1、4.1数列的概念例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象（1）；（2）解：（1）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，3，6，10，15图象如图4.1-2（1）所示（1） （2） 图4.1-2（2）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，0，-1，0，1图象如图4.1-2（2）所示例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，； （2）2，0，2，0，解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为 练
2、习1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：（1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；（2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；（3）当自变量x依次取1，2，3，时，函数的值构成的数列；（4）数列的通项公式为【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（2）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（3）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（4）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；【小问1详解】根据题意，可知数列的前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，32
3、4，400.图象如下：.【小问2详解】根据题意，可知数列的前10项为：1，.图象如下：.【小问3详解】根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下：.【小问4详解】根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下：.2. 根据数列的通项公式填表：n125n153273【答案】答案见解析【解析】【分析】根据依次求出表中对应的值即可.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，解得；当时，解得；所以列表如下：1251222 2133691532733. 除数函数()的函数值等于n的正因数的个数，例如，.写出数列，的前10项
4、.【答案】1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.【解析】【分析】根据定义直接写出即可.【详解】由题意可得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：（1）1，；（2）1，.【答案】（1），（2）,【解析】【分析】（1）找到规律后写出通项公式即可；（2）找到规律后写出通项公式即可.【详解】（1），所以;（2）由题意，所以.例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数
5、列的项？如果是，是第几项？分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解：解：令，解这个关于n的方程，得（舍去），或所以，120是数列的项，是第10项例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式（1） （2） （3） （4） 图4.1-3在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1因此，这个数列的一个通项公式是例5 已知数列的首项为，递推公式为
6、，写出这个数列的前5项解：由题意可知，练习5. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数（1）（2）（3）【答案】（1）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 （2）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 （3）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为【解析】【分析】（1）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；（2）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；（3）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.【小问1详解
7、】解：设第项的点数为，该数列的第项为，数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：【小问2详解】解：设第项的点数为，该数列的第项为，数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：【小问3详解】解：设第项的点数为，该数列的第项为，数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：6. 根据下列条件，写出数列的前5项：（1），；（2），.【答案】（1）1，3，7，15，31；（2）3，3，3，3，3.【解析】【分析】根据递推公式直接写出即可.【详解】（1）因为，所以，故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.（2）因为，所以，故数列的前5项分别为3，3，3，3，3.7. 已知数列满足，写出它的前5项，并
8、猜想它的通项公式.【答案】，.【解析】【分析】将代入即可得出答案.【详解】，.猜想.8. 已知数列的前项和公式为，求的通项公式.【答案】【解析】【分析】本题可根据得出结果.【详解】当时，；当时，满足，故的通项公式为.习题419. 写出下列数列的前项，并绘出它们的图像：（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；（2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.【答案】（1）、，图见解析；（2）、，图见解析.【解析】【分析】（1）本题可依次列出素数，然后绘图即可；（2）本题可依次列出欧拉函数的函数值，然后绘图即可.【详解】（1）素数从小到大依次是：、，绘出图像如图所示：（2），依次为、，绘出
9、图像如图所示：10. 根据下列条件，写出数列的前5项：（1）；（2）；（3），；（4），.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析【解析】【分析】（1）利用通项公式分别取n1，2，3，4，5，即可得出（2）利用通项公式分别取n1，2，3，4，5，即可得出（3）分别取n2，3，4，5，即可得出（4）分别取n2，3，4，5，即可得出【详解】（1）由可得a11，a4，a5（2）由an（1）n+1（n2+1）可得：a12，a25，a310，a417，a526（3），an4an1+1（n2）；n2时，；n3时，；n4时，；n5时，；（4）a1，an1（n2）n2时，
10、a215；n3时，a31；n4时，a41；n5时，a51511. 观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：（1）（ ），（ ），（ ），；（2），（ ），（ ），；（3），（ ），（ ），；（4），（ ），（ ）.【答案】详见解析【解析】【分析】本题可依次观察每个数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果.【详解】（1）中依次填写、，通项公式为；（2）中依次填写、，通项公式为；（3）中依次填写、，通项公式为；（4）中依次填写、，通项公式为.12. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列
11、，试写出数列的前5项.【答案】（1）a11，a22，a33，a45，a58；（2）b12，b2，b3，b4，b5【解析】【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项（2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn求解出数列bn的前5项【详解】（1）由a11，a22，anan1+an2，得a3a2+a12+13，a4a3+a22+35，a5a4+a33+58； （2）依题意有：b12，b2，b3，b4，b513. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称
12、为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数，第六个数.五边形数：第五个数，第六个数.【解析】【分析】找到规律后代入计算即可.【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.五边形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.14. 假设某银行的活期存款年利率为某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第年到期时的存款余额，求、及.【答案】，.【解析】【分析】本题可根据活期存款年利率的计算方式得出结果.【详解】，.15. 已知函数，设数列的通项公式为.（1）求证.（2）是递增数列还是递减数列？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析.【解析】【分析】（1）结合指数函数的单调性以及不等式的性质即可证得；（2）证得，即可得出结论.【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以；（2）是递增数列，证明：因为，所以，所以，所以是递增数列.
