1、5.3导数在研究函数中的应用531函数的单调性例1 利用导数判断下列函数的单调性:(1);(2),;(3)解:(1)因为,所以所以,函数在R上单调递减,如图5.3-4(1)所示 (1) (2) (3) 图5.3-4(2)因为,所以所以,函数在上单调递减,如图5.3-4(2)所示(3)因为,所以所以,函数在区间和上单调递增,如图5.3-4(3)所示例2 已知导函数的下列信息:当时,;当,或时,;当,或时,试画出函数图象的大致形状解:当时,可知在区间上单调递增;当,或时,可知在区间和上都单调递减;当,或时,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”综上,函数图象的大致形状如图5.3-5所示 图5.3-
2、5练习1. 判断下列函数的单调性:(1); (2)【答案】(1)在单调递减, 在上单调递增.(2)在单调递减,在上单调递增.【解析】【分析】求出,分别令,即可解出的单调递增、递减区间.【详解】(1),令,所以在上单调递增,在单调递减.(2),令,所以在上单调递增,在单调递减.2. 利用导数讨论二次函数的单调区间【答案】答案见解析【解析】【分析】由二次函数解析式得且,讨论、情况下的单调区间即可.【详解】由题设知:,而时有,当时,单调递增,则上,单调递减;上,单调递增;当时,单调递减,则上,单调递增;上,单调递减;综上,时在上递减,上递增;时在上递增,上递减;3. 函数的图象如图所示,试画出函数图
3、象的大致形状【答案】图象见解析【解析】【分析】由图知:、上,上有且处不存在导数值,即可画出的大致图象.【详解】由图知:时,为定值,即;时,单调递减,即导数值小于0;时,为定值,即;处的左右导数不相等,故此处不可导.例3 求函数的单调区间解:函数的定义域为R对求导数,得令,解得,或和把函数定义域划分成三个区间,在各区间上的正负,以及的单调性如表5.3-1所示 表5.3-1x200单调递增单调递减单调递增所以,在和上单调递增,在上单调递减,如图5.3-6所示 图5.3-6例4 设,两个函数的图象如图5.3-8所示判断,的图象与,之间的对应关系 图5.3-8解:因为,所以,当时,;当时,;当时,所以
4、,在上都是增函数在区间上,的图象比的图象要“陡峭”;在区间上,的图象比的图象要“平缓”所以,的图象依次是图5.3-8中的,练习4. 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1); (2)【答案】(1)单调递减区间为和,单调递增区间为;(2)函数的单调递减区间为,单调递增区间为和;【解析】【分析】根据导数判断函数的单调性即可.【详解】(1)因为,所以,令解得或,所以函数的单调递减区间为和,单调递增区间为;(2)因为,所以,令解得或,所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为和;5. 证明函数在区间上单调递减【答案】证明见解析【解析】【分析】对函数进行求导,验证导数在区间上为负.【详解】因为,所以,
5、当时,所以函数在区间上单调递减6. 函数的图象如图所示,试画出函数图象的大致形状【答案】图象见解析【解析】【分析】由的图象分析在不同区间的符号及变化规律,进而确定在对应区间的单调性,即可画出图象的大致形状【详解】由图知:时,且为定值;时,单调递减,且在上,在上;时,单调递增,且在上,在上;,单调递增且为斜率大于0的直线;,单调递增;,单调递减;,单调递减;,单调递增;532函数的极值与最大(小)值例5 求函数的极值解:因为,所以令,解得,或当x变化时,的变化情况如表5.3-2所示; 表5.3-2x200单调递增单调递减单调递增因此,当时,有极大值,并且极大值为;当时,有极小值,并且极小值为函数
6、的图象如图5.3-12所示 图5.3-12练习7. 函数的导函数的图象如图所示,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点【答案】是函数的极值点,是极大值点,是极小值点.【解析】【分析】根据极值点的导数为0,点的导数都为零,且这两点左右两侧的导数值异号.【详解】因为点的导数都为零,且这两点左右两侧的导数值异号,所以是函数的极值点;又因为时,时,所以是极大值点;因为时,时,所以是极小值点.8. 求下列函数的极值:(1)(2)(3);(4)【答案】(1)极小值为,无极大值;(2)极小值为,极大值为;.(3)极小值为,极大值为;(4)极小值为,极大值为.【解析】【分析】求写出定义域,求
7、出导函数,研究单调性,用列表法求出极值.【详解】(1)的定义域为R,.令,解得:,列表得:x-0+所以函数的极小值为,无极大值.(2)的定义域为R,.令,解得:,列表得:x-33+0-0+54-54所以函数的极小值为,极大值为.(3)的定义域为R,.令,解得:,列表得:x-22-0+0-1022所以函数的极小值为,极大值为.(4)的定义域为R,.令,解得:,列表得:x-11-0+0-22所以函数的极小值为,极大值为.例6 求函数在区间上的最大值与最小值解:由例5可知,在区间上,当时,函数有极小值,并且极小值为又由于,所以,函数在区间上的最大值是4,最小值是上述结论可以从函数在区间上的图象(图5
8、.3-16)得到直观验证 图5.3-16练习9. 参考求函数极值的练习,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1),(2),(3),(4),【答案】(1)最小值为,最大值为20;(2)最大值为54,最小值为;(3)最大值为22,最小值为;(4)最大值为,最小值为【解析】【分析】(1)求出函数的对称轴,讨论与区间的关系,可得最值;(2)求出函数的导数,求出极值和端点处的函数值,可得最值;(3)求出导数,求得极值和端点的函数值,可得最值;(4)求出导数,求得区间,为递减,即可得到所求最值【详解】解:(1),对称轴为,可得的最小值为,即的最大值为20;(2),的导数为,令,可得, ,即有的最大值
