ba+2b【变式5-1】（2021春玄武区校级期中）分式1x2-4，x-1x，1x+2的最简公分母是x（x+2）（x2）【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母【解答】解：1x2-4=1(x+2)(x-2)，则最简公分母为x（x+2）（x2），故答案为：x（x+2）（x2）【变式5-2】（2020秋丹江口市期中）通分：（1）1x2-2x+1，1x2-1；（2）aa2-b2，ba2+2ab+b2；（3）x+2yx2-y2，x-y2x2-4xy+2y2；（4）a-2ba2-4ab+4b2，a+ba2+2ab+b2【分析】（1）直接找出最简公分母（x1）2（x+1），进而通分运算得出答
22、案；（2）直接找出最简公分母（a+b）2（ab），进而通分运算得出答案；（3）直接找出最简公分母2（x+y）（xy），进而通分运算得出答案；（4）直接找出最简公分母（a2b）（a+b），进而通分运算得出答案【解答】解：（1）1x2-2x+1=1(x-1)2=x+1(x-1)2(x+1)，1x2-1=1(x+1)(x-1)=x-1(x-1)2(x+1)；（2）aa2-b2=a(a+b)(a-b)=a(a+b)(a+b)2(a-b)=a2+ab(a+b)2(a-b)，ba2+2ab+b2=b(a+b)2=b(a-b)(a+b)2(a-b)=ab-b2(a+b)2(a-b)；（3）x+2yx2-y2
23、=x+2y(x+y)(x-y)=2x+4y2(x+y)(x-y)，x-y2x2-4xy+2y2=x-y2(x-y)2=12(x-y)=x+y2(x-y)(x+y)；（4）a-2ba2-4ab+4b2=a-2b(a-2b)2=1a-2b=a+b(a-2b)(a+b)，a+ba2+2ab+b2=1a+b=a-2b(a+b)(a-2b)【变式5-3】（2021秋岱岳区校级月考）已知分式13x2-3，2x-1，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且ba=3，试求这两个分式的值【分析】找出两分式中分母的公因式确定出a，找出最简公分母确定出b【解答】解：两分式分母的公因式为ax1，最
24、简公分母为b3（x+1）（x1），ba=3(x+1)(x-1)x-1=3（x+1）3，即x0则13x2-3=-132x-1=20-1=-2【题型6 运用分式的基本性质求值】【例6】（2021春兰州期末）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则xk（ab），yk（bc），zk（ca），x+y+zk（ab+bc+ca）k00，x+y+z0依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz，其中x+y+z0，求x+y-zx+y+z的值【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元
25、一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y2z代入所求代数式【解答】解：设y+zx=x+zy=x+yz=k，则：y+z=kx(1)x+z=ky(2)x+y=kz(3)，（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2zk（x+y+z），x+y+z0，k2，原式=2z-z2z+z=z3z=13【变式6-1】（2020秋沂源县期中）若1x+1y=2，则2x-xy+2y3x+5xy+3y=311【分析】由1x+1y=2，得x+y2xy，整体代入所求的式子化简即可【解答】解：由1x+1y=2，得x+y2xy则2x-xy+2y3x+5xy+3y=2(x+y)-xy3(x+y)+5xy=22xy-xy32xy+
26、5xy=3xy11xy=311故答案为311【变式6-2】（2021奉化区）若ab=cd=ef=34，则a+c+eb+d+f=34；若x-2yy=23，则xy=83【分析】（1）可设a3x，b4x，c3y，d4y，e3z，f4z，将其代入原式即可；（2）将已知条件变换即可得【解答】解：1）可设a3x，b4x，c3y，d4y，e3z，f4z，将其代入分式得：a+c+eb+d+f=3x+3y+3z4x+4y+4z=34；（2）由已知可得出，3（x2y）2y，3x8y，所以xy=83故答案为34、83【变式6-3】（2020秋武陵区校级期中）阅读下列解题过程，并完成问题：若ab=-2，求a2-2ab
27、-3b2a2-6ab-7b2的值解：因为ab=-2，所以a2b所以a2-2ab-3b2a2-6ab-7b2=(-2b)2-2(-2b)b-3b2(-2b)2-6(-2b)b-7b2=5b29b2=59（1）解题过程中，由5b29b2得59，是对分式进行了 约分；（2）已知ab=12，求a2-2ab-3b2a2-6ab-7b2的值；（3）已知x3=y4=z60，求x+y-zx-y+z的值【分析】（1）根据分式的分子、分母都除以b2，知道是对分式进行了约分；（2）根据条件得：b2a，代入代数式中，约去a2即可得到答案；（3）设x3=y4=z6=k（k0），则x3k，y4k，z6k，代入代数式中，约去k，即可得到答案【解答】解：（1）分式的分子、分母都除以b2，故答案为：约分；（2）ab=12，b2a，原式=a2-2a2a-3(2a)2a2-6a2a-7(2a)2=-15a2-29a2 =1529；（3）设x3=y4=z6=k（k0），则x3k，y4k，z6k，原式=3k+4k-6k3k-4k+6k=k5k =15
