1、5.1导数的概念及其意义511变化率的问题练习1求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度1. 火箭发射后，其高度（单位：m）为求：（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；（2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据平均速度的计算公式求解；（2）根据导数的概念求解.【详解】（1）因为，所以在这段时间里，火箭爬高的平均速度为； （2）因为所以发射后第时，火箭爬高的瞬时速度.2. 一个小球从的高处自由下落，其运动方程为，求时小球的瞬时速度【答案】【解析】【分析】根据瞬时速率计算即可.【详解】由题意知：当时，小球的瞬时速度为练习3. 你认为应该怎样定义抛物线在点
2、处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率【答案】切线的定义见解析，抛物线在点处切线的斜率为.【解析】【分析】利用切线的定义可得出抛物线在点处的切线的定义，然后利用导数的定义可求得抛物线在点处切线的斜率.【详解】在点的附任取一点，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置称为抛物线在点处的切线.抛物线在点处的切线的斜率为.4. 求抛物线在点处的切线方程【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；【详解】解：因为，所以，所以，故切线方程为512导数的概念及其几何意义练习例1 设，求解：例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油
3、进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度（单位：）为计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义，所以同理可得在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以的速率上升一般地，反映了原油温度在时刻入附近的变化情况例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，解：在第2s
4、和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和根据导数的定义，所以同理可得在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少 1在例2中，计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义5. 设，求【答案】【解析】【分析】根据导数的定义，即可求解.【详解】.6. 一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，求质点A在时的瞬时速度【答案】10.8【解析】【分析】位移对时间的导数，即速度，代入，即可求得瞬时速度.【详解】由题知，当时，故质点A在时的瞬时速度为10.87. 设函数求：（1）当自变量x由1变到1.
5、1时，函数的平均变化率；（2）函数在处的导数【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出自变量的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案（2）先求导，再代入求值即可【详解】解：（1）解：，所以函数的平均变化率为（2），例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象根据图象，请描述、比较曲线在，附近的变化情况 图5.1-6解：我们用曲线从在，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况（1）当时，曲线在处的切线平行于t轴，这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2）当时，曲线在处的切线的斜率这时，在附近曲线下降，即函
6、数在附近单调递减（3）当时，曲线在处的切线的斜率这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度（单位：）随时间t（单位：）变化的函数图象根据图象，估计，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1） 图5.1-7解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作处的切线，并在切线
7、上取两点，如，则该切线的斜率，所以表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值 表5.1-3t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率040练习1根据图5.16，描述曲线在，附近增（减）以及增（减快慢情况8. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图象可知函数是单调递增的，从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的，所以其导函数是单调递减的，进而可得结果.【详解】由图象可知函数是单调递增的，所以，均为正. 从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数是单调递减的，所以有.故选：
8、A.9. 求曲线在点处的切线方程【答案】【解析】【分析】求出曲线在点处的导函数值，再利用点斜式写出即可.【详解】由题意知：，则.所以曲线在点处的切线方程为10. 吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，气球的瞬时膨胀率【答案】图象见解析，【解析】【分析】先画出函数图象，再求出导函数，代值计算可求出【详解】解：函数图象如下所示：，则，习题5111. 一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为求该物体在时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况【答案】当时，其速度大小为，方向竖直向下，此后物
9、体将做匀加速直线运动至物体到达地面.【解析】【分析】利用瞬时变化率计算即可.【详解】由题意知物体竖直方向位移,结合瞬时速度公式可得当时，.所以此时速度大小为，方向竖直向下.此后物体将做匀加速直线运动至物体到达地面.12. 圆的面积S（单位：）与半径R（单位：）的关系为，求时面积关于半径的瞬时变化率【答案】【解析】【分析】根据瞬时变化率公式运算即可.【详解】,当时，面积关于半径的瞬时变化率为.13. 某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式求：（1）这段时间内的平均速度；（2）时的瞬时速度【答案】（1）25（2）20【解析】【分析】（1）求出、对应的位移，即可求出平均速
10、度.（2）求出，将代入即可.【详解】（1）当时，;当时，;的平均速度为.（2），.14. 已知车轮旋转的角度（单位：）与时间t（单位：s）满足关系式，求车轮转动开始后第时的瞬时角速度【答案】【解析】【分析】根据瞬时变化率计算公式计算即可.【详解】由题意知当时，瞬时角速度为.15. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，
11、由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确故选C【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.16. 如图，试描述函数在，0，1附近的变化情况【答案】见解析【解析】【分析】根据曲线在，0，1的导函数正负判断即可.【详解】由图可知：函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递增;函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递
12、增；函数在处的斜率，即函数值在附近几乎没有变化；函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减；函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减；17. 求曲线在点（处的切线的倾斜角【答案】【解析】【分析】根据导数的定义求出曲线在处的导数，即为曲线在点处切线的斜率，即可求出其倾斜角.【详解】，所以曲线在点处的切线斜率为，则倾斜角为.18. 一个质量为的物体做直线运动，设位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数 表示，并且物体的动能求物体开始运动后第时的动能【答案】【解析】【分析】先求质点的运动方程为的导数，再求得秒时的导数，得到所求的瞬时速度，即可求出物体运动后第时的动能。【详解
13、】解：质点的运动方程为求导数得所以该质点在秒的瞬时速度为物体运动后第时的动能为答：物体开始运动后第时的动能为。19. 根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可知，路程关于时间的函数图象是一条斜率为正数的直线，由此可作出函数图象；（2）根据题意可知，路程关于时间的函数图象上的切线斜率逐渐增大，由此可作出函数图象；（3）根据题意可知，路程关于时间的函数图象上的切线斜率逐渐减小，
14、由此可作出函数图象.【详解】（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：20. 已知函数的图象，试画出其导函数图象的大致形状【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】分析（1）（2）（3）中函数的单调性，利用函数单调性与导数之间的关系可得出图象的大致形状.【详解】（1）函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导函数的图象如下图所示：；（2）函数为增函数，则其导函数的函数值恒大于或等于零，并且随着的增大
15、，导数值也在逐渐增大，因此，其导函数的图象如下图所示：；（3）当时，单调递减，则；当时，单调递增，则.因此，其导函数的图象如下图所示：.21. 在高台跳水运动中，时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数的物理意义是什么？试求v，关于时间t的函数解析式【答案】关于时间的导数是加速度；【解析】【分析】利用导数的几何意义以及基本初等函数的导数即可得出结果.【详解】高度关于时间的导数是速度，关于时间的导数是瞬时加速度.，.22. 根据下列条件，分别画出函数的图象在这点附近的大致形状.（1），；（2），；（3），【答案】答案见解析【解析】【分析】由条件根据函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率，画出函数在某点的图象【详解】解：由于函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率，（1），；故函数图象可以如下所示：（2），；故函数图象可以如下所示：（3），故函数图象可以如下所示：