9、为54,最小值为;(3),的导数为,由,可得舍去), ,即有的最大值为22,最小值为;(4)的导数为,由,可得,则在,单调递减,即有的最大值为,最小值为10. 证明不等式:,【答案】证明见解析【解析】【分析】构造,利用导数研究在上单调性并确定最小值,即可证明结论.【详解】由题设,要证只需证即可,令,则,而,当时,单调递减;当时,单调递增;故,即在上恒成立,得证.例7 给定函数(1)判断函数的单调性,并求出的极值;(2)画出函数的大致图象;(3)求出方程解的个数解:(1)函数的定义域为令,解得,的变化情况如表5.3-4所示 表5.3-4x0单调递减单调递增所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增
10、当时,有极小值(2)令,解得当时,;当时,所以,的图象经过特殊点,当时,与一次函数相比,指数函数呈爆炸性增长,从而;当时,根据以上信息,我们画出的大致图象如图5.3-17所示 图5.3-17(3)方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数由(1)及图5.3-17可得,当时,有最小值所以,关于方程的解的个数有如下结论:当时,解为0个;当或时,解为1个; 当时,解为2个例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是,其中r(单位:)是瓶子的半径已知每出售的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶
11、饮料的利润最小?解:由题意可知,每瓶饮料的利润是,所以令,解得当时,;当时,因此,当半径时,单调递增,即半径越大,利润越高;当半径时,单调递减,即半径越大,利润越低(1)半径为时,利润最大(2)半径为时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值练习11. 利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:,【答案】证明见解析【解析】【分析】构造,利用导数研究其在上的单调性并确定最小值,即可证明,进而画出、的图象.【详解】等价于,可令,则,在上,在上单调递增,即,在上恒成立,则,得证.12. 如图,用铁丝围成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为为使所用
12、材料最省,圆的直径应为多少?【答案】【解析】【分析】假设圆的半径为,矩形的长为,根据题目信息得到关系式,再将图形的周长表示出来得,最后构造函数,求导判断函数取得最小值时的值即可.【详解】设圆的半径为,则半圆的面积为,所以矩形的宽为,设矩形的长为,则矩形的面积为,所以,即,该图形的周长为,令,所以,令解得:(舍负),所以函数在上单调递减,在上单调递增所以当即时,函数取得最小值.即圆的半径时,所需材料最省.习题5313. 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1) (2),(3) (4)【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析;(4)答案见解析;【解析】【分析】分别对各函数求
13、导,通过导数与0的关系判断函数单调性,并求得单调区间即可.【详解】(1),则函数在上单调递减,即单减区间为,无单增区间;(2),则函数在上单调递增,即单增区间为,无单减区间;(3),则函数在上单调递增,即单增区间为,无单减区间;(4),则函数在上单调递增,即单增区间为,无单减区间;14. 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1) (2)(3) (4)【答案】(1) 单调减区间为,单调增区间为;(2) 单调减区间为,单调增区间为;(3) 单调增区间为,无单调减区间;(4) 单调增区间为和,单调减区间为.【解析】【分析】根据二次函数的图像性质可以求解(1)(2),根据导数的正负可判断函数的单调
14、性及单调区间求解(3)(4)即可.【详解】(1)因为二次函数,所以抛物线的对称轴为,所以的单调减区间为,单调增区间为;(2)因为二次函数,所以抛物线的对称轴为,所以函数的单调减区间为,单调增区间为;(3)因为,所以,由于,所以函数的单调增区间为,无单调减区间;(4)因为,所以,令解得或,所以函数的单调增区间为和,单调减区间为.15. 如图,已知汽车在笔直的公路上行驶(1)如果表示时刻t时汽车与起点的距离,请标出汽车速度等于0的点;(2)如果表示时刻t时汽车的速度,那么(1)中标出点的意义是什么?【答案】(1)各点见图示;(2)各点处的加速度为0.【解析】【分析】(1)位移对于时间t的导数即速度
15、,故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点;(2)速度对于时间t的导数即加速度,故(1)中各点对应的几何意义即加速度为0.【详解】如图所示:(1)因为位移对于时间t的导数即速度,故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点;所以汽车速度等于0的点为;(2)因为速度对于时间t的导数即加速度,故(1)中标出点的意义是各点处的加速度为0.16. 导函数的图象如图所示,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?【答案】(1);(2),;(3);(4);【解析】【分析】根据导函数的图像判断导函数的极大值和极小值点;由导函数图像判断原函数的单调区间
16、,从而求得原函数的极大值和极小值点.【详解】(1)由图知,极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点,即为极大值点;(2)由图知,极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点,即,为极小值点;(3)由图知,函数单增;,函数单减;,函数单增;则函数在处取极大值;(4)由(3)知,函数在处取极小值;17. 求下列函数的极值:(1) (2);(3) (4)【答案】(1)极小值,无极大值;(2)极大值,极小值;(3)极大值,极小值;(4)极小值,极大值.【解析】【分析】对各式进行求导,根据导数的符号确定单调区间及极值点,再根据的解析式求极值即可.【详解】(1),则,时,单调递减;时,单调递增;有极小值,无极大值
17、.(2),则有,时,单调递增;时,单调递减;时,单调递增;极大值,极小值.(3),则有,时,单调递增;时,单调递减;时,单调递增;极大值,极小值.(4),则有,时,单调递减;时,单调递增; 时,单调递减;极小值,极大值.18. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1),(2),(3),(4),【答案】(1)最大值为,最小值为;(2)最大值为,最小值为;(3)最大值为,最小值为;(4)最大值为,最小值为.【解析】【分析】对各式进行求导,在给定区间内根据导数的符号确定单调区间,进而可得的极值,再结合端点值,即可得在区间内的最值.【详解】(1),则,时,单调递减;时,单调递增;在上的极小值为,
18、而,在上最大值为,最小值为.(2),则时有,时,单调递增;时,单调递减;时,单调递增;在上的极大值为,极小值为,而, ,综上,在上最大值为,最小值为.(3),则时有,时,单调递减;在上最大值为,最小值为.(4),则时有,时,单调递增;时,单调递减;在上的极大值为,而, ,在上最大值为,最小值为.19. 将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?【答案】两段铁丝的长度均为.【解析】【分析】设一个正方形的边长为,则另一个正方形的边长为且,进而可得两个正方形的面积,利用导数求它的最小值,进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长)即可.
19、【详解】设一个正方形的边长为,则另一个正方形的边长为,两个正方形的面积和,则,时,故当时,单调递减;当时,单调递增;当时,的极小值也是最小值为,此时另一个正方形的边长也为.综上,当两段铁丝的长度都为时,它们的面积和最小.20. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒(1)试把方盒的容积V表示为x的函数;(2)x多大时,方盒的容积V最大?【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据长方体的体积公式进行求解即可;(2)利用导数进行求解即可.【小问1详解】由题意可知:无盖方盒的棱长分别为:,所以方盒的容积;【小问2详解】解得:,当时函数递减,当时函数递增,
20、所以当时,盒的容积V最大.21. 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得n个数据,证明:用n个数据的平均值表示这个物体的长度,能使这n个数据的方差最小【答案】证明见解析;【解析】【分析】对方差求导,求得单调区间,在处取得最小值.【详解】,则当时,函数单减;,函数单增;方差在时,取得最小值.22. 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大?【答案】当q=84时,利润最大【解析】【详解】先求出利润L关于q的函数关系式.,显然当q=84时,利润最大23. 已知某商品进价为a元/件,根据以往经验,当
21、售价是b元/件时,可卖出c件.市场调查表明,当售价下降10%时,销量可增加40%现决定一次性降价,销售价为多少时,可获得最大利润?【答案】【解析】【分析】设销售价为x,则降价相对于售价是b时,降低了个10%,从而销量提高了个40%,从而求得可获得的利润为y,求导,由导数求得函数最大值,此时取得的x的值即为销售价.【详解】设销售价为x,可获得的利润为y,则,求导得,令,解得,由知,当时,函数单增;当时,函数单减;因此是函数的极大值点,也是最大值点;故当销售价为元/件时,可获得最大利润.24. 利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:(1),;(2),【答案】(1)证明见解析;(
22、2)证明见解析.【解析】【分析】(1)构造,利用导数研究的单调性并确定最小值,即可证,然后画出、的图象;(2)构造、,利用导数研究它们在上的单调性,即可证结论,然后画出、的图象.【详解】(1)由题意,等价于,令,而,时,单调递减;时,单调递增;故在上恒成立,即,得证.(2)由题设,等价于,等价于,令,则,而,时,单调递减;时,单调递增;故在上恒成立,即,在上恒成立,令,则,而,时,单调递增,故在上恒成立,即,在上恒成立,综上,上恒成立.25利用信息技术工具,根据给定a,b,c,d的值,可以画出函数的图象,当,时,的图象如图所示,改变a,b,c,d的值,观察图象的形状:(1)你能归纳函数图象人致形状吗?它的图象有什么特点?你能从图象上大致估计它的单调区间吗?(2)运用导数研究它的单调性,并求出相应的单调区间